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文档简介
贵州省安顺市普通高中2025届高三第二次模拟考试数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设函数,若在上有且仅有5个零点,则的取值范围为()A. B. C. D.2.已知平面向量满足,且,则所夹的锐角为()A. B. C. D.03.已知抛物线经过点,焦点为,则直线的斜率为()A. B. C. D.4.某校在高一年级进行了数学竞赛(总分100分),下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩:555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩,运行相应的程序,输出,的值,则()A.6 B.8 C.10 D.125.相传黄帝时代,在制定乐律时,用“三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程,若输入的的值为1,输出的的值为()A. B. C. D.6.在各项均为正数的等比数列中,若,则()A. B.6 C.4 D.57.定义,已知函数,,则函数的最小值为()A. B. C. D.8.设函数的定义域为,命题:,的否定是()A., B.,C., D.,9.若是定义域为的奇函数,且,则A.的值域为 B.为周期函数,且6为其一个周期C.的图像关于对称 D.函数的零点有无穷多个10.设,且,则()A. B. C. D.11.执行如图所示的程序框图,若输出的值为8,则框图中①处可以填().A. B. C. D.12.已知正四面体的棱长为,是该正四面体外接球球心,且,,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若实数,满足,则的最小值为__________.14.函数的定义域为_____________.15.在四棱锥中,底面为正方形,面分别是棱的中点,过的平面交棱于点,则四边形面积为__________.16.在疫情防控过程中,某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下,第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,那么第19天治愈出院患者的人数为_______________,第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在直三棱柱中,,,D,E分别为AB,BC的中点.(1)证明:平面平面;(2)求点到平面的距离.18.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函数f(x)的最大值m;(2)正数a,b,c满足a+2b+3c=m,求证:19.(12分)已知数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,,且数列前项和为,求的取值范围.20.(12分)已知数列{an}的各项均为正,Sn为数列{an}的前n项和,an2+2an=4Sn+1.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn,求数列{bn}的前n项和.21.(12分)在四棱柱中,底面为正方形,,平面.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.22.(10分)已知函数.(1)当时.①求函数在处的切线方程;②定义其中,求;(2)当时,设,(为自然对数的底数),若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
由求出范围,结合正弦函数的图象零点特征,建立不等量关系,即可求解.【详解】当时,,∵在上有且仅有5个零点,∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查正弦型函数的性质,整体代换是解题的关键,属于基础题.2、B【解析】
根据题意可得,利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为即而所以夹角为故选:B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角,需掌握向量数量积的定义求法,属于基础题.3、A【解析】
先求出,再求焦点坐标,最后求的斜率【详解】解:抛物线经过点,,,,故选:A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式,基础题.4、D【解析】
根据程序框图判断出的意义,由此求得的值,进而求得的值.【详解】由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数,的取值为成绩大于等于60且小于90的人数,故,,所以.故选:D【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力和数学应用意识.5、B【解析】
根据循环语句,输入,执行循环语句即可计算出结果.【详解】输入,由题意执行循环结构程序框图,可得:第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,满足判断条件;输出结果.故选:【点睛】本题考查了循环语句的程序框图,求输出的结果,解答此类题目时结合循环的条件进行计算,需要注意跳出循环的判定语句,本题较为基础.6、D【解析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算.【详解】由题意.故选:D.【点睛】本题考查等比数列的性质,考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.7、A【解析】
根据分段函数的定义得,,则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式,可求得函数的最小值.【详解】依题意得,,则,(当且仅当,即时“”成立.此时,,,的最小值为,故选:A.【点睛】本题考查求分段函数的最值,关键在于根据分段函数的定义得出,再由基本不等式求得最值,属于中档题.8、D【解析】
根据命题的否定的定义,全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为:,是全称命题,所以其否定是特称命题,即,.故选:D【点睛】本题主要考查命题的否定,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.9、D【解析】
运用函数的奇偶性定义,周期性定义,根据表达式判断即可.【详解】是定义域为的奇函数,则,,又,,即是以4为周期的函数,,所以函数的零点有无穷多个;因为,,令,则,即,所以的图象关于对称,由题意无法求出的值域,所以本题答案为D.【点睛】本题综合考查了函数的性质,主要是抽象函数的性质,运用数学式子判断得出结论是关键.10、C【解析】
将等式变形后,利用二次根式的性质判断出,即可求出的范围.【详解】即故选:C【点睛】此题考查解三角函数方程,恒等变化后根据的关系即可求解,属于简单题目.11、C【解析】
根据程序框图写出几次循环的结果,直到输出结果是8时.【详解】第一次循环:第二次循环:第三次循环:第四次循环:第五次循环:第六次循环:第七次循环:第八次循环:所以框图中①处填时,满足输出的值为8.故选:C【点睛】此题考查算法程序框图,根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决,属于简单题目.12、A【解析】
