2025年新高考数学一轮复习第3章第02讲导数与函数的单调性(十二大题型)(讲义)(学生版+解析)

第02讲导数与函数的单调性目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．【诊断自测】（2024·高三·上海松江·期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由图象可知，在区间上，在区间上，所以不等式的解集为.故选：C知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤（1）确定函数的定义域；（2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论；（3）求出导数的零点；（4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性；（5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.【诊断自测】（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为．【答案】/【解析】函数的定义域为，求导得，由，得，所以的单调增区间为.故答案为：解题方法总结1、使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．2、若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减．题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【典例1-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合；对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则.又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B,D项均符合.故选：C.【典例1-2】（2024·广东广州·一模）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项.当时，从左向右，是递增、递减、递增，对应导数的符号为，由此排除C选项，所以A选项正确.故选：A【方法技巧】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．【变式1-1】（2024·高三·陕西西安·期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，时，时，所以不等式的解集为.故选：A【变式1-2】（2024·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，且为偶函数，故，由导数性质结合图象可得当时，，当时，，当时，即，则由，有，解得，亦可得，或，或，或，由可得或，即，由可得，即，由，可得，即或（舍去，不在定义域内），由，可得，综上所述，关于x的不等式的解集为.故选：D.题型二：求单调区间【典例2-1】（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为．【答案】【解析】当时，,由，解得，所以在区间上单调递增，因为函数是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，所以在区间上单调递增.故答案为：.【典例2-2】函数的严格递减区间是.【答案】.【解析】函数的定义域为，，令，则且，即的严格递减区间为.故答案为：.【方法技巧】求函数的单调区间的步骤如下：（1）求的定义域（2）求出．（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出．（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的增区间；令，解出的取值范围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开．【变式2-1】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为.【答案】【解析】因为时，则，又，则，即，所以，令，即，即，又，则，解得，令，即，即，即，解得，所以在单调递增，又为奇函数，当时，在单调递增，所以的单调增区间为.故答案为：【变式2-2】（2024·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为．【答案】【解析】函数的定义域为，，由得或（因为，故舍去），所以在区间上单调递增．故答案为：【变式2-3】函数在上的单调递减区间为.【答案】【解析】由题意知，.即，，因为，所以，所以在中，，所以在上的单调递减区间为.故答案为：题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围【典例3-1】已知函数在上为减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数在上为减函数，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，所以，所以在上单调递减，所以，故，所以的取值范围是.故选：D.【典例3-2】已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，∵在，上为增函数；上为减函数,∴两根分别位于和中，得，即，解得.故选：B【方法技巧】已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解．【变式3-1】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为在区间上单调递减，所以，即，则在上恒成立，因为在上单调递减，所以，故.故选：A.【变式3-2】（2024·高三·广东汕头·期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在递增，所以在上恒成立，则，即在上恒成立，由函数单调递增得，又，所以，所以，所以即，解得，所以的取值范围是.故选：B【变式3-3】（2024·陕西西安·三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，所以在上递增，又，所以.所以的取值范围是.故选：B【变式3-4】（2024·高三·江苏南通·期中）已知函数的减区间为，则.【答案】3【解析】由题意可得，，解集为，则.故答案为：3题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围【典例4-1】（2024·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【解析】函数的定义域为，且，令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：故选：B.【典例4-2】已知函数在上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，则，由，得，单调递增，又由，得，故，所以，的取值范围故选：A【方法技巧】已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．【变式4-1】函数在上不单调，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数，则，记，∵在上不单调，当时不满足；当时，对称轴为，，∴或，故选：C．【变式4-2】函数在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，因在上不单调，故导函数在上必有变号零点.令，得，再令，则，由，得即在上单调递增，所以，故只需，即，对于A，是的真子集,故A选项是一个充分不必要条件，而其他选项中，的范围都不是的真子集，故都不正确.故选:A．【变式4-3】若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．不存在这样的实数k【答案】B【解析】由题意得，在区间上至少有一个实数根，又的根为，且在或两侧异号，而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，∴或，∴或，故A，C，D错误.故选：B.【变式4-4】函数在R上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，而，要使在R上不单调，则.故选：D题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围【典例5-1】已知函数在上有增区间，则a的取值范围是.【答案】【解析】等价于存在使得成立，即成立，即得解.由题得，因为函数在上有增区间，所以存在使得成立，即成立，因为时，，所以.故答案为：【典例5-2】若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为．