2025年中考数学二轮专题复习 题型五-几何探究题

第1讲Unit1—Unit3(含StarterUnits)七年级上册2025年中考数学二轮专题复习题型五几何探究题[2024烟台中考改编]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线BC上任意一点,连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转[1]90°得线段ED,连接BE.【尝试发现】(1)如图(1),当点D在线段BC上时,线段BE与CD的数量关系为

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1题型五几何探究题图(1)

[2024烟台中考改编]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线BC上任意一点,连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转[2]90°得线段ED,连接BE.【类比探究】(2)当点D在线段BC的延长线上时,先在图(2)中补全图形[2],再探究线段BE与CD的数量关系并证明.(3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值.1题型五几何探究题图(2)【大招点拨】识别题干信息:【发现】+【探究】+【拓展】①找特征:根据[1]和[2],判断该题的特征是“旋转+操作”.②找模型:旋转找全等模型,解答(1)和(2)的关键是作辅助线:过点E作EM⊥CB于点M,构造“一线三垂直”全等模型③找结构:本题中的“不变结构”是等腰直角三角形ABC和线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°.④类比解决:结合(1)和(2)的解题思路,在解答(3)时,利用到的数学思想是分类讨论思想.【自主解答】1题型五几何探究题(2)当点D在线段BC的延长线上时,先在图(2)中补全图形[2],再探究线段BE与CD的数量关系并证明.1题型五几何探究题图(1)

[2024烟台中考改编]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线BC上任意一点,连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转[1]90°得线段ED,连接BE.【联系拓展】(3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值.1题型五几何探究题

图(2)(3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值.1题型五几何探究题图(3)

[2024遵义二模改编]如图(1),在正方形ABCD中,点E是AB边上一动点,将正方形沿DE折叠,点A落在正方形内部的点F处,连接AF并延长,交BC于点G.(1)判断AE与BG的数量关系为

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2图(1)

图(2)AE=BG(2)【应用】如图(1),延长DF交BC于点H.①证明:∠HFG=∠FGH;2图(1)

(2)①证明:∵AD∥BC,∴∠DAF=∠AGH.由折叠可知,DA=DF,∴∠DAF=∠AFD,∴∠AFD=∠AGH.∵∠AFD=∠HFG,∴∠AGH=∠HFG.(2)【应用】如图(1),延长DF交BC于点H.②若HB=3a,HF=5a,AE=8,求BE的长度.2图(1)

②由①知,∠FGH=∠HFG,则HG=FH=5a,∵BH=3a,∴BG=BH+HF=8a.由折叠可得,AF⊥DE,∴∠BAG+∠AED=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠ABG=90°,∴∠AED+∠ADE=90°,∴∠BAG=∠ADE,∴△ADE≌△BAG,(2)【应用】如图(1),延长DF交BC于点H.②若HB=3a,HF=5a,AE=8,求BE的长度.2图(1)

2图(1)

图(2)

图(1)

图(2)[2024贵州25题12分]

综合与探究:如图,∠AOB=90°,点P在∠AOB的平分线上,PA⊥OA于点A.(1)【操作判断】如图(1),过点P作PC⊥OB于点C,根据题意在图(1)中画出PC,图中∠APC的度数为

度.

(2)【问题探究】如图(2),点M在线段AO上,连接PM,过点P作PN⊥PM交射线OB于点N.求证:OM+ON=2PA.图(1)

图(2)

图(1)

图(2)解:(1)如图(1),PC即为所求.(2分)

得分点1:作图正确,得2分图(1)

图(2)90(4分)

得分点2:正确写出∠APC的度数,得2分

(2)证明:如图(2),过点P作PC⊥OB于点C.由题意知,四边形OAPC是矩形,∵点P在∠AOB的平分线上,PA⊥OA,PC⊥OB,∴PA=PC,(5分) 得分点3:根据角平分线的性质得出PA=PC,得1分∴矩形OAPC是正方形,(6分)

得分点4:正确判定四边形OAPC是正方形,得1分∴OA=AP=PC=OC,∠APC=90°.∵PN⊥PM,∴∠APM=∠CPN=90°-∠MPC.∵∠MAP=∠NCP=90°,∴△APM≌△CPN(ASA),(7分)

得分点5:正确证明△APM≌△CPN,得1分∴AM=CN,∴OM+ON=OM+OC+CN=OM+AM+OC=OA+OC=2PA,∴OM+ON=2PA.(8分)

得分点6:通过等量代换得出正确结论,得1分(3)第1步:考虑“点M在线段AO上”这一种情况,并作辅助线①当点M在线段AO上时,如图(3),延长NM,PA交于点G.图(3)第2步:利用线段关系找全等三角形由(2)知,OM+ON=2AP,设OM=x,则ON=3x,OA=AP=2x.∴AM=AO-OM=x=OM.∵∠MON=∠MAG=90°,∠OMN=∠AMG,∴△MON≌△MAG(ASA),

第5步:类比第2步,找全等三角形由(2)知,四边形OAPC是正方形,∴OA=AP=PC=OC,∠APC=90°,PC∥AO.∵PN⊥PM,∴∠APM=∠CPN=90°-∠MPC.∵∠A=∠PCN