2023-2024学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校九年级上学期12月月考数学试题及答案

试题PAGE1试题宝安区第一外国语学校（集团）2023-2024学年第一学期九年级12月月考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A． B． C． D．2．已知反比例函数y＝﹣，则其图象在平面直角坐标系中可能是（）A． B． C． D．3．如图所示几何体的主视图是（）A． B． C． D．4．用配方法解方程x2﹣6x+4＝0，原方程应变为（）A．（x+3）2＝13 B．（x+3）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝55．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（）A．10° B．15° C．20° D．30°6．人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（）A． B． C． D．7．如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（）A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞48．下列说法正确的是（）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1 B．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为2C．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 D．两个正六边形一定位似 9．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（）A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米10．下面三个问题中都有两个变量：①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；③如图3，往一个圆柱形空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x其中，变量y与x之间的函数关系大致符合图4的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二．填空题（每题3分，共30分）11．若，则＝．12．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．投壶次数n50100150200250300400500投中次数m284672104125153200250投中频率0.560.460.480.520.500.510.500.50根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为（结果精确到0.1）．13．如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值为．14．如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，E为BC边的中点，连接AE，将△ACE沿AE折叠得到△AED，DE交AB于点O，连接BD．则的值为．三．解答题（共55分）16．（8分）计算：（1）；（2）解方程：2x²＋x﹣2＝0．17．（6分）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为度；（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．18．（6分）如图，△ABC中，A（﹣4，4），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2）．①以O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1，请在y轴右侧画出△A1B1C1；②△ABC的面积为_________；③在网格中找一点D，使得△BCD向是以BC为底边的等腰直角三角，则点D的坐标为_________．19．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？20．（8分）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AD，OB＝OD，点E在AC上，（1）下列条件：①∠DCE＝∠BEC；②点E与点C关于直线BD对称；③E为AO中点．请从中选择一个能证明四边形EBCD是菱形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形EBCD是菱形，且BC＝5，EC＝8，sin∠DAE＝，求AE的长．21．（10分）综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝m，BC＝m．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；【类比探究】（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；【问题延伸】当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．22．（9分）过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、影子的方向不相同，错误；B、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误；D、影子的方向不相同，错误；故选：B．2．已知反比例函数y＝﹣，则其图象在平面直角坐标系中可能是（）A． B． C． D．【解答】解：由k＝﹣6＜0，可知反比例函数y＝﹣的图象在二四象限．故选：A．3．如图所示几何体的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意知，该几何体的主视图为，故选：D．4．用配方法解方程x2﹣6x+4＝0，原方程应变为（）A．（x+3）2＝13 B．（x+3）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝5【解答】解：x2﹣6x+4＝0x2﹣6x+9＝9﹣4（x﹣3）2＝5故选：D．5．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（）A．10° B．15° C．20° D．30°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∵DE＝DE，∴△AED≌△CED（SAS），∴∠EAD＝∠ECD，又∵∠BCE＝70°，方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°．方法2：∴∠BEC＝65°，∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，即65°＝45°+∠ECD，∴∠ECD＝20°，∴∠EAD＝20°．故选：C．6．人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，∴该小孩为女孩的概率为＝，故选：C．7．如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（）A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4【解答】解：∵A（﹣2，4）在反比例函数图象上，∴k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函数解析式为：y＝﹣，又∵B（m，﹣2）在y＝﹣图象上，∴m＝4，∴B（4，﹣2），∵点A（﹣2，4）、B（4，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴，解得，一次函数解析式为：y＝﹣x+2．由图象可知，不等式0＜ax+b＜的解集﹣2＜x＜0．故选：B．8．下列说法正确的是（）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1 B．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为2C．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 D．两个正六边形一定位似 【解答】解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，当AC＞BC时，AC＝﹣1，当AC＜BC时，AC＝3﹣，本选项说法错误；B、Δ＝42﹣4×（﹣k+3）＝0，解得k＝﹣1，本选项说法错误；C、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；D、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；故选：C．9．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（）A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米【解答】解：由题意知：AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴解得CD＝3，∴水面以上深度CD为3米．