【答案】【解析】，等价于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，则，即在上是增函数，∴，所以.故答案为：.【方法技巧】已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．【变式5-1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是.【答案】【解析】，由题意知，在上有实数解，即有实数解，当时，显然满足，当时，只需综上所述故答案为：【变式5-2】若函数在上存在单调递增区间，则实数的最大值为．【答案】【解析】因为，所以，由题意有解，即有解，令,,时，该函数单调递增；时,该函数单调递增，所以，当取得最大值,所以．【变式5-3】（2024·高三·湖北襄阳·期末）函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是．【答案】【解析】对于函数，，令，则，因为在区间上单调递减，所以恒成立，即恒成立，又，所以，又在区间上单调递增，所以恒成立，所以，解得，综合得.故答案为：.【变式5-4】若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是．【答案】【解析】，则，函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，即在区间上有解，又，则，所以在区间上有解，所以，，令，，则，令，则在区间恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以实数的取值范围是．故答案为：．题型六：不含参数单调性讨论【典例6-1】（2024·河北保定·二模）已知函数.若，讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，当时，，所以，设，因为、都在上单调递增，所以在上单调递增，且，所以时，单调递减；时，单调递增.所以在上单调递减，在上单调递增.【典例6-2】（2024·高三·天津·开学考试）已知函数．当时，求的单调区间；【解析】当时，若，则，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．【方法技巧】确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开．【变式6-1】已知函数．判断的单调性，并说明理由；【解析】令，在上递增，，，在上单调递增.【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数，若，求的单调区间.【解析】若，则的定义域为，且，令，解得；令，解得；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．当时，讨论函数的单调性．【解析】当时，可得，其中，则，设，则，令，可得恒成立，所以为上的增函数，且，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以在上单调递增．【变式6-4】函数.当时，求函数的单调性；【解析】当时，，定义域为，，记，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析【典例7-1】已知函数．讨论函数的单调性；【解析】由题意可知的定义域为，且，当时，恒成立，所以的单调递减区间是，无单调递增区间.当时，令解得，令，解得；令，解得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.【典例7-2】已知函数.讨论函数的单调性；【解析】（1）函数的定义域是，因，①若，则在上单调递增；②若，则当时，单调递减；当时，单调递增；综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增【方法技巧】导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．【变式7-1】（2024·陕西渭南·二模）已知函数，其中.讨论的单调性；【解析】因为，易知其定义域为，，当时，在上恒成立，当时，由，得到，所以，当时，，时，，综上所述，当时，的单调增区间为，无减区间，当时，的单调增区间为，减区间.【变式7-2】设函数．讨论的单调性；【解析】的定义域为，，若，则，在上单调递增．若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析【典例8-1】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数，为的导数,讨论的单调性；【解析】由题知，令，则，当时，在区间单调递增，当时，令，解得，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.【典例8-2】（2024·海南海口·二模）已知函数.讨论的单调性；【解析】的定义域为，，当时，，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.【方法技巧】导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．【变式8-1】已知函数.讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，．令，解得，则有当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．【变式8-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数.讨论的单调性;【解析】，当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析【典例9-1】已知函数．讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，则，①当时，令，解得，令，解得，在上单调递减，在上单调递增，②当时，令，解得，令，解得或，在上单调递减，在和上单调递增，③当时，恒成立，在上单调递增，④当时，令，解得，令，解得或，在上单调递减，在和上单调递增，综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；【典例9-2】已知函数.讨论函数的单调性；【解析】（1）因为的定义域为，又，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得（舍去），；当，，在上单调递减；，，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【方法技巧】若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.【变式9-1】已知函数，讨论函数的单调性；【解析】由题知，，，①当时，，则时，，单调递增；当时，，单调递减；所以的增区间是，减区间是；②当时，，当和时，，单调递增，当时，，单调递减，故的增区间是和，减区间是；③当时，，故的单调递增区间是；④当时，，在和上，单调递增；在上，单调递减；故的增区间是和，减区间是，综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是和，减区间是；当时，的增区间是，当时，的增区间是和，减区间是．【变式9-2】已知函数（，为自然对数的底数）.讨论函数的单调性；【解析】的定义域为，，当时，，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，当时，令得（舍去），或，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，当时，令得或，若时，，令得或，令得，故在，上单调递增，在上单调递减，若时，，此时恒成立，故在上单调递增，若时，，令得或，令得，故在，上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减；【变式9-3】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性．【解析】（1）由题意知，当时，，则，故曲线在处的切线方程为．（2）的定义域为，且，当时，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，则有：若，则，令，则单调递增；令，则或单调递减；若，则，令，则单调递增；令，则或单调递减；若，则单调递减．综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减．【变式9-4】已知函数，．求函数的单调区间.【解析】函数的定义域为．由题意得,当时,，则在区间内单调递增；当时，由，得或（舍去）,当时，，单调递增，当时，，单调递减．所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析【典例10-1】已知函数．讨论的单调性【解析】，，当时，，所以在上单调递增．当时，令，则．

