2025年新高考数学一轮复习第2章第05讲对数与对数函数(八大题型)(讲义)(学生版+解析)

第05讲对数与对数函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：对数式的运算 4知识点2：对数函数的定义及图像 5解题方法总结 5题型一：对数式的运算 6题型二：对数函数的图象及应用 6题型三：对数函数过定点问题 8题型四：比较对数式的大小 8题型五：解对数方程或不等式 9题型六：对数函数的最值与值域问题 10题型七：对数函数中的恒成立问题 11题型八：对数函数的综合问题 1204真题练习·命题洞见 1305课本典例·高考素材 1406易错分析·答题模板 15易错点：无视对数函数中底数和真数的范围 15答题模板：对数型复合函数的单调问题 16

考点要求考题统计考情分析（1）对数的概念及运算性质（2）对数函数的图象（3）对数函数的性质2024年II卷第8题，5分2024年北京卷第7题，4分2024年天津卷第5题，5分2023年北京卷第11题，5分2023年I卷第10题，5分2022年天津卷第6题，5分2022年浙江卷第7题，5分2022年I卷I卷第7题，5分从近五年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用对数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.复习目标：（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.（3）了解指数函数与对数函数(，且)互为反函数．

知识点1：对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；②常用对数：以为底，记为；③自然对数：以为底，记为；(3)对数的性质和运算法则：①；；其中且；②(其中且，)；③对数换底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；【诊断自测】（2024·青海·模拟预测）若，，则（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2知识点2：对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数且叫做对数函数．(12)对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，【诊断自测】（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（

）A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限解题方法总结1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)题型一：对数式的运算【典例1-1】已知，则.（用含的式子表示）【典例1-2】（2024·重庆·三模）若正实数，满足，，则.【方法技巧】对数的有关运算问题要注意公式的正用、逆用及变形等应用．【变式1-1】化简下列各式：(1)；(2).【变式1-2】已知，，则.（用表示）【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知，则．题型二：对数函数的图象及应用【典例2-1】已知函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【典例2-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（

）A． B．C． D．【方法技巧】对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，对数函数的图像呈上升趋势；当时，对数函数的图像呈下降趋势.【变式2-1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数的大致图象不可能为（

）A．

B．

C．

D．

【变式2-2】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（

）A． B． C． D．【变式2-3】（2024·高三·上海·期末）已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为.【变式2-4】（2024·高三·北京·开学考试）已知函数，给出下列四个结论：①，使得有两个零点；②若，则有两个零点；③，使得有两个零点：④，使得有三个零点；以上正确结论的序号是.【变式2-5】已知函数，若且，则的取值范围为.题型三：对数函数过定点问题【典例3-1】函数

(且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【典例3-2】函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．【方法技巧】恒过定点．【变式3-1】函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（

）A． B．3 C．7 D．4【变式3-2】已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式3-3】（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．题型四：比较对数式的大小【典例4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【典例4-2】已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【方法技巧】比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．【变式4-1】（2024·天津·二模）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式4-2】（2024·宁夏银川·三模）已知，，，则（

）A． B．C． D．【变式4-3】（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式4-4】（2024·江西·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．无法确定题型五：解对数方程或不等式【典例5-1】方程的解是.【典例5-2】不等式的解集为．【方法技巧】（1）对于形如的形式，利用转化；对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可．【变式5-1】不等式的解集是．【变式5-2】方程：的解是.【变式5-3】不等式的解集是.【变式5-4】不等式的解集是.【变式5-5】由函数的观点，不等式的解集是.题型六：对数函数的最值与值域问题【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例6-2】已知函数的最大值为2，则．【方法技巧】对数函数的最值与值域问题通常利用对数函数的单调性解决.【变式6-1】若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为.【变式6-2】已知函数(且).(1)当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；(2)是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．【变式6-3】已知函数的最大值为，则函数的最小值为（结果用表示）【变式6-4】已知函数且是奇函数．(1)求的值；(2)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．题型七：对数函数中的恒成立问题【典例7-1】已知函数，若对任意都有，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例7-2】若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【方法技巧】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决．【变式7-1】已知函数，且，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是.【变式7-2】已知且，当时，，则的取值范围为.【变式7-3】已知函数为奇函数．(1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性（不用证明）；(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．题型八：对数函数的综合问题【典例8-1】（2024·四川南充·模拟预测）函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【方法技巧】对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．【变式8-1】已知函数，，则．若方程的所有实根之和为4，则实数m的取值范围是．【变式8-2】设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是.【变式8-3】已知函数.(1)求的定义域；(2)若，求的取值范围.【变式8-4】（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（

