2022年北京市门头沟初三（上）期末数学试卷及答案

1/12022北京门头沟初三（上）期末数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.已知，则下列比例式成立的是()A. B. C. D.2.二次函数的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.已知⊙的半径为，点到圆心的距离为，那么点与⊙的位置关系是（）．A.点在⊙外 B.点在⊙内 C.点在⊙上 D.无法确定4.在中，，，则的值是（）A. B. C. D.5.如图，线段AB是⊙O的直径，弦，，则等于（）.A. B. C. D.6.如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是（）A. B. C. D.7.如果与都在函数的图象上，且，那么的取值范围是（）A B. C. D.任意实数8.如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.已知＝，那么＝_____．10.颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是_____米．11.如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是_____．12.如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是_____cm2．13.若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．14.写出一个图象位于第一，三象限的反比例函数的表达式______．15.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是______步．16.函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；②该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是______．三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．18.已知：如图，在中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行添加一个条件______，使得∽，然后再加以证明．19.下面是小明设计的“作等腰三角形外接圆”的尺规作图过程.已知：如图1，在中，AB=AC.求作：等腰的外接圆.作法：①如图2，作的平分线交BC于D；②作线段AB的垂直平分线EF；③EF与AD交于点O；④以点O为圆心，以OB为半径作圆.所以，就是所求作的等腰的外接圆.根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留痕迹）；（2）完成下面证明.AB=AC，，_________________________.AB的垂直平分线EF与AD交于点O，OA=OB，OB=OC（填写理由：______________________________________）OA=OB=OC.20.已知二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表：…01234……-3-4-305…（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出该二次函数图象与轴的交点坐标.21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）如果AC=4，BC=3，求BD的长．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．23.“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点处用高1.5米的测角仪测得塔顶的仰角为，然后沿方向前行到达点处，在点处测得塔顶的仰角为．求永定楼的高．（结果保留根号）24.在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，．（1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当矩形花园的面积为时，求的长；（3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．25.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．26.在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）；（2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；（3）如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出的取值范围．27.在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．(1)如图1，当△ABC锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;(2)如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．28.如图，在平面直角坐标系中，，的半径为1．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是⊙C的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”．（1）如图1，如果线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为______．（2）如图2，如果、、、、、．那么的“关联线段”有______（填序号，可多选）．①线段；②线段；③线段（3）如图3，如果、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______．（4）如图4，如果点横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】B【解析】【详解】A、等式的左边除以4，右边除以9，故A错误；B、等式的两边都除以6，故B正确；C、等式的左边除以2b，右边除以，故C错误；D、等式的左边除以4，右边除以b2，故D错误；故选B．2.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的顶点式形式即可写出其顶点坐标．【详解】二次函数的顶点坐标是(3，1)故选：B【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，关键是知道二次函数的顶点式或能把一般式化成顶点式．3.【答案】A【解析】【详解】试题解析：∵OP=8＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选A．4.