2025年新高考数学一轮复习第8章第03讲圆的方程(八大题型)(练习)(学生版+解析)

第03讲圆的方程目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：求圆多种方程的形式 2题型二：直线系方程和圆系方程 2题型三：与圆有关的轨迹问题 2题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 3题型五：点与圆的位置关系判断 3题型六：数形结合思想的应用 4题型七：与圆有关的对称问题 4题型八：圆过定点问题 502重难创新练 503真题实战练 7题型一：求圆多种方程的形式1．（2024·陕西榆林·二模）圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线相切的圆的方程为．2．（2024·全国·模拟预测）与直线相切于点的圆的方程为．（写出一个即可）3．（2024·北京西城·二模）已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为．4．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知，则外接圆的方程为（

）A． B． C． D．题型二：直线系方程和圆系方程5．圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（

）A． B．C． D．6．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是．7．过两圆与的交点和点的圆的方程是.题型三：与圆有关的轨迹问题8．（2024·湖南长沙·一模）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为.9．长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程为．10．已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是11．由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.12．已知的斜边为，且.求：(1)直角顶点的轨迹方程；(2)直角边的中点的轨迹方程.题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件13．（2024·高三·福建龙岩·期中）“方程表示的图形是圆”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．（2024·广东广州·三模）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型五：点与圆的位置关系判断16．若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．17．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．18．若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．19．（多选题）（2024·广西·模拟预测）若点在圆的外部，则的取值可能为（

）A． B．1 C．4 D．7题型六：数形结合思想的应用20．若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是.21．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．22．（2024·吉林白山·统考二模）若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是(

)A． B． C． D．2题型七：与圆有关的对称问题23．若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．424．已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．25．已知圆关于直线对称，则实数（

）A． B．1 C． D．326．圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．题型八：圆过定点问题27．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为．28．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和29．已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为（其坐标与无关）1．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（

）A．6 B． C． D．2．（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．93．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（

）A． B．1 C．2 D．46．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（

）A． B．C． D．7．（2024·山西晋中·模拟预测）已知直线l：与圆：，下列说法正确的是（

）A．所有圆均不经过点 B．若关于l对称，则C．若l与相交于AB且，则 D．存在与x轴和y轴均相切的圆8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知拋物线，其焦点到准线的距离为2，过焦点且斜率大于0的直线交拋物线于两点，以为直径的圆与准线相切于点，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．9．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知复数，，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．若，则的最小值为D．若，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹方程为10．（多选题）（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（

）A．面积的最大值为12 B．的最大值为72C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分11．（多选题）（2024·贵州遵义·二模）已知平面内曲线：，下列结论正确的是（

）A．曲线关于原点对称B．曲线所围成图形的面积为C．曲线上任意两点同距离的最大值为D．若直线与曲线交于不同的四点，则12．（2024·陕西榆林·三模）在中，，则面积的最大值为.13．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是．14．（2024·上海·模拟预测）平面点集所构成区域的面积为.15．（2024·湖南邵阳·三模）写出满足“点在圆外部”的一个的值：．16．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为.1．（2023年高考全国乙卷数学真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（

）A． B． C． D．2．（2007年普通高等学校招生考试数学试题（福建卷））以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（

）A． B．C． D．3．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（全国卷III））圆过点的切线方程是（

）A． B．C． D．4．（2001年普通高等学校招生考试数学试题（全国卷））过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（