）A． B． C． D． E．均不是【变式8-5】给出函数，(1)若，求不等式的解集；(2)若，且，求的取值范围；(3)若，非零实数，满足，求证：.1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．12．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（

）A． B．C． D．3．（2022年新高考天津数学高考真题）化简的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．64．（2022年新高考天津数学高考真题）已知，，，则（

）A． B． C． D．1．我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题：（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？2．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据，）3．已知，，求实数a的取值范围.4．比较下列各题中三个值的大小:(1);(2).5．假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元,下表给出了两种价格增长方式,其中是按直线上升的房价,是按指数增长的房价,t是2002年以来经过的年数.t05101520/万元2030405060/万元204080(1)求函数的解析式;(2)求函数的解析式;(3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异.易错点：无视对数函数中底数和真数的范围易错分析：忽略“对数的真数大于0”这一个条件导致出错，面对这类题一定要注意真数和底数的范围.【易错题1】解不等式.【易错题2】的定义域为，求实数的取值范围.答题模板：对数型复合函数的单调问题1、模板解决思路判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.2、模板解决步骤第一步：求函数的定义域．第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．【典例1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．第05讲对数与对数函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：对数式的运算 4知识点2：对数函数的定义及图像 5解题方法总结 6题型一：对数式的运算 6题型二：对数函数的图象及应用 8题型三：对数函数过定点问题 14题型四：比较对数式的大小 16题型五：解对数方程或不等式 18题型六：对数函数的最值与值域问题 21题型七：对数函数中的恒成立问题 25题型八：对数函数的综合问题 2904真题练习·命题洞见 3605课本典例·高考素材 3806易错分析·答题模板 41易错点：无视对数函数中底数和真数的范围 41答题模板：对数型复合函数的单调问题 41

考点要求考题统计考情分析（1）对数的概念及运算性质（2）对数函数的图象（3）对数函数的性质2024年II卷第8题，5分2024年北京卷第7题，4分2024年天津卷第5题，5分2023年北京卷第11题，5分2023年I卷第10题，5分2022年天津卷第6题，5分2022年浙江卷第7题，5分2022年I卷I卷第7题，5分从近五年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用对数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.复习目标：（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.（3）了解指数函数与对数函数(，且)互为反函数．

知识点1：对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；②常用对数：以为底，记为；③自然对数：以为底，记为；(3)对数的性质和运算法则：①；；其中且；②(其中且，)；③对数换底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；【诊断自测】（2024·青海·模拟预测）若，，则（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】B【解析】由，所以故选：A知识点2：对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数且叫做对数函数．(12)对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，【诊断自测】（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（

