辽宁省2024-2025学年高一数学上学期期中试题

Page15辽宁省2024--2025学年度上学期期中阶段测试高一数学试卷一､单项选择题（每题选择一个最符合题意的选项，每题5分，共40分）1.已知全集为，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求解分式不等式和一元二次不等式，解得集合，再求结果即可.【详解】因，即，，且，解得，故；又，即，解得，故；，故.故选：C.2.已知集合满意，则满意条件的集合的个数为（）A.8个 B.4个 C.2个 D.1个【答案】C【解析】【分析】依据给定的条件，确定集合中元素即可求解作答.【详解】因，则有都是集合中元素，4，6都不在中，5可以在中，因此集合可以是或，所以满意条件的集合的个数为2.故选：C3.已知，则的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据给定的条件，利用表示出，再利用不等式性质求解作答.【详解】因，而，则，即，，所以的取值范围是.故选：A4.已知函数，则函数的定义域是（）A.[-5，4] B.[-2，7] C.[-2，1] D.[1，4]【答案】D【解析】【分析】由函数解析式可得，解不等式可得，再由即可求解.【详解】由，则，解得，所以函数的定义域满意，解得，所以函数的定义域为[1，4].故选：D5.已知方程两根分别是和，且满意，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，，代入不等式求解即可【详解】因为方程的两根分别是和，所以，解得或，，，因为，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：C6.已知，则关于命题“，使得”的叙述正确的是（）A.假命题，它的否定形式是“，使得”B.假命题，它的否定形式是“，使得”C.真命题，它的否定形式是“，使得”D.真命题，它的否定形式是“，使得”【答案】B【解析】【分析】依据给定条件，求出函数的最小值，再结合全称量词命题、存在量词命题真假推断命题真假，写出其否定形式作答.【详解】，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当时取等号，明显，，因此时，不存在，使得成立，所以命题“，使得”是假命题，其否定为“，使得”.故选：B7.若，则下列等式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过换元法得到，然后代入每个选项进行计算即可【详解】令，则所以由可得即，对于A，，故不正确；对于B，，故正确；对于C，，故不正确；对于D，，，所以，故不正确故选：B8.函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据给定条件，结合二次根式的几何意义转化为x轴上的点到两个定点距离和的最小值求解作答.【详解】依题意，，即表示坐标平面内x轴上的点到定点距离的和，而,如图，明显线段AB与x轴交于点C，有，当且仅当点P与点C重合时取等号，即，所以函数的值域是.故选：C二､多项选择题（把符合题目的选项全部选出，每题5分，共20分，每题全部选对得5分，部分选对且没有选出错误选项得2分，只要选出一个错误选项得0分）9.已知，则下列关系正确的是（）A. B.C. D.若，则【答案】AC【解析】【分析】依据给定条件，利用不等式的性质推断A，C；举例说明推断B，D作答.【详解】因，则有，A正确；因，取，则，B不正确；，则，即，C正确；因，取，满意，而，D不正确.故选：AC10.函数被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（）A.函数的值域为B.函数是偶函数C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】对A选项尤其值域仅包含两数字0,1，故其正确，对B选项从偶函数的判定方法动身，依据有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数即可判定，对选项从即可推断，对D选项举一个反例即可.【详解】选项A:函数的值域为故A正确;选项B;有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,当时，，此时当时，，此时对随意,都有,故其为偶函数，故B正确;选项C:若，则，则.推断正确;选项D:，但，故D错误;故选：ABC.11.下面命题正确的是（）A.“”是“"的必要不充分条件B.“”是“一元二次方程有一正一负两个实根”的充要条件C.“”是“”的必要不充分条件D.设，则“”是“且”的充分不必要条件【答案】ABC【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义逐项推断作答.【详解】对于A，不能推出，而，必有，“”是“"的必要不充分条件，A正确；对于B，若，一元二次方程判别式，方程有二根，，即一正一负，反之，一元二次方程有一正一负两个实根，则，有，所以“”是“一元二次方程有一正一负两个实根”的充要条件，B正确；对于C，当时，若，有，当时，且，因此“”是“”的必要不充分条件，C正确；对于D，，若，取，明显“且”不成立，而且，必有，设，则“”是“且”的必要不充分条件，D不正确.故选：ABC12.已知函数满意：（1）对随意，都有；（2）对随意，都有．