）A． B．C． D．5．（2006年普通高等学校招生考试数学试题（重庆卷））以点为圆心且与直线相切的圆的方程是A． B．C． D．6．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（全国卷IV））已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为A． B．C． D．7．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（北京卷））圆的圆心坐标是，如果直线与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是．8．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（上海卷））圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的一般方程为.9．（2019年浙江省高考数学试卷）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则，.第03讲圆的方程目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：求圆多种方程的形式 2题型二：直线系方程和圆系方程 3题型三：与圆有关的轨迹问题 4题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 7题型五：点与圆的位置关系判断 8题型六：数形结合思想的应用 9题型七：与圆有关的对称问题 11题型八：圆过定点问题 1302重难创新练 1403真题实战练 24题型一：求圆多种方程的形式1．（2024·陕西榆林·二模）圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线相切的圆的方程为．【答案】【解析】根据题意，设圆心为坐标为因为圆的半径为8，且与直线相切，则圆心到直线的距离，解得或（舍），则圆的坐标为，所求圆的方程为故答案为：2．（2024·全国·模拟预测）与直线相切于点的圆的方程为．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一，只要满足即可，其中为圆心的横坐标，且）【解析】设所求圆的圆心坐标为，则，即，所以满足条件的圆的方程为，故只要满足即可，取，可得圆的方程为．故答案为：（答案不唯一）3．（2024·北京西城·二模）已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为．【答案】【解析】设圆的方程为，则由题意可得，解得，所以圆的方程为故答案为：4．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知，则外接圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设外接圆的方程为则有，解之得则外接圆的方程为故选：D题型二：直线系方程和圆系方程5．圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可先设出圆系方程：，则圆心坐标为；，又圆心在直线上，可得，解得，所以圆的方程为：，故A正确.故选：A.6．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是．【答案】【解析】设圆的方程为，则，即，所以圆心坐标为，把圆心坐标代入，可得，所以所求圆的方程为．故答案为：.7．过两圆与的交点和点的圆的方程是.【答案】【解析】设所求圆的方程为：将代入得：所求圆的方程为：本题正确结果：题型三：与圆有关的轨迹问题8．（2024·湖南长沙·一模）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为.【答案】【解析】圆，所以圆心为，半径为4，设，由线段AB的中点为D，可得，即有，即，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆；故答案为：.9．长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程为．【答案】【解析】由题意，可知，为AB的中点，得为定值，则点P的轨迹方程为，故答案为：.10．已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是【答案】（去掉两点）【解析】设，由题意知，，因是以为底边的等腰三角形，于是有，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，又点构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B及点B关于点A对称的点，所以点的轨迹方程为(去掉两点).故答案为：(去掉两点)11．由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.【解析】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法设弦的中点的坐标为,连接、,则．在中,由勾股定理有，而在圆内，所以弦AB的中点M的轨迹方程为.［方法2］：定义法因为是的中点,所以,所以点的轨迹是以为直径的圆,圆心为,半径为，所以该圆的方程为:,化简得［方法3］：交轨法易知过点的割线的斜率必然存在，设过点的割线的斜率为,则过点的割线方程为:.∵且过原点,∴的方程为这两条直线的交点就是点的轨迹.两方程相乘消去,化简,得:，其中.［方法4］：参数法设过点的割线方程为:,它与圆的两个交点为、的中点为，设.由可得，，所以，，即有，，消去，可求得点的轨迹方程为：，．［方法5］：点差法设,则.∵.两式相减,整理,得.所以,即为的斜率，而的斜率又可表示为,化简并整理,得.其中.12．已知的斜边为，且.求：(1)直角顶点的轨迹方程；(2)直角边的中点的轨迹方程.【解析】（1）设，因为三点不共线，所以，因为，所以，又因为，所以，整理得，即，所以直角顶点的轨迹方程为.（2）设，因为，是线段的中点，由中点坐标公式得，所以，由（1）知，点的轨迹方程为，将代入得，即所以动点的轨迹方程为.题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件13．（2024·高三·福建龙岩·期中）“方程表示的图形是圆”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由方程表示的图形是圆，可得，即；由，得，显然，所以“方程表示的图形是圆”是“”的必要不充分条件．故选：B．、14．（2024·广东广州·三模）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示圆，则，解得：；∵，，，甲是乙的必要不充分条件.故选：B.15．已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若表示圆，则，解得.“”是“”表示圆的必要不充分条件，所以实数的取值范围是.故选：B题型五：点与圆的位置关系判断16．若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆化成标准方程为，点在圆O外，则有，即，解得或.故选：D．17．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，方程可以表示圆，则，得；由点在圆的外部可知：，得.故.故选：C18．若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程，则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D19．（多选题）（2024·广西·模拟预测）若点在圆的外部，则的取值可能为（

）A． B．1 C．4 D．7【答案】AC【解析】由题设，在圆外，则，解得.故选：BC题型六：数形结合思想的应用20．若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由题意可得直线：即，所以直线恒过定点，曲线：图象为以为圆心，2为半径的上半圆（包含轴部分），它们的图象如图所示：当直线过点时，它们有两个交点，此时，当直线与上半部分圆相切时，有一个交点，此时，由图象可知，若直线与曲线有两个不同的交点，则，即实数的取值范围是.故答案为：21．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由可得，整理可得，其中，所以，曲线表示圆的下半圆，如下图所示：当直线与曲线相切时，由图可知，，且有，解得，当直线过点时，则有，由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点，故选：B.22．（2024·吉林白山·统考二模）若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是(

)A． B． C． D．2【答案】A【解析】如图，曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，因为直线即与半圆相切，所以，解得．因为所以，又直线l与曲线有且只有一个交点，所以或，所以实数k的取值范围是故选：B题型七：与圆有关的对称问题23．若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则圆心在直线上，故代入解得，故选：D．24．已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得，，则的中点的坐标为，直线的斜率.由圆与圆关于对称，得的斜率.因为的中点在上，所以，即.故选：C.25．已知圆关于直线对称，则实数（

）A． B．1 C． D．3【答案】A【解析】由得，则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称，故由圆的对称性可知：圆心在直线上，则.故选：D.26．圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为，关于直线的对称点是，所以圆的圆心是，半径是，所以圆的方程为.故选：D题型八：圆过定点问题27．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定点的坐标是或．故答案为：或.28．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】A【解析】设点，则线段的中点为，圆的半径为，所以，以为直径为圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D.29．已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为（其坐标与无关）【答案】和【解析】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则，①－②得，，∴，从而，代入③得，∴圆方程为，整理得，由得或．∴圆过定点和．1．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】A【解析】两点，B0,3，则，直线方程为，圆的圆心，半径，点到直线的距离，因此点到直线距离的最小值为，所以面积的最小值是.故选：D2．（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【解析】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的最大值为.故选：C.3．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圆，可得圆心，半径，又A−2,0，所以，所以，因为，所以.故选：A.4．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，变形可得，则的几何意义为直线的斜率，圆化为，所以圆的圆心为，半径为.因为Px0,所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径，所以，解得，即的最大为.故选:D.5．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因为圆的一条直径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线的通径与轴垂直，所以圆的这条直径与轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆的圆心为，半径为，所以该圆与轴垂直的直径的上端点为2,1，即抛物线经过点2,1，则，即.故选：C6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】点，B−2,0，，设，则，因为点P在圆上运动，所以表示圆上的点到点的距离的平方，所以的最小值为，即的最小值为.故选：D﹒7．（2024·山西晋中·模拟预测）已知直线l：与圆：，下列说法正确的是（