如图设平面,球心在上,根据正四面体的性质可得,根据平面向量的加法的几何意义,重心的性质,结合已知求出的值.【详解】如图设平面,球心在上,由正四面体的性质可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因为为重心,因此,则,因此,因此,则,故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质,考查了平面向量加法的几何意义,考查了重心的性质,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由约束条件先画出可行域,然后求目标函数的最小值.【详解】由约束条件先画出可行域,如图所示,由,即,当平行线经过点时取到最小值,由可得,此时,所以的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查了线性规划的知识,解题的一般步骤为先画出可行域,然后改写目标函数,结合图形求出最值,需要掌握解题方法.14、【解析】
由题意可得,,解不等式可求.【详解】解:由题意可得,,解可得,,故答案为.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解,属于基础题.15、【解析】
设是中点,由于分别是棱的中点,所以,所以,所以四边形是平行四边形.由于平面,所以,而,,所以平面,所以.由于,所以,也即,所以四边形是矩形.而.从而.故答案为:.【点睛】本小题主要考查空间平面图形面积的计算,考查线面垂直的判定,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.16、161【解析】
由题意可知出院人数构成一个首项为1,公比为2的等比数列,由此可求结果.【详解】某医院一次性收治患者127人.第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.且从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,从第15天开始,每天出院人数构成以1为首项,2为公比的等比数列,则第19天治愈出院患者的人数为,,解得,第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.故答案为:16,1.【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用,考查等比数列的性质等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)通过证明面,即可由线面垂直推证面面垂直;(2)根据面,将问题转化为求到面的距离,利用等体积法求点面距离即可.【详解】(1)因为棱柱是直三棱柱,所以又,所以面又,分别为AB,BC的中点所以//即面又面,所以平面平面(2)由(1)可知////所以//平面即点到平面的距离等于点到平面的距离设点到面的距离为由(1)可知,面且在中,,易知由等体积公式可知即由得所以到平面的距离等于【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直,涉及利用等体积法求点面距离,属综合中档题.18、(1)(2)见解析【解析】
(1)利用绝对值三角不等式求得的最大值.(2)由(1)得.方法一,利用柯西不等式证得不等式成立;方法二,利用“的代换”的方法,结合基本不等式证得不等式成立.【详解】(1)由绝对值不等式性质得当且仅当即时等号成立,所以(2)由(1)得.法1:由柯西不等式得当且仅当时等号成立,即,所以.法2:由得,,当且仅当时“=”成立.【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式,考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式,属于中档题.19、(1)(2)【解析】
(1)由,可求,然后由时,可得,根据等比数列的通项可求(2)由,而,利用裂项相消法可求.【详解】(1)当时,,解得,当时,①②②①得,即,数列是以2为首项,2为公比的等比数列,;(2)∴,∴,,.【点睛】本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用,等比数列的通项公式、裂项求和方法,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.20、(1)an=2n+1;(2)2.【解析】
(1)根据题意求出首项,再由(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,求得该数列为等差数列即可求得通项公式;(2)利用错位相减法进行数列求和.【详解】(1)∵an2+2an=4Sn+1,∴a12+2a1=4S1+1,即,解得:a1=1或a1=﹣1(舍),又∵an+12+2an+1=4Sn+1+1,∴(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,整理得:(an+1﹣an)(an+1+an)=2(an+1+an),又∵数列{an}的各项均为正,∴an+1﹣an=2,∴数列{an}是首项为1、公差为2的等差数列,∴数列{an}的通项公式an=1+2(n﹣1)=2n+1;(2)由(1)可知bn,记数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=1•5•(2n+1)•,Tn=1•5••…+(2n﹣1)•(2n+1)•,错位相减得:Tn=1+2(•)﹣(2n+1)•=1+2,∴Tn()=2.【点睛】此题考查求等差数列的基本量,根据递推关系判定等差数列,根据错位相减进行数列求和,关键在于熟记方法准确计算.21、(1)详见解析;(2).【解析】
(1)连接,设,可证得四边形为平行四边形,由此得到,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)以为原点建立空间直角坐标系,利用二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】(1)连接,设,连接,在四棱柱中,分别为的中点,,四边形为平行四边形,,平面,平面,平面.(2)以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.设,四边形为正方形,,,则,,,,,,,设为平面的法向量,为平面的法向量,由得:,令,则,,由得:,令,则,,,,,二面角为锐二面角,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题;关键是能够熟练掌握二面角的向量求法,易错点是求得法向量夹角余弦值后,未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角,造成余弦值符号出现错误.22、(1)①;②8079;(2).【解析】
(1)①时,,,利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程.②由,得,由此能求出的值.(2)根据若对任意给定的,,在区间,上总存在两个不同的,使得成立,得到函数在区间,上不单调,从而求得的取值范围.【详解】(1)①∵,∴∴,∴,∵,所以切线方程为.②,.令,则,.因为①,所以②,由①+②得,所以.所以.(2),当时,函数单调递增;当时,,函
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