若，即时，恒成立，所以在上单调递增．若，即时，方程的根为，当时，或，在和上单调递增；当时，，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．【典例10-2】已知函数．讨论函数的单调性；【解析】的定义域为，．当时，，故在单调递增；当时，，故在单调递减；当时，令，解得．由于在上单调递减，故当时，，故在单调递增；当时，，故在单调递减．【方法技巧】若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.【变式10-1】讨论函数，的单调性【解析】因为，所以，即，当时，，令，解得，所以时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增；当时，，令，，当时，令，则，，所以方程有、两个根，解得，，因为，，所以，，所以不在定义域内，时，，单调递减，时，，单调递增；时，当时，即时，在上恒成立，所以在上单调递减；当，即时，方程有、两个根，解得，，因为，，所以，，，又因为，，所以当时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减；综上所述：时，

在是单调递减，在单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增时，在和上单调递减，在上单调递增；时，在单调递减.【变式10-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知函数．讨论的单调性．【解析】，（i）当时，，由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增；（ⅱ）当时，的判别式，若，①当时，，在上恒成立，在上单调递增；②当时，，方程的二根，由，得或，由，得，函数在，上单调递增，在上单调递减；若，①当时，，在上恒成立，在上单调递减；②当时，，方程的二根，由，得，由，得或，函数在上单调递增，在，上单调递减，所以当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.【变式10-3】设函数,求的单调区间.【解析】，，若，则，则恒成立，此时在上单调递增.当或,由解得，当时，列表如下：当时，列表如下：综上,当时,在递减，在递增，在递减；当时，在上单调递增；当时，在递增，在递减，在递增.题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析【典例11-1】已知函数,其中.求的单调区间．【解析】,令，即解不等式:,①当时,解得:,故的单调区间为：②当时,,所以解得:,故的单调区间为：③,则,常值函数不具备单调性.④时,解得:或,故的单调区间为：综上，当时,在递减，在递增，在递减;当时,在递减，在递增，在递增，在递减；当时,则,常值函数不具备单调性;当时,在递增，在递减，在递减，在递增.【典例11-2】已知函数.讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，求导得，若，则，且当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减；若，令，解得，若，即，则恒成立，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增；若，即，则当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减；若，即，则在上恒成立，函数在上递增；若，即，则当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，所以当时，的递增区间为，递减区间为；当时，的递增区间为和，递减区间为；当时，的递增区间为，无递减区间；当时，的递增区间为和，递减区间为；当时，的递增区间为，递减区间为.【方法技巧】若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.【变式11-1】已知函数，.若，讨论函数的单调性；【解析】.①当时，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；在上单调递减，在上单调递增.②当时，令，解得或，当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当即时，在上单调递增，当即时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.【变式11-2】已知函数．时，讨论的单调性．【解析】因为，所以，所以，所以令可得，或，若时，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，若，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，若，，且当且仅当时取等号，所以在上单调递增，综上，当时，函数的递增区间为，，递减区间为，当，函数的递增区间为，，递减区间为，若时，函数的单调递增区间为，没有递减区间，题型十二：分段分析法讨论函数的单调性【典例12-1】已知函数（，且）求函数的单调区间；【解析】定义域为，（，且），则.当时，，，若，则，，得，于是，若，则，，得，于是，∴当时，即在上单调递增；当时，，，若，则，，得，于是，若，则，，得，于是，∴当时，即在上单调递减；综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.【典例12-2】已知函数，.(1)若，求a的取值范围；(2)求函数在上的单调性；【解析】（1）由题意知的定义域为R.①当时，由得，设，则，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增，所以，因此.②当时，若，因为，不合题意.所以，此时恒成立.③当时，，此时.综上可得，a的取值范围是.（2）设，，则，所以在上单调递减，所以，即在上恒成立.所以.又由（1）知，所以当时，，所以在上单调递增.【方法技巧】分段讨论导函数的正负.【变式12-1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数.判断函数的单调性.【解析】因为，定义域为，，令，因为，则，可得在上单调递减，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.【变式12-2】（2024·高三·湖北·期中）已知函数，．讨论函数在上的单调性．【解析】，，当时，此时在内单调递增；当时，，此时在内单调递增；当时，令，，在上为减函数．又，在上存在唯一零点，使得，∴当时，递增；当时，递减．综上：当时，此时在内单调递增；当时，当时，，递增；当时，，递减，其中为方程的根．【变式12-3】设函数，其中，讨论的单调性.【解析】由①时，由，令，解得，所以时，时，，则在单调递增，在单调递减；②时，由，（i）时，因为，则在单调递增，（ii）时，，解得或，所以时，时，，则在，上单调递增，在单调递减；（iii）时，由，所以时，时，，则在，上单调递增，在单调递减；综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；时，的单调递增区间为；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【答案】C【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.【答案】【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．【解析】（1）当时，，则，据此可得，所以函数在处的切线方程为，即.（2）由函数的解析式可得，满足题意时在区间上恒成立.令，则，令，原问题等价于在区间上恒成立，则，当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则，当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，满足题意.当时，由可得，当时，在区间上单调递减，即单调递减，注意到，故当时，，单调递减，由于，故当时，，不合题意.综上可知：实数得取值范围是.1．判断下列函数的单调性：（1）；

（2）【解析】（1）,令，所以在上单调递增，在单调递减.（2），令，所以在上单调递增，在单调递减.2．证明函数在区间上单调递减．【解析】因为，所以，当时，，所以函数在区间上单调递减．3．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，，【解析】∵等价于，∴可令，则，在上，∴在上单调递增，即，∴在上恒成立，则，得证.4．利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象，当，，，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：（1）你能归纳函数图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．【解析】（1）时，有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼峰，即存在极值点，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调增或单调减，