不定积分求解方法-换元法

二、类换元法节一、类换元法机动目录上页下页返回结束换元积分法章2021/6/271第二类换元法第一类换元法基本思路机动目录上页下页返回结束设可导,则有2021/6/272一、第一类换元法（P221）定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)机动目录上页下页返回结束2021/6/273例1.

求解:

令则故原式

=注:

当时机动目录上页下页返回结束2021/6/274例2.

（P222）求解:令则想到公式机动目录上页下页返回结束2021/6/275例3.

（P223）求想到解:(直接配元)机动目录上页下页返回结束2021/6/276例4.

（P225）求解:机动目录上页下页返回结束类似2021/6/277例5.

（P223）求解:∴原式

=机动目录上页下页返回结束2021/6/278常用的几种配元形式:万能凑幂法机动目录上页下页返回结束2021/6/279例6.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束2021/6/2710例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束2021/6/2711例9.

求解法1解法2两法结果一样机动目录上页下页返回结束2021/6/2712例10.（P227）求解法1机动目录上页下页返回结束2021/6/2713解法2同样可证或(P226-P227)机动目录上页下页返回结束2021/6/2714例11.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束2021/6/2715例12.

求解:机动目录上页下页返回结束2021/6/2716例13.

求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束2021/6/2717例14.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束分析:

2021/6/2718例15.

求解:原式机动目录上页下页返回结束2021/6/2719小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如2021/6/2720思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动目录上页下页返回结束2021/6/27212.

求提示:法1法2法3作业目录上页下页返回结束2021/6/2722二、第二类换元法（P228）机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，2021/6/2723定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则机动目录上页下页返回结束则有换元公式（P228）2021/6/2724例16.

（P230）求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束2021/6/2725例17.

求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束2021/6/2726例18.（P230）

求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束2021/6/2727令于是机动目录上页下页返回结束2021/6/2728说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.或或机动目录上页下页返回结束三角代换外,还可利用公式2021/6/2729原式例19.

求解:

令则原式当

x<0时,类似可得同样结果.机动目录上页下页返回结束2021/6/2730小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或机动目录上页下页返回结束第四节讲2021/6/2731机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(P399-404)(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令2021/6/2732机动目录上页下页返回结束2021/6/2733解:

原式(P399公式(9))机动目录上页下页返回结束例20.

求例21.

求解:(P400公式(15))2021/6/2734例22.

求解:

原式=(P401公式(33))机动目录上页下页返回结束例23.

求解:

原式(P401公式(33))2021/6/2735例24.

求解:

令得原式机动目录上页下页返回结束(P400公式(19))2021/6/2736例25.

求解:

原式令例16例16目录上页下页返回结束2021/6/2737思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令机动目录上页下页返回结束2021/6/27382.已知求解:

两边求导,得则(代回原变量)

机动目录上页下页返回结束2021/6/2739备用题1.求下列积分:机动目录上页下页返回