山东省潍坊市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

山东省潍坊市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．设全集U=R，集合A={x||x−2|≤1}，B={x|2x−4≥0}A．(1，2) B．(1，2] C．2．若复数z满足(2−i)z=i2023，则A．15−25i B．−13．已知函数f(x)=sinx，A．π6 B． C．32 D．4．若一组样本数据x1、x2、⋯、xn的平均数为10，另一组样本数据2x1+4、A．17，54 B．17，48 C．15，54 D．15，485．宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当n=1，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则n=5时，圆球总个数为（）A．30 B．35 C．40 D．456．已知正三棱锥P−ABC的侧棱长为3，点E，F分别在线段PC，BC（不包括端点）上，且EF∥PB，∠AEF=90°，若点M为三棱锥P−ABC的外接球的球面上任意一点，则点M到平面ABC距离的最大值为（）A．43 B．524 C．27．已知O为坐标原点，A，B是抛物线y2=4x上的动点，且OA⊥OB，过点O作OH⊥AB，垂足为A．(1，0) B．(2，0) C．8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1，对∀x，y∈R，有f(xy+1)=f(x)f(y)−f(y)−x+2，则i=12023A．20234050 B．20242025 C．20234048二、多选题9．关于下列命题中，说法正确的是（）A．已知X∼B(n，p)，若E(X)=30，D(X)=20B．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78C．已知ξ∼N(0，1)，若P(ξ>1)=pD．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人.10．在棱长为1的正方体ABCD−A1B1CA．异面直线AD1与AB．三棱锥B1C．不存在点P，使得AD1D．PB+PC的最小值为3+11．已知函数f(x)=a−(x+2)(x−6)x+2A．f(x)的图象关于x=2对称B．若f(x)在区间[−2，2]上单调递增，则a<0C．若a=1，则f(x)的极大值为1D．若a<0，则f(x)的最小值为a12．若数列{an}满足aA．正项递增数列均为“差半递增”数列B．若数列{an}的通项公式为aC．若数列{an}D．若数列{an}为“差半递增”数列，其前n项和为Sn，且满足S三、填空题13．如图所示，A，B，C，D是正弦函数y=sinx图象上四个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，则(14．已知函数f(x)=3sinx+4cosx，且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P(415．写出一个同时满足下列三个性质的函数f(x)=.①f(x)是奇函数；②f(x)在(2，+∞)单调递增；③16．设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，过点A且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于点P，Q.若线段四、解答题17．已知正项数列{an}满足a（1）证明：数列{an+1}（2）设bn=(−1)nlog4(a18．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，（1）求tanA（2）若tanA=2，a=45，求19．一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为23，三个红球一个白球的概率为1（1）从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；（2）现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为34，抽到三个小球的概率为14，所抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记−1分，用X表示抽到的小球分数之和，求20．已知三棱台A1B1C1−ABC中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=2，AA1=A1B（1）求证：AB（2）若D是线段A1C1的中点，平面DEF与A1B21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）P是C上一动点，求PF（2）过C的右焦点F2，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求△22．已知函数f(x)=e（1）若a=1，求证；函数f(x)的图象与x轴相切于原点；（2）若函数f(x)在区间(−1，0)，(0，

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解不等式|x−2|≤1得：1≤x≤3，则A=[解不等式2x−4≥0得：x≥2，则B=[所以A∩(∁故答案为：C

【分析】分别求出集合A，B，再根据交集和补集的定义即可求解出答案.2．【答案】D【解析】【解答】i2023所以z=−i则z=故答案为：D

【分析】利用复数的运算求出z的代数形式，然后由共轭复数的定义即可得到答案.3．【答案】B【解析】【解答】由题意可知，π6≥所以f(π故答案为：B

【分析】依题意知f(π6)等于sinπ6与π4．【答案】A【解析】【解答】由题意可知，数据x1、x2、⋯、xn的平均数为10，则所以，数据2x1+4、2x2x'方差为s'所以，i=1n将两组数据合并后，新数据x1、x2、⋯、xn、2x1+4、x″方差为s=1故答案为：A.

【分析】利用平均数和方差的性质直接求解，可得答案.5．【答案】B【解析】【解答】当n=1，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，所以当n=4时，每层圆球的个数分别为1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，可得，n=5时，底层有1+2+3+4+5=(1+5)×5故一共有20+15=35个球.故答案为：B

【分析】求出底层个数，加上前4层总数20，即可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】取AC的中点D，连接BD，在正三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=3所以PD⊥AC，下底面为等边△ABC，所以BD⊥AC，由PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，所以PB⊥AC，因为EF∥PB，∠AEF=90°，所以AE⊥EF，所以AE⊥PB，由AE∩AC=A，所以PB⊥平面PAC，又AP⊂平面PAC，所以PB⊥PA，所以∠APB=90所以AB=BC=AC=P设三棱锥的外接球球心为O，△ABC外接圆的圆心为O1连接PO所以O1一定在BD上，且O一定在P同时PO1⊥在△ABC中由正弦定理得：2AO在Rt△PAO1中，在Rt△OAO1中，设球体的半径为R，所以R2所以OO所以三棱锥P−ABC的外接球的球面上任意一点M到平面ABC距离的最大值为：OO故答案为：C.

