广东省揭阳市2023-2024学年高三上学期期末教学质量测试数学试卷

广东省揭阳市2023-2024学年高三上学期期末教学质量测试数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合M={x|1<x2<9}A．{x|−3<x<−1} C．{x|−3<x<3} D．{x2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1，−1)，则A．−1−3i B．1−i C．1−3i D．−1+i3．设a=lg4，b=loA．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a4．从2019年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据：1.15A．30万元 B．35.2万元 C．40.4万元 D．42.3万元5．已知角α的终边经过点(−3，23A．533 B．−533 6．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．已知在△ABC中，A(−2，0)，B(4，4)，A．1103 B．1303 C．11027．已知两圆锥的底面积分别为π4，4π，其侧面展开图中圆心角之和为2πA．72 B．92 C．48．函数f(A．－2 B．－1 C．1 D．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第x(x=1，x12345y2110a15a90109根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为y=20x+10A．样本相关系数在(0，B．当x=2时，残差为－2C．点(3，D．第6天到该医院就诊人数的预测值为13010．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，若A．f(2)=0 B．f(2−x)+f(x−2)=0C．f(x+2)为奇函数 D．f'11．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，A．f(B．f(x)的图象关于直线x=5πC．f(x)在区间[π，D．将f(x)的图象向右平移4π912．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(12，0)，经过点M(2，1)的直线l与C交于A，B两点，且抛物线C在A，B两点处的切线交于点P，A．点P在直线x−y+1=0上 B．E是PD的中点C．|FA|⋅|FB|=|FP|2 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量a=(−7，6)，b=(514．在二项式(x+a2x)6的展开式中，若常数项恰是所有奇数项的二项式系数之和的5倍，则实数15．若双曲线的同一支上存在两点A，B，使得△OAB（O为原点）为等边三角形，则称双曲线为“优美双曲线”，已知双曲线C是“优美双曲线”，则C的离心率的取值范围是．16．如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB=4，A1B=BC1，BB1⊥BD1，且二面角B四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an−（1）求数列{a（2）设数列{1an−1}的前n18．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PAC为等边三角形，BC=2AB=2，∠ABC=60°，AB⊥PC，点E满足PC=3（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）求直线DE与平面PAB所成角的正弦值．19．为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成[6，10)，[10，14)，[14，（1）估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在[10，14)，[14，（ⅰ）记这3人中进球个数在[14，18)的人数为X，求（ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知2Sb（1）求tanA（2）若sinB=53sinC，D为BC21．已知椭圆C：x2（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点(1，0)，且与椭圆C交于M，N两点（均异于A，B两点），直线AM，BN的倾斜角分别记为α，β，试问α−β是否存在最大值？若存在，求当α−β取最大值时，直线22．已知函数f(x)（1）当k=1e时，证明：（2）若对任意x∈(0，+∞)

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】M={x|1<x2<9}={x|-3<x<-1或1<x<3}2．【答案】A【解析】【解答】根据题意，复数z=1-i，则zi−2i=1-ii-2i=3．【答案】C【解析】【解答】a=lg4∈0,1，b=log30.9<04．【答案】A【解析】【解答】设{an}是公比q=1.15的等比数列，根据题意，S5=a11-1.155．【答案】A【解析】【解答】根据角终边经过点(−3，23)，所以tanα=-236．【答案】D【解析】【解答】因为A(-2，0)，B(4，4)，C(2，2)，所以AB的中点坐标为D(1，2)，AC的中点坐标为E(0，1)，BC的中点坐标为F(3，3)，所以△ABC的九点圆是△DEF的外接圆，因为|DE|=2，DF=3-12+3-22=5，EF=32+3-12=7．【答案】B【解析】【解答】设A圆锥(底面积较小)的底面半径为r1，母线长为l1，B圆锥(底面积较大)的底面半径为r2，母线长为l2，

依题意πr12=π4，r1=12，πr8．【答案】D【解析】【解答】由f(x)=0得，lnx−2x=1-x，令gx=lnx−2x，y=1-x，因为y=ln1-2xgx+g2-x=lnx−2x+ln-x2-x=ln1=0，所以函数9．【答案】A,D【解析】【解答】A、由题意可知x，y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在(0，1]内，A正确；

B、根据题意得x=1+2+3+4+55=3，y=21+10a+15a+90+1095=44+5a，故44+5a=20×3+10，解得a=5.2，故当x=2时，y^=20×2+10=50，残差为10a-50=2，B错误；

C、点(3，15a)即点(3，78)，当x=3时，10．【答案】A,C,D【解析】【解答】A、令g(x)=f(2-x)，由题意结合奇函数的性质可得g(0)=f(2)=0，A正确；

B、因为g（-x）=-g（x），所以f(2+x)=-f(2-x)，即f(2+x)+f(2-x)=0，B错误；

C、由f(2+x)+f(2-x)=0可得f(4-x)+f(x)=0，即f(4-x)=-f(x)，所以f(-x)=-f(x)，即f(x+2)为奇函数，C正确；

D、因为f(x+2)=-f(2-x)，所以f'(x+2)=-f'(2-x)·(2-x)'=f'(2-x)，即f'(x+2)为偶函数，D正确；

故答案为：ACD．

【分析】根据题意结合函数奇偶性的定义及性质判断选项A，B，C，结合复合函数的求导公式判断选项D.11．【答案】B,C【解析】【解答】由图象得，A=1，则f(x)=sin(ωx+φ)，由f(0)=sinφ=32，因为0<φ<π，

