初升高数学最值专题代数【学生版】

代数最值

目标层级图

课中讲解

一.函数最值

内容讲解

题型特征：（1）线段最值（2）代数式最值（3）面积最值

解题策略：（1）设元

（2）建方程表示出线段及面积的代数式（勾股，铅锤法等）

（3）通过配方，基本不等式性质求出最值

题型一数转形

例L问题情境：

在平面直角坐标系中，已知A（-4,T）、1）,如果要求A、8两点之间的距离，可以构造

如图1所示的直角三角形，则A、6两点之间的距离为.

探究1：求代数式V71i+J（x-3）2+4的最小值.

探究2：求代数式“X-2y+1+J（x-+9的最小值.

探究3：代数式〃+25+Jx2-4x+5的最小值为

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过关检测

1.求代数式，/+代+,（10x）2-4的最小值

2.如图，C为线段8。上一动点，分别过点8、。作ED工BD,连接AC、EC.已

知AB=5,DE=\,BD=S,设8=x.

（I）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，求出这个最小值；

（3）根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式值历+J（15-万、25的最小值.

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3.背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证明趋之

若萼，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的

证法.

小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b.c.显然，

/DAB=NB=90。，AC1OE.请用a、/?、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、AEBC

的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：

S梯形AM。=一耳〃(•十刀一，

S^EBC=---------»

S四边形AECO=---'

则它们满足的关系式为—经化简，可得到勾股定理.

知识运用：

(1)如图2,铁路上A、3两点(看作直线上的两点)相距40千米，C、。为两个村庄(看

作两个点)，AD±ABtBC1AB,垂足分别为A、B,AO=25千米，BC=16千米,

则两个村庄的距离为一千米(直接填空)；

(2)在(1)的背景下，若45=40千米，4)=24千米，BC=16千米，要在上建造一

个供应站P,使得PC二阳，请用尺规作图在图2中作出尸点的位置并求出AP的距离.

知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式V7有+廊二F而的最小值

(0<x<16)

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题型二反比例函数中的最值问题

例1.如图，直线y=2x+6与反比例函数y=幺(?？>0)的图象交于点A(l,机)，与彳轴交于点

B,平行于x轴的直线y=〃(0<〃<6)交反比例函数的图象于点“，交AB于点、N,连接

BM.

(1)求川的值和反比例函数的表达式；

(2)观察图象，直接写出当冗〉0时，不等式2x+6-Av。的解集；

X

(3)当〃为何值时，脑V的面积最大？最大值是多少？

过关检测

1.如图，函数y=A/+b的图象与函数%=%(x>0)的图象交于A、3两点，已知

x

8(2,1)

(1)求川的值及X、%的函数表达式；

(2)不等式为>y的解集是或1>2_；

(3)设点。是线段AB上的一个动点，过点尸作尸。lx轴于点O，E是y轴上一点，求

△PED的面积S的取值范围.

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2.如图，直线），=2x+6与反比例函数y=K（z>o）的图象交于点A（1M，与x轴交于点3,

X

平行于x轴的直线y=〃（0<〃<6）交反比例函数的图象于点反，交AB于点、N,连接

BM.

（1）求小的值和反比例函数的表达式；

（2）观察图象，直接写出当X>0时不等式2x+6-&V0的解集;

X

（3）直线）』〃沿y轴方向平移，当〃为何值时，的面积最大？最大值是多少？

，个y=2x+6

3.已知一次函数），=用”+力与反比例函数y=幺的图象交于第一象限内的p（L8）,Q4,m）

x2

两点，与x轴交于A点.

（1）分别求出这两个函数的表达式；

（2）直接写出不等式审+人…&的解集；

X

（3）”为线段尸。上一点，且M/Vlx轴于AL求AWON的面积最大值及对应的“点坐

标.

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题型三二次函数中的最值问题

例1.(2020•成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=cd+屈+c与x轴交于4(-1,0),

8(4,0)两点，与>轴交于点。(0,-2).

(I)求抛物线的函数表达式;

(2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点，连接4),BC交于点E,连接87),记她/犯

S

的面积为5-AABE的面积为S2,求金的最大值：

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例2.(2020•成华区模拟)如图，抛物线)，=改2+法+c与不轴交于点A(T,0),8(5,0),与

y轴交于点C(O,5)，顶点为。，对称轴交x轴于点E.

(1)求该抛物线的一般式；

(2)若点。为该抛物线上第一象限内一动点，且点。在对称轴心化的右侧，求四边形OEBQ

面积的最大值及此时点Q的坐标；

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例3.将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点。在48边上，△。石尸绕

点。旋转，腰D尸和底边DE分别交ACAS的两腰C4,CB于M,N两点，若CA=5,

4B=6，AD:AB=\:3,则MO+---的最小值为___________.

MA・DN

过关检测

1.在平面直角坐标系中，抛物线y_Y+伏_1»一左与直线）=依+1交于人，b两点，点A

在点5的左侧.

（1）如图1,当A=1时，直接写出A，〃两点的坐标;

（2）在（1）的条件下，点尸为抛物线上的一个动点，且在直线A3下方，试求出AA3P面

积的最大值及此时点P的坐标;

（3）如图2,抛物线¥=丁+（攵-1）“一依4:>0）与x轴交于点c、。两点（点C在点。的左

侧），在直线产质+1上是否存在唯一一点。，使得NOQC=90。？若存在，请求出此时4的

值；若不存在，请说明理由.

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2.（2020"成都模拟）如图，一次函数y=：x-2的图象与“轴交于点A,与y轴交于点6,

点。的坐标为（-1,0），二次函数,=以2+hx+c（a工0）的图象经过A,B>£>三点.

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1,已知点G（l,m）在抛物线上，作射线AG，点H为线段上一点，过点〃作

HE_Ly轴于点E,过点“作“j,AG于点尸，过点“作轴交AG于点尸，交抛物

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3.如图，一次函数尸=一］十2的图象与坐标轴交于A、6两点，点C的坐标为(-1,0)，二

次函数丁=以2+瓜的图象经过A、R、。三点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1,已知点在抛物线上，作射线8/),点。为线段回上一点，过点。作

QMJ,)，轴于点“，作QN_L8。于点“，过。作QP〃y轴交抛物线于点P,当QM与QN

的积最大时，求点尸的坐标；

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学习任务

1.如图，AD.LAB,BC1AB,且A£)=2,BC=3,AB=12,尸是线段AB上的一个动

点，连接PC

(1)设AP=X,用二次根式表示线段正，PC的长；

(2)设y=2。+「。，求当点P在线段A8上运动时，y的最小值；

(3)利用(2)的结论，试求代数式+J(24-x)2+式的最小值.

2.(2019•郸都区模拟)如图，直线与双曲线为=2在第一象限内交于4、8两

X

点，已知4LM，8(2,1).

(1)直接写出不等式为〉y的解集；

(2)求直线的解析式；

(3)设点尸是线段他上的一个动点，过点尸作PQ_Lx轴于点上是》轴上一点，求

APED的面积S的最大值.

AV

II

3.(2020•青白江区模拟)如图，抛物线)，