2025年新高考数学一轮复习第3章第三章一元函数的导数及其应用(测试)(学生版+解析)

第三章一元函数的导数及其应用（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则（

）A．1 B． C．2 D．42．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知函数.若，对，则（

）A． B．C． D．5．已知函数，则函数（

）A．既有极大值也有极小值 B．有极大值无极小值C．有极小值无极大值 D．既无极大值也无极小值6．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．7．若函数有极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（）A． B．C． D．10．已知函数，则（

）A．为奇函数B．的单调递增区间为C．的极小值为D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，满足，且对任意，，，则（

）A． B． C． D．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是.13．已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是.14．已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知.(1)求并写出的表达式；(2)证明：.16．（15分）某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米．(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式；(2)如何设计与的长度，使得最大？17．（15分）已知函数．(1)若，求函数在上的最大值和最小值；(2)讨论函数的单调性．18．（17分）已知，，是自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值；(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；(3)当时，若满足，求证：.19．（17分）对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.(1)若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”；(2)若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；(3)若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.第三章一元函数的导数及其应用（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【解析】由题意知，，则.所以.故选：B2．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，则，，所以曲线在点处的切线方程为.令，得，令，得，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选：C3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减，所以且，解得．即实数a的取值范围为故选：B4．已知函数.若，对，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，由条件可知在有极小值点，根据零点存在定理可得：且，即且，所以。故选：B5．已知函数，则函数（

）A．既有极大值也有极小值 B．有极大值无极小值C．有极小值无极大值 D．既无极大值也无极小值【答案】B【解析】函数的定义域为，且，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，无极小值.故选：B6．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式等价于，即，构造函数，所以，因为时，，所以对恒成立，所以在单调递减，又因为，所以不等式等价于，所以，即的解集为.故选：A.7．若函数有极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的定义域为，且，因为函数有极值，所以在上有变号零点，即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等），因为二次函数的对称轴为，开口向上，所以只需，解得，即实数的取值范围是.故选：C8．函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对函数求导可得，令，解得，令，解得，又时，，所以的递增区间为，递减区间为和，作出图象如图所示：当时，由，可得，由图象可知，不存在整数点满足条件，当时，由，可得，由图象可知，不存在整数点满足条件，当时，由，可得，又，，，由的递增区间为，所以，所以要使有三个整数解，则，所以关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，故选：ABC10．已知函数，则（

）A．为奇函数B．的单调递增区间为C．的极小值为D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为【答案】ACD【解析】由函数，可得，对于A中，由，定义域为关于原点对称，且，所以函数为奇函数，所以A正确；对于B中，由，解得或，即函数的递增区间为，所以B不正确；对于C中，由，解得，所以函数的递减区间为，所以，当时，函数取得极小值，极小值为，所以C正确；对于D中，由函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以极大值为，极小值为，且时，；时，；又由关于的方程恰有3个不等的实根，即函数与的图象有3个不同的交点，可得，所以实数的取值范围为，所以D正确.故选：ACD.11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，满足，且对任意，，，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】对于A中，令，可得，因为，所以，所以A不正确；对于B中，令，可得，所以，因为函数为奇函数，则为偶函数，所以，联立可得，即，所以，所以函数是周期为3的函数，所以，所以B正确；对于C中，由，可得，且，因为数是周期为3的函数，可得，所以C错误；对于D中，由，可得令，可得，所以，因为函数周期为3的函数，即，可得所以函数是周期为3的函数，可得，所以，令，可得，所以，所以，可得所以，所以D正确.故选：BD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是.【答案】【解析】因为水的初始温度为，所以，解得，所以，则，所以加热到第时，水温的瞬时变化率是.故答案为：13．已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是.【答案】【解析】，由于为对勾函数，最小值为2，而，所以在单调递减，故，作出的大致图象如下：故要使恰有一个零点，只需要只有一个交点，故，即，故答案为：14．已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为.【答案】【解析】由题意，不等式即，进而转化为，令，则，当时，，所以在上单调递增.则不等式等价于恒成立.因为，所以，所以对任意恒成立，即恒成立.设，可得，当时，单调递增，当时，单调递减．所以时，有最大值，于是，解得．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知.(1)求并写出的表达式；(2)证明：.【解析】（1）由有，取得到，解得.将代入可得.（6分）（2）设，则，故当时，当时.所以在上递减，在上递增，故.从而.（13分）16．（15分）某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米．(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式；(2)如何设计与的长度，使得最大？【解析】（1）由得，由且得，所以防蚊液的体积，.（6分）（2）由，.所以，令得；令得；所以在上单调递增，在上单调递减，（9分）所以当时，有最大值，此时，，所以当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.（13分）17．（15分）已知函数．(1)若，求函数在上的最大值和最小值；(2)讨论函数的单调性．【解析】（1）当时，，则，令，得或，由于，所以当，，在单调递减，所以当，，在单调递增，所以在时取到极小值，且，（3分）又因为，，综上，函数在上的最大值为，最小值为.（6分）（2）因为，所以，当，即时，，在单调递增，当，即时，令，则，（9分）所以当，，在单调递增，当，，在单调递减，（12分）当，，在单调递增.综上所述，当时，在单调递增，当时，在，单调递增，在单调递减.（15分）18．（17分）已知，，是自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值；(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；(3)当时，若满足，求证：.【解析】（1）当时，，定义域为，求导可得，令，得，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以在处取到极小值为0，无极大值.（4分）（2）方程，当时，显然方程不成立，所以，则，方程有两个不等实根，即与有2个交点，，当或时，，在区间和上单调递减，并且时，，当时，，当时，，在区间上单调递增，时，当时，取得最小值，，（8分）作出函数的图象，如图所示：因此与有2个交点时，，故的取值范围为.（10分）（3）证明：，由，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.由题意，且，则，.要证，只需证，而，且函数在上单调递减，故只需证，又，所以只需证，（12分）即证，令，即，，由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立.所以函数在上单调递增.（15分）由，可得，即，所以，又函数在上单调递减，所以，即得证.（17分）19．（17分）对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.(1)若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”；(2)若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；(3)若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.【解析】（1）因