所以φ=π3或φ=2π3，又函数f(x)图象过点(π9，0)，由五点画图法知：ω×π9+φ=π，

若φ=π3，所以ω×π9+π3=π，解得：ω=6；若φ=2π3，所以ω×π9+2π3=π，解得：ω=3；

由图可知，14T>π9，则14·【解析】【解答】A、因为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(12，0)，所以P2=12，解得p=1，

故抛物线C的方程为y2=2x，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1-x2y1-y2=m，

则直线AB的方程为x-2=m(y-1)，联立x-2=my-1y2=2x，得y2-2my+2m-4=0，

所以y1+y2=2my1y2=2m-4，且∆=4m2-42m-4=4m-12+3>0，

因此x1+x2=m(y1+y2-2)+4=2m2-2m+4，故点D的坐标为(m2-m+2，m)，

设切线PA的方程为x-x1=a(y-y1)，联立x-x1=ay-y1y2=2x，可得y2-2ay+2ay1-2x1=0，

由Δ=4a2-4(2ay1-2x1)=0，可得a2-2ay1+2x1=0，因为y12=2x13．【答案】13【解析】【解答】根据题意，a→+b→=-2,3，|a→+14．【答案】4【解析】【解答】二项展开式中二项式系数和为26，奇数项的二项式系数和应为所有项二项式系数和的一半，

即25，(x+a2x)6展开式通项为Tr+1=C6rx6-ra2xr=15．【答案】(【解析】【解答】设双曲线的焦点在x轴上，原题转化为C的同一支上存在A、B两点，使∠AOB=60°，

而渐近线方程为y=±bax，可得ba>tan30°=33，即为b>33a，b2>13a2，16．【答案】8−【解析】【解答】连接A1C1，交B1D1于E，设F是BD1的中点，连接EF，C1F，

∵A1B=BC1，E是A1C1的中点，∴A1C1⊥BE，∵A1C1⊥B1D1，BE∩B1D1=E，∴A1C1⊥平面BB1D1，

∵BD1，EF⊂平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，A1C1⊥EF，∵E，F分别是B1D1，BD1的中点，

∴EF//BB1，∵BB1⊥BD1，∴EF⊥BD1，∵A1C1∩EF=E，∴BD1⊥平面EFC1，∵C1F⊂平面EFC1，

∴BD1⊥平面EFC1，∵C1F⊂平面EFC1，∴BD1⊥C1F，∴∠EFC1是二面角B1-BD1-C1的平面角，∴tan∠EFC1=C1EEF=22EF=2，EF=2，∴BB1=4，∵B1D1=42，

∴BD1=422-42=4=BB1，∴△BB1D1是等腰三角形，∴BE⊥B1D1，∵A1C1∩B1D1=E，∴BE⊥平面A1B1C1D1，且BE=12B1D1=22，∵D1Q=22，

∴点Q轨迹是以D1为球心，半径为22的球面在四棱柱ABCD-A1B1C1D1内的部分，

17．【答案】（1）解：设等差数列{a因为a2=9，所以an−n（2）证明：因为1a所以S=【解析】【分析】（1）根据题意，设等差数列{an−n218．【答案】（1）证明：在△ABC中，由余弦定理得AC所以AB2+A又AB⊥PC，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，AC∩PC=C，

所以AB⊥平面PAC．又AB⊂平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：解：过点A在平面PAC内作垂直于AC的直线AZ，由（1）可得AZ⊥平面ABCD，以点A为原点，AB，AC，AZ所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B所以AB=(1，0PC=(0，32，−3设平面PAB的一个法向量为m=(x，y，取y=−3，则x=0，z=1，所以m设直线DE与平面PAB所成角为θ，则sinθ=故直线DE与平面PAB所成角的正弦值为217【解析】【分析】(1)由面面垂直的判定定理证明即可；

(2)以点A为原点，AB，AC，AZ所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线DE的方向向量与平面PAB的法向量，由线面角公式求解即可.19．【答案】（1）解：该班同学的平均进球个数x=8×0（2）解：由题意可知进球个数在[10，14)，[14，18)，[22，26]内的频率分别为0.16，0.32，0.16，频率比为0.所以抽取的8人中，进球个数在[10，14)，[14，18)，[22，26]内的人数分别为2，4，2．（ⅰ）由题意可知，x=0，1，2，3，所以P(X=0)P(X=2)所以X的分布列为X0123P1331所以E(（ⅱ）记事件A=“抽取的3人的进球个数不全在同一区间”，事件B=“抽取的这3人的进球个数在不同区间”，则P(A)=C即这3个人的进球个数在不同区间的概率为4【解析】【分析】(1)每一组的中点值乘以对应的频率即可得到平均值；

(2)由频率比得到各小组内的人数，再利用超几何分布得到X的分布列与数学期望，即可得到(i)的答案；又利用条件概率即可得到(ii)的答案.20．【答案】（1）解：由题意得Sb2=sinA所以Sb2=由正弦定理得Sb2=所以12bcsinA=bc（2）解：由已知及正弦定理得b=5由（1）得sinA=2cosA，所以si又D为BC的中点，所以AD=所以∣AD∣=12(所以c2+2×53c在△ABC中，由余弦定理得a2=【解析】【分析】(1)由正弦定理、三角恒等变换知识，三角形的面积公式化简即可求得；

(2)由正弦定理结合条件计算可得cosA的值，再由平面向量的线性运算和数量积运算计算可得b的值，再由余弦定理计算即可求得a的值.21．【答案