【分析】取AC的中点D，连接BD，PD，利用正弦定理求出△ABC外接圆的半径，求出球心到△ABC外接圆圆心的距离，即可得出点M到平面7．【答案】B【解析】【解答】法一：设直线AB方程为x=my+n，A联立直线和抛物线方程整理得y2所以y又OA⊥OB，即OA·OB=0，所以y12则直线ABx=my+4过定点D（4，0）因为OH⊥AB，则点H在为直径的圆上（其中圆心坐标为OD中点（2，0）），故（2，0）到H的距离为定值故答案为：B法二：设直线AB方程为x=my+n，A联立直线和抛物线方程整理得y2所以y又OA⊥OB，即OA·OB=0，所以y12又因为OH⊥AB，所以OH的方程为y=−mx，解得H(对于A，(1，0)到点H的距离为对于B，(2，0)到点H的距离为对于C，(1，2)到点H的距离为对于D，(2，1)到点H的距离为故答案为：B

【分析】根据题意可设直线AB方程为x=my+n，联立抛物线方程再利用OA⊥OB，可得n=4，法一：可知H在圆上运动进行判断，法二：再由OH⊥AB得出OH的方程为y=−mx，解得H(48．【答案】A【解析】【解答】令x=y=0，由已知可得f(1)=f令y=1，由已知可得f(x+1)=f(x)f(1)−f(1)−x+2=2f(x)−x，设an=f(n)，n∈N又a1=2，所以an+1则1f(i)f(i+1)所以i=12023故答案为：A.

【分析】令x=y=0，由已知可得f(1)，令y=1，由已知可得f(x+1)=2f(x)−x，设an=f(n)，n∈N*，则an+19．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A，∵X∼B(n，p)，∴E(X)=np=30D(X)=np(1−p)=20，对于B，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，∵10×45%=4.对于C，∵ξ∼N(0，1)，对于D，∵抽样比为20400=120，∴高二应抽取故答案为：BCD.

【分析】若X∼B(n，p)则E(X)=np=30D(X)=np(1−p)=2010．【答案】A,B【解析】【解答】对于A项，如图1，连接CD1，AC.因为所以△ACD1是等腰三角形，所以∠D1AC=60∘所以A1C1//AC.所以异面直线AD1与A1对于B项，因为AB//C1D1且AB=C因为BC1⊂平面BCC1B1，A所以点P到平面BC1B1的距离d即等于点A到平面BCC所以VP−BC1对于C项，如图2，取AD1中点为P.因为DA=DD1，P是又由已知可得，CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂且CD⊂平面PCD，DP⊂平面PCD，所以AD1⊥平面PCD，即存在点P，使得A对于D项，如图3，将△BAD1和△CAD1展开到同一平面，当点P为因为AD1=AC=CD1=2，所以∠由余弦定理可得，BC所以PB+PC的最小值为3+6故答案为：AB.

【分析】利用正方体的结构特征结合异面直线所成的角，棱锥的体积公式，线面垂直的判定定理及余弦定理逐项进行判断，可得答案.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】由题意可知，函数f(x)的定义域为[−2，则4−x∈[−2，6]可得对于∀x∈[−2，6]，f(4−x)=f(由f(x)=a−(x+2)(x−6)令g(x)=x+2+6−xg令g'(x)=0，得x=2，当x∈[−2，2]时，当x∈[2，6]时，g'根据函数单调性可知，若f(x)在区间[−2，2]上单调递增，则a>0，B不符合题意；当a=1，则f(x)=g(x)=x+2所以f(x)在x=2处取得极大值f(2)=2−1=1，即f(x)的极大值为1，C符合题意；若a<0，根据函数单调性可知f(x)在区间[−2，2]上单调递减，[2，所以f(x)在x=2处取得极小值，也是最小值，由f(x)=a(x+2+6−x所以a<0，则f(x)的最小值为a，即D符合题意；故答案为：ACD

【分析】由题意可知，对于∀x∈[−2，6]，f(4−x)=f(x)，所以f(x)的图象关于x=2对称，可判断A；令g(x)=x+2+6−x2−4x+2+6−x，x∈[−2，6]，求导根据导数的符号可得g(x)的单调性，根据函数单调性可知，若f(x)在区间[−2，2]上单调递增，则a>0，可判断B；当12．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A，假设一个正项递增数列为：1，4，5，则4−12=对于B，因为an所以a(a因为q>1，所以函数y=2q2−3q+1即(an+1−对于C，设公差d>0，an=a1+所以an所以(an+1−对于D，因为Sn=2an−当n≥2时，an所以an−2所以数列{an2所以an所以对任意n∈N∗，n≥2，所以8(所以t>−6n−203，因为所以当n=2时−6n−203有最大值为−所以t>−32故答案为：BCD.