【答案】C【解析】【分析】由tanA==2，设BC=2x，可得AC=x，Rt△ABC中利用勾股定理算出AB=，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA的值．【详解】解：由tanA==2，设BC=2x，则AC=x，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴根据勾股定理，得AB=，因此，sinA=，故选：C．【点睛】本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠CAB=40°，然后利用邻补角的定义计算∠AOD的度数．【详解】∵CD⊥AB，∴，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°，∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°.故答案为C.【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是关键.6.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线平移的规律解答．【详解】解：这条新的抛物线的表达式是，故选：D．【点睛】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记规律是解题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数的增减性解答．【详解】解：∵与都在函数的图象上，且，1<2，∴y随着x的增大而减小，∴，得，故选：A．【点睛】此题考查了反比例函数的增减性：当k>0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．8.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值．【详解】解：连结BP，∵抛物线与轴交于A、两点，当y=0时，，解得，∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4，在直角△COB中，BC=，∵Q是AP上的中点，O是AB的中点，∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP，又∵P在圆C上，且半径为2，∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大，此时BP=BC+CP=5+2=7，OQ=BP=．故选择C．【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】【解析】【分析】直接利用已知得出x＝y，进而得出答案．【详解】解：∵＝，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键．10.【答案】12【解析】【详解】试题分析：如图所示：连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=×360°=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC，∴周长为2×6=12故答案为12【考点】正多边形和圆．11.【答案】【解析】【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：3∴这两个相似三角形的周长比是1：3，故答案为：1：3．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．12.【答案】【解析】【分析】由题意可知C、D是弧AB的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形AOB的，先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇形的面积皆可．【详解】解：S扇形OAB=，S阴影=S扇形OAB=×π=π．故答案为【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形，再求算扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．13.【答案】【解析】【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．【点睛】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．14.【答案】【解析】【分析】令k>0即可符合题意．【详解】解：位于第一，三象限的反比例函数的表达式是，故答案为：．【点睛】此题考查了反比例函数的定义，正确理解反比例函数的比例系数k与所在象限的关系是解题的关键．15.【答案】6【解析】【分析】依题意，直角三角形性质，结合题意能够容纳的最大为内切圆，结合内切圆半径，利用等积法求解即可；【详解】设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：；依据直角三角形的性质：可得斜边长为：依据直角三角形面积公式：，即为；内切圆半径面积公式：，即为；所以，可得：，所以直径为：；故填：6；【点睛】本题主要考查直角三角形及其内切圆的性质，重点在理解题意和利用内切圆半径求解面积；16.【答案】①③##③①【解析】【分析】根据函数解析式可知中，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据与存在3个交点可判断③当时，随的增大而减小，进而即可判断④【详解】解：则，，即函数图象与轴无交点，该函数自变量的取值范围是；故①正确；根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值，故②不正确；如图与存在3个交点，则方程有三个根；故③正确当时，随的增大而减小，如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．故④不正确故正确的有①③故答案为：①③【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【答案】【解析】【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．【详解】解：．．【点睛】本题主要考查了特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．18.【答案】【解析】【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．【详解】解：添加条件为：，理由：，，∽．故答案为．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．19.【答案】（1）补全图形见解析；（2）AD垂直平分BC.（或AD⊥BC，BD=DC）；；线段垂直平分线上点到线段两端距离相等.【解析】【分析】按照题目步骤进行作图即可；运用垂直平分线定理即可证明.【详解】（1）补全图形；（2）AD垂直平分BC.（或AD⊥BC，BD=DC）；线段垂直平分线上点到线段两端距离相等.【点睛】本题考查的知识点是尺规作图和垂直平分定理，解题关键是熟记垂直平分线上点到线段两端距离相等.20.【答案】（1）；（2）（3，0）和（-1，0）.【解析】【分析】（1）由已知的三点坐标得到二次函数的对称轴，然后设顶点式即可求出二次函数的解析式；