故选：B．10．下面三个问题中都有两个变量：①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；③如图3，往一个圆柱形空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x其中，变量y与x之间的函数关系大致符合图4的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：①根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当货车开始进入时y逐渐变大，货车完全进入后一段时间内y不变，当货车开始出来时y逐渐变小，∴反映到图象上应符合图4；②根据题意可知，开始时y随x的增大而增大，在圆上部分y的值不变，最后y随x的增大而减小，∴反映到图象上应符合图4；③往一个圆柱形空杯中匀速倒水，y随x的增大而增大，中间一段时间，y的值不变，y的值不变，y随x的增大而减小，∴反映到图象上应符合图4；故选：D．二．填空题（共5小题）11．若，则＝1．【解答】解：∵，∴＝﹣1＝2﹣1＝1．故答案为：1．12．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．投壶次数n50100150200250300400500投中次数m284672104125153200250投中频率0.560.460.480.520.500.510.500.50根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为0.5（结果精确到0.1）．【解答】解：由频率分布表可知，随着投壶次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.5附近，∴这组游戏参与者投中的概率约为0.5，故答案为：0.5．13．如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值为﹣6．【解答】解：根据题意可知：S△PMO＝|k|＝3，即k＝±6．又∵反比例函数的图象位于第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣6．故答案为：﹣6．14．如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为．【解答】解：由网格可知：BC＝1，AD＝2，AC＝＝5，BC∥AD，∴△OBC∽△ODA，∴＝，∴＝，∴AO＝，故答案为：．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，E为BC边的中点，连接AE，将△ACE沿AE折叠得到△AED，DE交AB于点O，连接BD．则的值为．【解答】解：作EH⊥BD于H，∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，∴BC＝＝4，∵E为BC边的中点，∴CE＝BE＝2，∴AE＝＝2，∵△ACE沿AE折叠得到△AED，∴DE＝EB，∠AEC＝∠AED，∴∠EDB＝∠EBD，∵∠AEC+∠AED＝∠EDB+∠EBD，∴2∠AEC＝2∠EBD，∴∠AEC＝∠EBD，∴AE∥BD，∵∠C＝∠EHB＝90°，∠AEC＝∠EBH，∴△EBH∽△AEC，∴BH：CE＝BE：AE，∴BH：2＝2：2，∴BH＝，∴BD＝2BH＝，∵BD∥AE，∴△BOD∽△AOE，∴＝＝．故答案为：．三．解答题（共7小题）16．计算：；（2）解方程：2x²＋x﹣2＝0．【解答】解：（1）原式＝1+﹣2×+4＝5；（2）x1＝，x2＝．17．随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a＝20人，b＝18人，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为36度；（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．【解答】解：（1）a＝7÷14%×40%＝20（人），b＝7÷14%﹣5﹣7﹣20＝18（人），在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为360°×＝36°，故答案为：20人，18人，36；（2）设男生为A，女生为B，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，∴恰好都是女性的概率＝．18．如图，△ABC中，A（﹣4，4），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2）．①以O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1，请在y轴右侧画出△A1B1C1；②△ABC的面积为_________；③在网格中找一点D，使得△BCD向是以BC为底边的等腰直角三角，则点D的坐标为_________．【解答】解：①图略；②面积为6；③D（－1，－1）．19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意得，100（1+x）2＝144，解得x＝20%或x＝﹣2.2（舍去），∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，整理得m2﹣130m+4000＝0，解得m＝50或m＝80，∵尽可能让顾客得到实惠，∴m＝50，∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．20．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AD，OB＝OD，点E在AC上，（1）下列条件：①∠DCE＝∠BEC；②点E与点C关于直线BD对称；③E为AO中点．请从中选择一个能证明四边形EBCD是菱形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形EBCD是菱形，且BC＝5，EC＝8，sin∠DAE＝，求AE的长．【解答】（1）选择①；证明：∵AB＝AD，OB＝OD，∴AC⊥BD，∴AC垂直平分BD，∴DE＝BE，DC＝BC，∴∠DCE＝∠ECB，∵∠DCE＝∠BEC，∴∠ECB＝∠BEC，∴BE＝BC，∴DE＝BE＝DC＝BC，∴四边形EBCD是菱形．（2）解：∵四边形EBCD是菱形，EC＝8，∴OC＝OE＝EC＝×8＝4，∵∠AOD＝∠BOC＝90°，BC＝5，∴OD＝OB＝＝＝3，∵＝sin∠DAE＝，∴AD＝OD＝×3＝3，∴OA＝＝＝9，∴AE＝OA﹣OE＝9﹣4＝5，∴AE的长为5．21．综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和（4，2），因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝4m，BC＝2m．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；【类比探究】（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；【问题延伸】当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．【解答】解：（1）将反比例函数y＝与直线l1：y＝﹣2x+10联立得，∴＝﹣2x+10，∴x2﹣5x+4＝0，∴x1＝1，x2＝4，∴另一个交点坐标为（4，2），∵AB为xm，BC为ym，∴AB＝4，BC＝2．故答案为：（4，2）；4；2；（2）不能围出；y＝﹣2x+6的图象，如答案图中l2所示：∵l2与函数图象没有交点，∴不能围出面积为8m2的矩形．（3）如答案图中直线l3所示：将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．（4）∵AB和BC的长均不小于1m，∴x≥1，y≥1，∴≥1，∴x≤8，∴1≤x≤8，如图所示，直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动，把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，∴8≤a≤17．22．过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠DAP+∠BAM＝90°，∵∠PAQ＝90°，∴∠BAQ+∠BAM＝90°，∴∠DAP＝∠BAQ，∵将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，∴AP＝AQ，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP．（2）解：如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，由旋转得：AP＝AQ，∵∠DAB＝α＝60°，即∠DAB＝∠PAQ＝60°，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP，∠APD＝∠AQB，∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴∠AQP＝60°，∵PQ⊥BQ，∴∠BQP＝90°，∴∠AQB＝∠AQP+∠BQP＝60°+90°＝150°，∴∠APD＝∠AQB＝150°，∴∠DPM＝180°﹣∠APD＝180°﹣150°＝30°，∵∠MAD＝15°，∴∠ADP＝∠DPM﹣∠MAD＝30°﹣15°＝15°，∴∠ADP＝∠MAD，∴AP＝DP，∴AQ＝BQ＝PQ＝AP，∴∠ABQ＝∠BAQ＝∠MAD＝15°，∴∠PAH＝∠PAQ﹣∠BAQ