则下列推断正确的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由可得是的单调增函数，通过和可得，即，继而求出其余函数值【详解】由可得，所以，所以是的单调增函数，令，则，若，则，，故不成立，即，所以，即，于是，又，所以，即，故A不正确；进而可得，故B正确；，故C正确；，设且，所以，故，所以，故D正确故选：BCD【点睛】关键点睛：这道题的关键点是抓住是的单调递增函数，假设并证明冲突可得，结合可得，即，后面的计算就迎刃而解三､填空题（将正确答案填写到横线处，每题5分，共20分）13.已知，求__________．【答案】【解析】【分析】利用函数的解析式，由内到外逐层计算可得的值.【详解】由已知可得，故.故答案为：.14.已知实数，且，则的最小值是__________．【答案】3【解析】【分析】依据给定条件，变形已知等式，再利用均值不等式求解作答.【详解】实数，由得：，即，所以，当且仅当时取等号，由，且，解得，所以当时，取得最小值3.故答案为：315.设，函数在区间上的最小值为，在区间上的取小值为．若，则的值为__________．【答案】4或16【解析】【分析】利用均值不等式求出函数在上取得最小值的条件，再分段探讨并结合对勾函数的单调性求解作答.【详解】，，当且仅当，即时取等号，当时，则，有，而函数在上递减，，于是得，解得或，则，当时，则，有，而函数在上递增，，于是得，解得或，则，所以的值为4或16.故答案为：4或1616.用示正数四舍五入到个位的整数，如，则关于正数的方程的实数根的个数为__________．【答案】2【解析】【分析】依据题意，在同一坐标系中画出与的函数图象，数形结合即可求得结果.【详解】方程的实数根的个数，即与的函数图象的交点个数，为便利绘图，考虑在的解析式，其为，在同一个坐标中，两函数的图象如下所示：数形结合可知，两函数图象有2个交点，故方程的实数根的个数为.故答案为：.四､解答题（将解答步骤､文字说明､结论完整的书写在答题处，共70分）17.已知，（1）若时，求；（2）若，求实数m取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用集合的并集定义代入计算即可;（2）求出集合，利用集合包含关系，分类探讨和两种状况，列出关于m的不等式，求解可得答案.【详解】（1）当时，，则即．（2）或，由，可分以下两种状况：①当时，，解得：②当时，利用数轴表示集合，如图由图可知或，解得；综上所述，实数m的取值范围是：或，即【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要留意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种状况探讨，考查学生的逻辑推理实力，属于中档题.18.关于的方程有两个不相等的实根和．（1）若都在区间内，求实数的取值范围．（2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）依据给定条件，借助二次函数零点分布，列出不等式组并求解作答.（2）依据给定条件，推断方程根的性质，结合韦达定理计算作答.【小问1详解】令，依题意，二次函数在内有两个不同的零点，则有，解得，所以实数的取值范围是：.【小问2详解】由（1）知，方程有两个不相等的实根和，则，，，由得：，有，即，因此，解得，明显，所以存实数，使得成立，.19.已知函数是定义域上的奇函数.（1）确定的解析式；（2）用定义证明：在区间上是减函数；（3）解不等式.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；（2）任取、，且，作差，化简变形后推断的符号，即可证得结论；（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，即，化简得，因此，；（2）任取、，且，即，则，，，，，，，.，，因此，函数在区间上是减函数；（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，由得，所以，解得.因此，不等式的解集为.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理实力与运算求解实力，属于中等题.20.（1）已知，比较并证明与的大小．（2）求方程的解集【答案】（1），证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）作出被比较的两个数的差，结合已知推断差的符号即可作答.（2）变形给定的分式方程，求解并检验作答.【详解】（1），则，当且仅当时取等号，所以.（2）方程化为：，即，于是得，即，因此或，解得或，阅历证或都是原方程的根，所以方程的解集是.21.今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，安排在2024年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（2）2024年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）2024年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元【解析】【分析】（1）依据已知条件求得分段函数的解析式.（2）结合二次函数的性质、基本不等式求得的最大值以及此时的产量.【小问1详解】当时，；当时，；∴；【小问2详解】若，，当时，万元；若，，当且仅当即时，万元.答：2024年产量为100（千部）时，企业所或利润