（2）由二次函数表达式即可得．【详解】（1）由抛物线经过三点（0，-3）、（2，-3）和（1，-4）可知，抛物线对称轴为直线,顶点坐标为(1，-4).设抛物线表达式为将(0,-3)点代入，解得∴二次函数的表达式为（2）二次函数图象与轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）.【点睛】本题考查的知识点是求二次函数的解析式，解题关键是熟记二次函数的性质.21.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A=∠DCB，又因为∠ACB=∠BDC=90°，即证△ABC∽△CBD；（2）根据勾股定理得到AB=5，根据三角形的面积公式得到CD=，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．∴∠A+∠ACD=90°．∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°．∴∠A=∠DCB．又∵∠ACB=∠BDC=90°，∴△ABC∽△CBD；（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴CD=，∵CD⊥AB，∴BD=．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．22.【答案】（1）y=﹣；（2）（-2，0）或（0，4）【解析】【详解】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上．∴n=﹣2×（﹣1）=2∴点A的坐标为（﹣1，2）∵点A在反比例函数的图象上．∴k=﹣2∴反比例函数的解析式是y=﹣．（2）∵A（-1，2），∴OA=，∵点P在坐标轴上，∴当点P在x轴上时设P（x，0），∵PA=OA，∴，解得x=-2；当点P在y轴上时，设P（0，y），∴，解得y=4；当点P在坐标原点，则P（0，0）舍去．∴点P的坐标为（-2，0）或（0，4）23.【答案】永定楼的高为米．【解析】【分析】根据题意，得，．设为，利用三角函数求出BC、AC，得到，求出x即可．【详解】根据题意，得，．设为．在中，，．同法可求．．解得．．答：永定楼的高为米．【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意确定直角三角形是解题的关键．24.【答案】（1）（2）的长为12米或16米（3）当时，面积的最大值为195米【解析】【分析】（1）依题意，按照矩形面积公式，列式化简，即可；（2）对（1）中的关系式赋值，求解对应方程的解，即可；（3）结合（1）中的函数关系式，及到墙边的距离限制进行求解，即可；【小问1详解】由题意得．∴．【小问2详解】由题意结合（1）可得：．解得，．答：的长为12米或16米．【小问3详解】结合（1）中的函数关系式可得：；又树到墙的距离为m，所以，即为；结合二次函数的性质，∴当时，面积的最大值为195米．【点睛】本题主要考查二次函数的性质及其最值得求解，难点在于结合实际情况进行解答；25.【答案】（1）见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明；（2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF．【详解】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）设半径为r，在Rt△OCD中，，∴，∴，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴，∴OE=4，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．26.【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为（2）（3）【解析】【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式可直接得出；（2）根据题意抛物线的顶点恰好在x轴上及（1）中结论可得，求解然后代入抛物线解析式即可得；（3）由（1）中结论对称轴为，，开口向上，考虑，分两种情况进行讨论：①当时；②当时；根据距离抛物线对称轴越远，函数值越大，列出不等式求解即可得．【小问1详解】解：由题意得．对称轴为直线，顶点坐标为；【小问2详解】解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，，解得，∴抛物线的表达式为：；【小问3详解】解：根据题意可得：对称轴为，，开口向上，分两种情况进行讨论：①当时，∵，∴可得：，不等式组无解；②当时，可得：，解得：，综合可得：．【点睛】题目主要考查抛物线的基本性质及顶点坐标，不等式组在二次函数中的应用等，理解题意，列出不等式组是解题关键．27.【答案】（1）①补全图形，如图1所示.见解析；猜想：∠BAE=∠BCD.理由见解析；②见解析；（2）补全图形，如图3所示.见解析；线段AE，CE，DE数量关系：CE-DE=AE.【解析】【分析】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD；②在AE上截取AF=CE，可证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD,可证明△ADF≌△CDE，得出DF=DE,∠ADF=∠CDE，可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.证出△EDF是等腰直角三角形，得出EF=，即可得出结论;(2)在CE上截取CF=AE，连接DF由CD⊥AD，AE⊥BC，可得∠EAD=∠DCF由∠BAC=45°可得AD=CD，可证△ADE≌△CDF，可得ED=DF∠ADE=∠CDF，可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故，即可得线段AE，CE，DE的数量关系.【详解】（1）①依题意，补全图形，如图1所示.猜想：∠BAE=∠BCD.理由如下：∵CD⊥AB,AE⊥BC，∴∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°.∴∠BAE=∠BCD.②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.连接DF.∵∠BAC=45°,CD⊥AB,∴△ACD是等腰直角三角形.∴AD=CD.又∠BAE=∠BCD,∴△ADF≌△CDE（SAS）.∴DF=DE,∠ADF=∠CDE.∵AB⊥CD,∴∠ADF﹢∠FDC=90°.∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.∴△EDF是等腰直角三角形.∴EF=.∵AF+EF=AE,∴CE+DE=AE.（2）依题意补全图形，如图3所示.在CE上截取CF=AE，连接DF∵CD⊥AD，AE⊥BC∴∠AD