）A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【答案】C【解析】当时，，则当时，函数图象过二、三、四象限；则当时，函数图象过一、三、四象限；所以函数的图象一定经过三、四象限.故选：D解题方法总结1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)题型一：对数式的运算【典例1-1】已知，则.（用含的式子表示）【答案】【解析】因为，所以，又，所以.故答案为：【典例1-2】（2024·重庆·三模）若正实数，满足，，则.【答案】100【解析】由于，整理得，①，又，②，所以①+②得：；即对于取常用对数可得，，故.故答案为：100.【方法技巧】对数的有关运算问题要注意公式的正用、逆用及变形等应用．【变式1-1】化简下列各式：(1)；(2).【解析】（1）原式.（2）原式.【变式1-2】已知，，则.（用表示）【答案】【解析】因为，所以，又，所以.故答案为：【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知，则．【答案】3【解析】依题意，，则．故答案为：3题型二：对数函数的图象及应用【典例2-1】已知函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【答案】B【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A.【典例2-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，由得，所以令，这3个函数图象情况如下图所示：设交于点，交于点，由于的图象关于直线对称，而的交点为，所以，注意到函数的对称轴为直线，即，且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程，从而.故选：B.【方法技巧】对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，对数函数的图像呈上升趋势；当时，对数函数的图像呈下降趋势.【变式2-1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数的大致图象不可能为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【解析】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，当时，为减函数，且过定点，故函数的大致图象不可能为BCD选项.故选：BCD.【变式2-2】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，结合图象可知，A错误；由题意知，也即，由于函数和互为反函数，二者图象关于直线对称，而为和的图象与直线的交点，故关于对称，故，B错误；由，故，C错误；因为，故，结合，即得，D正确，故选：D【变式2-3】（2024·高三·上海·期末）已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为.【答案】【解析】作出的图像如图：当时，由，得，若互不相等，不妨设，因为，所以由图像可知，由，得，即，即，则，所以，因为，所以，即，所以的取值范围是．故答案为：．【变式2-4】（2024·高三·北京·开学考试）已知函数，给出下列四个结论：①，使得有两个零点；②若，则有两个零点；③，使得有两个零点：④，使得有三个零点；以上正确结论的序号是.【答案】③④【解析】首先我们分别作出和当时，即的图像，将直线图像绕定点按要求旋转分析，我们发现不存在，使得有两零点，故①不正确；由上图可得我们可得当时，此时的零点为2，且仅有一个，故②不正确；若，则当函数与直线的图象相切时，设切点横坐标为，此时，则，得到方程组化简得，易得，则此时有两个零点，图像见下图，故③正确；当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图像如下图所示，则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示，故④正确.故答案为：③④.【变式2-5】已知函数，若且，则的取值范围为.【答案】【解析】画出的图象如图：∵，且，∴且，，∴，即，∴，，由图象得在上为减函数，∴，∴的取值范围是.故答案为：.题型三：对数函数过定点问题【典例3-1】函数

(且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为对数函数(且)恒过定点，所以函数

(且)的图象必过定点.故选：C.【典例3-2】函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．【答案】B【解析】当时，，所以，函数过定点，得，所以，，因为，，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以，的最小值为8.故选：B【方法技巧】恒过定点．【变式3-1】函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（

