正余弦定理教案几课后作业

正余弦定理第一课时正弦定理(一)课题引入如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB(图1.1-1)(二)探索新知在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,A则bc从而在直角三角形ABC中，CaB(图1.1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（让学生进行讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，C同理可得，ba从而ADB(图1.1-3)让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？证明二：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=两边同除以即得：==证明三：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴(R为外接圆的半径)同理=2R，＝2R由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。证明四：（向量法）过A作单位向量垂直于由+=两边同乘以单位向量得•(+)=•则•+•=•∴||•||cos90°+||•||cos(90°-C)=||•||cos(90°-A)∴∴=同理，若过C作垂直于得：=∴==从而类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（让学生课后自己推导）从上面的研究过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即(三)理解定理(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；(2）等价于，，从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。(四)例题剖析例1．在中，已知，，cm，解三角形。(课本p3，例1)解：根据三角形内角和定理， ；根据正弦定理，；根据正弦定理，例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理， 因为＜＜，所以，或(1)当时，，(2)当时，，评述：例1，例2都使用正弦定理来解三角形，在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。(六)课时小结(让学生归纳总结)(1)定理的表示形式：；或，，(2)正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。第二课时余弦定理(一)课题引入如图1.1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,C已知a,b和C，求边c。baAcB(图1.1-4)(二)探索新知联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。如图1．1-5，设，，，那么c=a-b，=cc=(a-b)(a-b)A=aa+bb-2abbc从而CaB同理可证(图1．1-5)于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：(三)理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。让学生思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。(四)例题剖析例1在△ABC中，已知B=60cm，C=34cm，A=41°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm）。(课本P7例3)解：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3600+1156-4080×0.7547≈1676.82，所以，a≈41cm.由正弦定理得sinC=≈≈0.5440.因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用算器可得C≈33°,B=180°-(A+C)=180°-(41°+33°)=106°.例2在ABC中，已知，，，解三角形。解：由余弦定理的推论得：cos；cos ；=.评述：例1和例2是对余弦定理及其推论的运用，加深对定理及其推论的理解和运用。在利用余弦定理解三角形时，也要注意判断有两解的情况。[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）课时小结(让学生归纳总结)(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；(2)余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边。 课后作业（七）1．已知△ABC的外接圆半径为R，且=，那么∠C的大小为（）A、B、C、D、答案B详解：根据正弦定理有所以代入已知等式得化简得所以2．在△ABC中的内角A、B、C的对应边分别为、、。若、、成等比数列且，则等于（）A、B、C、D、答案：B详解：由成等比数列，得，且所以==3．在△ABC中∠A=，BC=3，则△ABC的周长为。答案：详解：4．等腰直角三角形ABC中，∠BAC=，若P、Q为斜边的三等分点，=。答案：解：，AD为BC边上的高，则,=5．已知△ABC的三边边长分别为，，，其中，则△ABC是。答案：锐角三角形解析：三个边分别平方后，两个的和减去另外一边的差总为正数，所以各角均为锐角。6．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为，且则角B＝。答案：详解：整理得到所以7．已知三角形的三遍满足条件，则角A＝。答案提示：余弦定理即可B卷8．已知△ABC的周长为，且,△ABC的面积为，则角C的度数为。答案解析：由正弦定理可得由于可得又三角形的面积为由面积公式可得得到所以9．在△ABC中已知,，AC边上的中线，=。答案：详解：延长BD到P使得DP=BD,过A做交BC于E，过P做交BC的延长线于F，则，,从而10．在△ABC中，已知，分别为△ABC的三条边，试判断三角形的形状？并证明你的结论。答案：锐角三角形提示：用归谬法证明即可11．如果的△ABC三个内角的余弦值分别等于△A1B1C1的三个内角的正弦值，试判断这两个三角形的形状。答案：△