吉林省“BEST”合作体六校2024-2025学年高三上学期第三次联考数学试卷 含解析

2024-2025学年度上学期吉林省“BEST”合作体高三年级六校联考高三数学试题本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第I卷客观题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知，则的虚部为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部.【详解】由，则，的虚部为2.故选：D.2.已知数列{an}是等差数列，若a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=3，则a7+a8+a9=（）A.5 B.4 C.9 D.7【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可知a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差数列，根据等差中项求解即可.【详解】由数列{an}是等差数列可知，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差数列，所以a7+a8+a9=，故选：A3.已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意得到命题“”为真命题，讨论和两种情况可求得结果.【详解】因为命题“”为假命题，所以，命题“”为真命题，因为集合，集合，所以，当时，即时，成立，当时，由“”得，解得，综上，实数的取值范围为.故选：B.4.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解.【详解】，在上的投影向量为，故选：C5.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换得到，得到平移后的解析式，即，整体法求出函数的值域.【详解】，图象向左平移个单位长度，得到，上，，则在上的值域为.故选：C.6.已知数列满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据数列的递推公式，利用累加法可得通项公式，再根据对勾函数的性质，可得答案.【详解】因为，所以由递推公式可得当时，等式两边分别相加，得，因为，则，而满足上式，所以，即，函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，当时，，当时，，因为，所以的最小值为.故选：A.7.已知函数，若恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，解得和，分，和三种情况，结合函数不等式恒成立得到，从而求出的最大值，得到答案.【详解】由，解得，令，解得，当时，，则，不符合题意；当时，，则，不符合题意；所以，即，则，当时等号成立,的最大值为.故选：C.8.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】本题通过正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解.【详解】解：由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴．由，，两边平方，得即，当且仅当，即时取等号，即，∴线段CD长度的最小值为．故选：D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.的图象与轴的交点坐标为D.函数的图象关于直线对称【答案】ACD【解析】【分析】根据图象求周期，然后可判断A；根据正切函数定义域可判断B；代入验证可判断C；判断关于点对称，然后由图象的对称变换可判断D.【详解】对A，由图可知，的最小正周期，则，A正确；对B，由图象可知时，函数无意义，故，由，得，即，B错误；对C，，C正确；对D，由，则的图象关于点对称，由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，D正确.故选：ACD10.已知函数，则下列正确的是（）A.的极小值为B.在单调递增C.有三个实根D.，当时，恒成立，则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】求导后可得单调性，结合极值定义可知AB正误；作出图象，根据与的交点个数可得C正确；将D中问题转化为在上单调递增，由，采用分离参数的方式可求得D正确.【详解】由题意知：定义域为，；当时，；当时，；的单调递减区间为，；单调递增区间为；对于A，的极小值为，A正确；对于B，当时，单调递减，B错误；对于C，的极大值为，且当时，，由此可得图象如下图所示，由图象可知：与有三个不同的交点，即有三个实根，C正确；对于D，由当时，恒成立可得：，令，则在上单调递增，在上恒成立，在上恒成立；在上的最大值为，，D正确.故选：ACD.11.定义在的函数满足，且，都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（）A.B.若数列为等差数列，则公差为6C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据题意结合周期性运算求解；对于B：根据题意结合图象分析判断；对于B：整理可得，结合图象分析判断；对于D：根据图象结合对称性分析可得数列是以首项为7，公差为12的等差数列，进而利用等差数列知识运算求解.【详解】因为都有，即的图象关于对称，令，则，即，可知在内的图象关于点对称，根据题意作出在内的图象，如图所示：对于选项A：因为定义在的函数满足，则，故A正确；对于选项B：由图象可知：若数列为等差数列，则，此时与在内有且仅有一个交点，因为，则，所以公差为6，故B正确；对于选项C：若，则，可得，则，即与在内有且仅有2个交点，结合图象可得，故C错误；对于选项D：若，则与在内有且仅有3个交点，且，因为，则，所以数列是以首项为7，公差为12的等差数列，可得，所以，故D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．第II卷主观题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为______.【答案】##【解析】【分析】对原函数进行求导,代入得出切线斜率.曲线在处的切线倾斜角为可得出斜率.构造关于的方程，解方程即可.【详解】曲线的导数,∵曲线在处的切线的倾斜角为,∴,∴,∴故答案为:.13.已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据是递增数列以及解析式，可得的范围，又，代入求解，即可求得答案.【详解】因为数列是递增数列，当时，，可得，当时，，即，解得，又，所以，解得或.综上，实数的取值范围是.故答案：.14.如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数__________.【答案】【解析】【分析】设，先相继求出、、对应的复数，再求，由条件列方程求，由此可得结论；【详解】设，设对应复数为，对应的复数为，则，，设对应的复数为，所以，所以，由已知可得，所以，又，所以，所以，故答案为：.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，解决对于此类问题的关键是对新定义的透彻理解，解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为．（1）求的值；（2）若的面积为，且，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而得到的值；（2）由若的面积为，求得，再由余弦定理，求得，进而求得的周长.【小问1详解】解：因为，由正弦定理得，可得，即，因为，可得，所以，即，所以.【小问2详解】解：由（1）知，因为若的面积为，可得，即，解得，又因为，由余弦定理得，整理得，解得，所以，所以的周长为.16.已知函数．（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若的两个极值点分别为，证明:．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意导函数在0,+∞（2）根据题意可得是方程的两个不同的根，所以再代入化简，进而构造函数，再求导分析的单调性与最值，进而可证明不等式.【小问1详解】在0,+∞上恰有两个不同的解，令，所以解得，即实数的取值范围是；【小问2详解】证明：由（1）知是方程的两个不同的根，所以所以，令，令在上恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，所以．17.已知数列中，，且，为数列的前n项和，，数列是等比数列，，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列前项和．【答案】（1），；（2）数列的前项和为.【解析】【分析】（1）由关系证明数列为等差数列，由此可求数列的通项公式，再求数列的通项公式，设数列的公比为，由条件列方程求，，结合等比数列通项公式可得结论.（2）由（1）可得，利用裂项相消法求数列的前项和.【小问1详解】由已知当，时，，，所以，又，所以，所以，所以数列为等差数列，公差为，又，所以，所以当，时，，又，所以，，设等比数列的公比为，因为，，所以，，所以，所以，【小问2详解】由（1），所以，所以数列的前项和，所以.18.已知函数.（1）若的定义域为，求的取值范围；（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意转化为在R上恒成立问题，结合二次函数的图象，需使即得；（2）先判断函数在区间上的单调性，得对任意恒成立，即对任意恒成立，则需使，就参数的取值分类讨论函数的最小值即得的范围.【小问1详解】由函数的定义域为R，可得，在R上恒成立，结合二次函数的图象可知，需使，解得，即的取值范围为；【小问2详解】设，则在定义域内是增函数，因，,故对任意，函数在区间上单调递增，故，，依题意，对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则需使，因函数图象的对称轴为，①当，即时，在上单调递增，故由，解得，不合题意，舍去；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故，解得，因，故.综上，的取值范围是.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数有两个不同的零点，（i）求实数的取值范围：（ⅱ）若满足，求实数的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）（i）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可.（2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可；（ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，由，得，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，的递增区间是，无递减区间；当时，的递增区间是，递减区间是.【小问2详解】（ⅰ）由，得，令，求导得，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，，而当时，恒成立，且，由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点，因