【分析】根据“差半递增”数列的定义，可判断A；an−12an−1=qn−12qn−1，an+1−113．【答案】12【解析】【解答】由图象结合正弦函数可得，A(π2，1)，B(3π所以OA=(π2，1)，OB所以OA+OB=(2π所以(OA故答案为：12π

【分析】由向量加法的坐标表示求向量坐标，进而用数量积的坐标表示求出答案.14．【答案】3【解析】【解答】f(x)=3sinx+4cosx=5sin则f(x)≤f(θ)=5⇒θ+φ=π则tanθ=tan(故答案为：3

【分析】先用辅助角公式求出tanφ=43，φ∈(015．【答案】x（x+1）（x-1）（答案不唯一）【解析】【解答】由f(x)是奇函数，不妨取f(0)=0，且函数图象关于原点对称；又f(x)有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，若保证f(x)在(2，+∞)单调递增，显然故答案为：x（x+1）（x-1）（答案不唯一）

【分析】根据奇函数的图象关于原点对称且函数有奇数个零点，得出函数原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，故可猜测f(x)=x(x+1)(x−1)，然后进行验证即可.16．【答案】15【解析】【解答】由题意可知A(a过点A且斜率为2的直线方程为y=2(不妨设直线y=2(x−a)与渐近线y=bax交于点联立y=2(x−a)同理得Q(2a22a+b，−设过点A且斜率为2的直线的倾斜角为α，即tanα=2，可得所以cos∠OAM=−由余弦定理可得O即(4整理可得3(即(3(ba)2所以双曲线离心率为e=c故答案为：15

【分析】设直线y=2(x−a)与渐近线y=bax交于点P，与渐近线y=−b17．【答案】（1）证明：将等式右边分解得an+1因为已知an>0，所以所以an+1所以数列{an+1}所以an即an所以数列{an（2）解：结合（1）知bn所以当n为偶数时，Tn当n为奇数时，Tn所以数列{bn【解析】【分析】(1)由数列的递推式可得an+1+1=2(an+1)，结合等比数列的定义和通项公式，可得数列{an}的通项公式；

(2)结合（1）知18．【答案】（1）解：由已知得cosC(整理得2cos因为sinA>0，所以2又因为cosA=−所以sinB可得tanBtanA=−当且仅当tanB=故tanA的最小值为3（2）解：由（1）知tanA=2，所以tan又因为tanBtanC=3，所以tan当tanC=1时，sinC=2当tanC=3时，sinC=3综上，c=52或3【解析】【分析】（1）由已知结合两角差的正弦公式可得2cosCsinAcosB=cosAsinA，cosA=−cos(B+C)19．【答案】（1）解：记事件A表示“抽取一个小球且为红球”，B1表示“箱子中小球为两红两白”，B则P(（2）解：由题意得X的取值可以为-2，0，1，3，4，6，P(X=−2)=2P(X=0)=2P(X=1)=2P(X=3)=2P(X=4)=2P(X=6)=1随机变量X的分布列为：X-201346P1111751所以X的分布列及数学期望为：E(X)=(−2)×1【解析】【分析】(1)根据离散型随机变量的性质结合条件概率求解即可；

(2)由题意先找出随机变量X的值，分别求出各自的概率，列出分布列，求出数学期望.20．【答案】（1）证明：如图所示：取线段AB的中点G，连接A1G，EG，易得DA1∥EG，所以E，G因为AB1⊥A1C1，A1C1∥AC所以AA1⊥AC，因为AB∩AA1=A，AB⊂平面所以AC⊥平面AA因为E，G分别是BC，BA的中点，所以EG∥AC，所以EG⊥平面AA因为AB1⊂平面因为AA1=又因为AA1⊥AG，所以四边形A又因为EG∩A1G=G，EG⊂平面A1DEG所以AB1⊥平面A1DEG，因为DE⊂（2）解：延长EF与C1B1相交于点Q，连接DQ，则DQ与A由F，E分别为BB1和BC的中点知M为线段A1由（1）知AC⊥AB，所以AC、AB、AA以点A为原点，AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系C(2，0，0)，M(0，设平面MAC的法向量n1=(a，b，c)易得平面ABC的一个法向量n2设二面角M−AC−B为θ，由图易知θ为锐角，所以cosθ=所以二面角M−AC−B的余弦值为213【解析】【分析】(1)利用线面垂直证明线线垂直；

(2)以点A为原点，AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系A−xyz，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面MAC的法向量和平面ABC的一个法向量，利用向量法可求出二面角21．【答案】（1）解：由题意知c=3，所以a将点Q(3，−12)代入x2设点P(x，y)，则又因为x∈[−2，2]，所以PF（2）解：依题意可设直线l的方程为x=my+3，M(x1联立x=my+3，x所以y1+y所以S△又因为m2当且仅当m=±2时等号成立.所以S又因为三角形内切圆半径r满足r=2所以△F1MN【解析】【分析】(1)由已知可得c，把点Q的坐标代入方程可求b，进而可求椭圆的方程，可求出PF1⋅PF2的范围；

(2)设直