）A． B．3 C．7 D．4【答案】B【解析】对于函数，当时，，所以，则，所以，当且仅当时等号成立.故选：A【变式3-2】已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】因为，所以函数图象过的定点为，将其代入直线方程得，即，又，所以，当且仅当即时，等号成立，故有最小值4.故选：C.【变式3-3】（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．【答案】B【解析】由题意可知，则，当且仅当，时，的最小值为，故选:A．题型四：比较对数式的大小【典例4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，则，故选：C.【典例4-2】已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，∴，因为，∴，∴．故选：D．【方法技巧】比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．【变式4-1】（2024·天津·二模）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，.故选：C.【变式4-2】（2024·宁夏银川·三模）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题知，，，因为在定义域内单调递增，所以，即，因为在定义域内单调递减，所以，即，因为在上单调递减，所以，即，综上：.故选：D【变式4-3】（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故.令，则.当时，，单调递减，则，即.故.故选：A.【变式4-4】（2024·江西·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，可得，令，，所以，设，，，作出它们的图象如图：由图可知.故选项A正确.故选：A.题型五：解对数方程或不等式【典例5-1】方程的解是.【答案】【解析】由方程，可得，，解得.故答案为：【典例5-2】不等式的解集为．【答案】【解析】设函数，则应有，解得，所以，定义域为.又，所以，由，可得.因为以及均在上单调递增，所以，在上单调递增，所以，.综上所述，.所以，不等式的解集为.故答案为：.【方法技巧】（1）对于形如的形式，利用转化；对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可．【变式5-1】不等式的解集是．【答案】【解析】设，其定义域为，和在均为增函数，则在为增函数，且，，即，，不等式的解集是.故答案为：.【变式5-2】方程：的解是.【答案】【解析】因为，即，所以，即，解得，则，或无实根.故答案为：【变式5-3】不等式的解集是.【答案】或【解析】原不等式可化为，即，∴，于是，亦即或，∴或，故解集为或故答案为：或【变式5-4】不等式的解集是.【答案】【解析】由可得，又恒成立，恒成立，所以不等式等价于，即，也即；可得，所以，解得.所以原不等式的解集为.故答案为：【变式5-5】由函数的观点，不等式的解集是.【答案】【解析】由不等式，可得，令，可知的定义域为，因为在定义域上单调递增，可知在定义域上单调递增，且，对于不等式即为，解得，所以不等式的解集是.故答案为：.题型六：对数函数的最值与值域问题【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使函数在区间上有最大值或最小值，由于开口向上，故需函数在区间上有最小值，且．该函数图像的对称轴为直线，所以，解得，所以，且，即实数的取值范围为．故选：B．【典例6-2】已知函数的最大值为2，则．【答案】6【解析】因为函数由与复合而成，而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值，由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．故答案为：【方法技巧】对数函数的最值与值域问题通常利用对数函数的单调性解决.【变式6-1】若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为.【答案】/【解析】由题意知，，解得，因为，因为，则，又因为的最小值为－4，则，所以，即，得，因为，所以.故答案为：.【变式6-2】已知函数(且).(1)当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；(2)是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）当时，函数恒有意义，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，，则，所以在上单调递减，所以，所以.又且，所以.（2）函数在区间上有意义，则在上恒成立．由（1）同理可知，，又函数在区间上为减函数，并且最大值为.当时，为减函数，则且在上单调递增，所以，即，故不存在这样的实数；当时，为增函数，则且在上单调递减，所以，即，故不存在这样的实数.综上，不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为.【变式6-3】已知函数的最大值为，则函数的最小值为（结果用表示）【答案】【解析】因为，所以，则，当的取值范围为时，的取值范围为，所以的最大值与的最大值相等，均为，所以的最小值为．故答案为：.【变式6-4】已知函数且是奇函数．(1)求的值；(2)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）由函数且是奇函数，可得，即，可得，经验证：当时，，满足，此时函数为奇函数，符合题意.（2）由，可得为单调递减函数，因为对任意有恒成立，即对任意有恒成立，设，则函数开口向上的抛物线，且对称轴为，当时，即时，此时函数在区间上单调递增，则，解得；当时，即时，此时函数在对称轴处取得最小值，则，解得，因为，此时无解；当时，即时，此时函数在区间上单调递减，则，解得，因为，此时无解；综上可得，实数的取值为.（3）由，可得，解得或（舍去），所以，则，设，则，当时，可得，此时，又由，则当时，在上的最小值为；当时，在上的最大值为；设，当时，函数在处取得最小值，此时，解得（舍去）；当时，函数的对称轴为，函数在处取得最大值，此时，解得（舍去）；当时，函数的对称轴为，函数在处取得最大值，此时，综上可得，不存在这样的实数，使得其成立.题型七：对数函数中的恒成立问题【典例7-1】已知函数，若对任意都有，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为若对任意，都有，所以对任意，都有，令，则在上单调递增．首先.因为在上递增，所以在上递增．