）A．所有圆均不经过点 B．若关于l对称，则C．若l与相交于AB且，则 D．存在与x轴和y轴均相切的圆【答案】A【解析】对于A，若圆经过点，则，化简整理得，因为，所以方程无解，所以所有圆均不经过点，所以A正确，对于B，圆：的圆心为，若关于l对称，则直线过圆心，所以，得，所以B错误，对于C，因为l与相交于AB且，所以圆心到直线的距离为，所以，解得或，所以C错误，对于D，若存在与x轴和y轴均相切的圆，则，此方程组无解，所以不存在与x轴和y轴均相切的圆，所以D错误，故选：A8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知拋物线，其焦点到准线的距离为2，过焦点且斜率大于0的直线交拋物线于两点，以为直径的圆与准线相切于点，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】抛物线的焦点到准线距离为2，则（因为），焦点为，准线方程是，抛物线方程是，又轴，，所以的纵坐标为2，设，，，两式相减得，所以，又，，即，所以圆半径为，圆方程为．故选：A．9．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知复数，，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．若，则的最小值为D．若，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹方程为【答案】ACD【解析】复数，,对于A，，故A错误；对于B，设，则，所以，则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由于，将问题转化为点与点距离的范围，所以，，则，故B正确；对于C，设，则，，由于，则，化简可得：，即，所以，所以当时，，故C正确；对于D，设，则，，所以，即点到点与到点的距离之和为定值，根据椭圆的定义可得复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以焦点为与，长轴长为的椭圆，则其轨迹方程为，故D正确；故选：BCD10．（多选题）（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（

）A．面积的最大值为12 B．的最大值为72C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分【答案】ABD【解析】对于A，设点，由，得，化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆，所以面积的最大值为，故A正确；对于B，设线段AB的中点为N，，当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确；对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误；对于D，由，|OB|=2，有，当点M不在x轴上时，由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确．故选：ABD．11．（多选题）（2024·贵州遵义·二模）已知平面内曲线：，下列结论正确的是（

）A．曲线关于原点对称B．曲线所围成图形的面积为C．曲线上任意两点同距离的最大值为D．若直线与曲线交于不同的四点，则【答案】AC【解析】对于A，在曲线：中，分别换方程不变，因此曲线关于原点对称，A正确；对于B，当时，，即表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧，圆弧端点，，，则，，扇形的面积，在曲线的方程中，用换或者用换方程都不变，则曲线关于对称，也关于轴对称，所以曲线所围成图形的面积为，B错误；对于C，由选项B知，曲线在第二象限、在第三象限、在第四象限内的部分分别是以点为圆心，半径为的圆弧，圆心角都等于，由图知，两个点分别在两段圆弧上时，两点间的距离才可能最大，由圆的性质知，当两个点在相邻两个象限的圆弧上时，两点间距离最大值等于，当两个点在相对两个象限的圆弧上时，两点间距离最大值等于，而，所以曲线上任意两点同距离的最大值为，C正确；对于D，直线交轴于点，交轴于点都在曲线在第四象限的圆弧下方，点到直线的距离，于是直线曲线无公共点，且在曲线的下方，当时，直线在曲线的下方，与曲线无公共点，D错误.12．（2024·陕西榆林·三模）在中，，则面积的最大值为.【答案】3【解析】取中点，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为，故，设，则,整理得，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去点，），则当时，面积取最大值，此时.故答案为：3.13．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是．【答案】【解析】设与关于直线对称，则，解得，即，因为在圆的内部，所以，解得，即实数的取值范围是．故答案为：．14．（2024·上海·模拟预测）平面点集所构成区域的面积为.【答案】【解析】点集为以为圆心，为半径的圆上的点的集合，又点在以为圆心，为半径的圆上，所以平面点集所构成区域为图中阴影，面积为.故答案为：.15．（2024·湖南邵阳·三模）写出满足“点在圆外部”的一个的值：．【答案】4（答案不唯一，）【解析】圆，则，由点在圆外部，得，解得，取.故答案为：416．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为.【答案】【解析】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的中垂线为轴：则，，，设，由，可得：，整理得到：，故点在平面的轨迹是以为圆心，半径的圆，转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，，不变，依然满足，故空间中点的轨迹为以为球心，半径为2的球，同时点在球商，故点在两球的交线，为圆，球心距为，所以为直角三角形，对应圆的半径为，周长为故答案为：1