2025届高考数学一轮复习作业圆的方程北师大版

PAGEPAGE1圆的方程一、选择题1．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，1)的圆的方程是()A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1C．(x－2)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1A[设圆的方程为(x－a)2＋y2＝1，由题意知(2－a)2＋12＝1，解得a＝2，故选A．]2．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－eq\r(2))B．(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)C．(－∞，－eq\r(3))D．(－∞，－2eq\r(3))∪(2eq\r(3)，＋∞)B[由题意知m2＋4－12＞0，即m2＞8，解得m＞2eq\r(2)或m＜－2eq\r(2)，故选B．]3．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上随意一点，则eq\r(x－12＋y－12)的最大值为()A．eq\r(26)＋2B．eq\r(26)C．5D．6A[eq\r(x－12＋y－12)的几何意义为点P(x，y)与点A(1，1)之间的距离．易知点A(1，1)在圆x2＋(y＋4)2＝4的外部，由数形结合(图略)可知eq\r(x－12＋y－12)的最大值为eq\r(1－02＋1＋42)＋2＝eq\r(26)＋2．故选A．]4．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为()A．(－1，1) B．(－1，0)C．(1，－1) D．(0，－1)D[由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝eq\f(1,2)eq\r(k2＋4－4k2)＝eq\f(1,2)eq\r(－3k2＋4)，要使圆的面积最大，须使半径最大，所以当k＝0时，rmax＝eq\f(1,2)eq\r(4)＝1，此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．]5．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝4C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,2)C[设中点M(x，y)，则动点A(2x－3，2y)．∵点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1．故选C．]6．(2024·西安调研)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－4y－8＝0B．x2＋y2＋2x－4y－8＝0C．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0D．x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0C[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F＞0，将P，Q两点的坐标代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10，②))令y＝0得x2＋Dx＋F＝0．③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6得D2－4F＝36，④解①②④组成的方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－4，,F＝－8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝－8，,F＝0，))因此，所求的圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0，故选C．]二、填空题7．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．2[由题意知，直线kx＋2y－4＝0经过圆心(－1，3)，则有－k＋6－4＝0，即k＝2．]8．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，因此圆的方程是________．(x－2)2＋(y＋3)2＝13[设直径的两端点分别为A(a，0)，B(0，b)，则a＝4，b＝－6，∴|AB|＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)，从而圆的半径为eq\r(13)，因此圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13．]9．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是________．eq\r(2)＋1[将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝eq\r(2)＋1．]三、解答题10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq\r(10)．(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．[解](1)由已知得直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0． ①又直径|CD|＝4eq\r(10)，所以|PA|＝2eq\r(10)．所以(a＋1)2＋b2＝40． ②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2，))所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)，所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．11．如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2eq\r(6)，高为3．(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．[解](1)由已知可知A(－3，0)，B(3，0)，C(eq\r(6)，3)，D(－eq\r(6)，3)，设圆心E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知(0－3)2＋(b－0)2＝(0－eq\r(6))2＋(b－3)2，解得b＝1．所以r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10．所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10．(2)设P(x，y)，由点P是MN中点，得M(2x－5，2y－2)．将M点代入圆的方程得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,2)．1．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为()A．1B．5C．4eq\r(2)D．3＋2eq\r(2)D[由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(2a,b))＝3＋2eq\r(2)，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即b＝2－eq\r(2)，a＝eq\r(2)－1时，等号成立．∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为3＋2eq\r(2)．]2．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为eq\f(\r(5),5)，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2[设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝2b2，,r2＝a2＋1，,\f(|a－2b|,\r(5))＝\f(\r(5),5)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1，,r2＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝2.))故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2．]3．动圆C与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的两根．(1)若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；(2)证明：当动圆C过点M(0，1)时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．[解](1)∵x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的两根，∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝－4．∵动圆C与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且线段AB是动圆C的直径，∴动圆C的圆心C的坐标为(－m，0)，半径为eq\f(|AB|,2)＝eq\f(|x2－x1|,2)＝eq\f(\r(x1＋x22－4x1x2),2)＝eq\r(m2＋4)．∴动圆C的方程为(x＋m)2＋y2＝m2＋4．(2)证明：设动圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵动圆C与y轴交于M(0，1)，N(0，y1)，令y＝0，则x2＋Dx＋F＝0，由题意可知D＝2m，F＝－4，又动圆C过点M(0，1)，∴1＋E－4＝0，解得E＝3．令x＝0，则y2＋3y－4＝0，解得y＝1或y＝－4，∴y1＝－4．∴动圆C在y轴上截得弦长为|y1－1|＝5．故动圆C在y轴上截得弦长为定值．1．(2024·青岛模拟)如图A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，eq\o(\s\up12(︵),CD)是以OD为直径的圆上一段圆弧，eq\o(\s\up12(︵),CB)是以BC为直径的圆上一段圆弧，eq\o(\s\up12(︵),BA)是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W．给出以下4个结论：①曲线W与x轴围成的面积等于2π；②曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)；③eq\o(\s\up12(︵),CB)所在圆的方程为：x2＋(y－1)2＝1；④eq\o(\s\up12(︵),CB)与eq\o(\s\up12(︵),BA)的公切线方程为：x＋y＝eq\r(2)＋1．则上述结论正确的是()A．①②③④ B．②③④C．①②③ D．②③B[曲线W与x轴的图形为以(0，1)圆心，1为半径的半圆加上以(1，0)为圆心，1为半径的eq\f(1,4)圆，加上以(－1，0)为圆心，1为半径的eq\f(1,4)圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为eq\f(1,2)π＋2×eq\f(1,4)π＋2＝2＋π≠2π，故①错误；曲线W上有(－2，0)，(－1，1)，(0，2)，(1，1)，(2，0)共5个整点，故②正确；eq\o(\s\up12(︵),CB)是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故③正确；设eq\o(\s\up12(︵),CB)与eq\o(\s\up12(︵),BA)的公切线方程为y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，由直线和圆相切的条件可得eq\f(|t－1|,\r(1＋k2))＝1＝eq\f(|k＋t|,\r(1＋k2))，解得k＝－1，t＝1＋eq\r(2)(t＝1－eq\r(2)舍去)，则其公切线方程为y＝－x＋1＋eq\r(2)，即x＋y＝1＋eq\r(2)，故④正确．故选B．]2．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．[解]由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m．令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－eq\f(1,2)．此时C(0，－1)，AB的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))即圆心，半径r＝|CM|＝eq\f(\r(17),4)，故所求圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(17,16)．(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)