当时，显然符合题意；当时，令，则在上递增，所以，则.综上所述，，故D正确．故选：D．【典例7-2】若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】变形为：，即在上恒成立，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图像，要想满足在上恒成立，只需，即，解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：C【方法技巧】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决．【变式7-1】已知函数，且，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】根据题意知，因为，其图象开口向下，对称轴为，所以当时，其最小值，当时，，在上的最小值为，则由得，当时，，在上的最小值为，则时，无解，故实数的取值范围为，故答案为：.【变式7-2】已知且，当时，，则的取值范围为.【答案】【解析】当时，.当时，成立.当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以.综上，的取值范围为.故答案为：．【变式7-3】已知函数为奇函数．(1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性（不用证明）；(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，函数为奇函数，所以，即在上恒成立，即，（舍），当时，，函数的定义域为，又函数为奇函数，所以，此时，函数定义域为，，函数为奇函数，满足，综上所述：；（2）在和上单调递减，证明如下：，定义域为，设，且，则因为，且，所以，所以，所以在上单调递减，同理可证，所以在上单调递减；所以在，上单调递减.（3）函数在和上单调递减，且当时，，当时，，时，，所以当时的值域，又，设，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即在上的值域，又对任意的，总存在，使得成立，即，所以，解得，即.题型八：对数函数的综合问题【典例8-1】（2024·四川南充·模拟预测）函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知，，，令，则，又因为与互为反函数，所以、分别与的的交点关于对称，所以，即：，又因为，，所以由零点存在性定理可知，，又因为，即，所以，对于A项，因为，，所以，故A项错误；对于B项，因为，所以，又因为，，所以，故B项正确；对于C项，因为，，所以，故C项错误；对于D项，因为，，，所以，故D项错误.故选：B.【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，由复合函数的单调性可知在上单调递减，所以；当时，，因为在上单调递增，为增函数，所以在上单调递增，又在上为增函数，所以在单调递增，所以.综上，在上恒成立，当且仅当时取等号.所以不等式，解得且且，即原不等式的解集为.故选：D【方法技巧】对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．【变式8-1】已知函数，，则．若方程的所有实根之和为4，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】函数，，则，所以；显然函数的图象关于直线对称，如图，函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，当，即或时，，点关于直线对称，当且时，函数的图象关于直线对称，因此函数（）的图象关于直线对称，由于函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，函数值集合为R，在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R，于是函数在上单调递减，函数值集合为R，在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，当时，直线与函数的图象有3个交点，方程的所有实根和为6；当且时，直线与函数的图象有4个交点，方程的所有实根和为8；当时，直线与函数的图象有6个交点，方程的所有实根和为12；当时，直线与函数的图象有2个交点，方程的所有实根和为4，所以实数m的取值范围是.故答案为：；【变式8-2】设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是.【答案】【解析】由题设，的图象如下图示：令，则化为，∴要使原方程有8个不同实根，则有2个不同的实根且两根、，∴，可得，又在上递减，在上递增，且，，即，综上，.故答案为：.【变式8-3】已知函数.(1)求的定义域；(2)若，求的取值范围.【解析】（1）要使函数有意义，则，解得，所以的定义域为；（2）因为，所以，，因为，所以，所以当时，，对于函数，，若，则函数在定义域上单调递减，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以，则，因为，所以，无解；若，则函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以，则，又，所解得；综上，的取值范围为.【变式8-4】（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】A【解析】由已知条件可知，，，令，，，如图所示，曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称，设曲线分别与曲线，交于点，，则点，关于直线对称，而点关于直线对称的点为，即为点，则，即.故选：C.【变式8-5】给出函数，(1)若，求不等式的解集；(2)若，且，求的取值范围；(3)若，非零实数，满足，求证：.【解析】（1）若，则不等式为，即，所以，解得或，所以不等式的解集为.（2）设，可得其定义域是，则，所以是偶函数，设，则，，故，所以，因为，所以，即，故在上是严格减函数，又因为，所以是偶函数，且在上是严格减函数，所以，不等式等价于，由单调性可得，解得的取值范围是.（3）若，则，由得，所以，所以.设，则，，解得，，则.要证，即证.因为，所以只需证，即证：.设，则，所以在上是严格增函数，故，于是.1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，，故，所以；时，，故，所以；故，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.2．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生