四川省南充市2024-2025学年高一数学下学期期中理试题含解析

Page1四川省南充市2024-2025学年高一数学下学期期中（理）试题第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列，，，，的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据已知项找规律可得选项.【详解】解：依据题意，数列，，，，，有，，，，依次类推：.故选：D.2.值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由两角差的正弦公式化简后求解【详解】．故选：C3.若向量，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐标运算即可求解.【详解】∵，，∴.故选：A.4.已知为等差数列，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据等差数列的性质求出的值，即可求解.【详解】因为为等差数列，所以，可得，所以，故选：B.5.已知中，，，，则角A等于（）A.90 B.60或120C.30 D.30或90【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得到，求出角B，进而求出角A.【详解】由正弦定理得：，解得：，因为，且，故或，均符合要求，所以角A的度数为30或90°.故选：D6.已知，，向量在方向上投影是4，则为（）A.12 B.8 C.-8 D.2【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积几何意义即可求解.【详解】解：设两个向量的夹角为，由题意已知，，向量在方向上投影是4，则，所以；故选：A.7.已知的内角的对边分别为，若的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据三角形面积公式列出相应等式，结合余弦定理化简，即可得到答案.【详解】由题意可得：，即，则，由于，故,故选：D8.已知分别是的内角的的对边，若，则的形态为（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形【答案】A【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得利用三角形的内角和及诱导公式可得，整理可得从而有结合三角形的性质可求【详解】解：是的一个内角，，由正弦定理可得，又，，即为钝角，故选A．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．9.若是其次象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得，可将本题转化为，已知，求，进而利用诱导公式、二倍角公式，求解即可.【详解】解：设，则，则，所以，解得，所以.故选：D.10.如图，在中，，，，点C为AB的中点，，则的值为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平面对量的运算法则分解，依据数量积的运算律求解【详解】由题意得，而，而，则,故．故选：B11.在中分别是的对边，，若且，则的面积为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由三角形内角和定理及诱导公式可得，，再利用正弦定理，将已知等式中的角化边，可得，然后利用余弦定理，可得的值，最终由三角形的面积公式即可求解．【详解】解：在中，由，即，，，，由正弦定理得，，，，，化简得，又由余弦定理得，，即，解得或（舍），的面积．故选：B．12.设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（）A.(1，9] B.(3，9]C.(5，9] D.(7，9]【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.【详解】因为，由正弦定理可得，则有，由的内角为锐角，可得，，由余弦定理可得因此有故选：D.【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（肯定要留意探讨钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知平面对量，，且//，则＝．【答案】(-4,-8)【解析】【详解】由，然后依据平面对量共线（平行）的坐标表示建立等式即，求出，然后依据平面对量的坐标运算．14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，若，则的外接圆面积为_________.【答案】3【解析】【分析】由已知利用余弦定理可求的值，结合的范围可求的值，利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径即可计算得解的外接圆面积．【详解】解：，，可得：，，由，可得：，设的外接圆半径为，由正弦定理可得：，解得，可得的外接圆面积为．故答案为：．15.若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是_________．【答案】；【解析】【分析】依据题意，由向量数量积的性质可得，解可得答案．【详解】解：依据题意，若与的夹角为钝角，则且与的方向不相反，则有，解可得且，即的取值范围是；故答案为：．16.在中，，点在边上运动，且，点满意，则的最小值为__________【答案】##【解析】【分析】依据向量的线性运算及数量积的运算性质可知所求为的最小值，转化为求三角形边上的高，利用余弦定理及，面积公式求解即可.【详解】取的中点，连结，如图,,当时，最小，由余弦定理可知，即，又，所以，设边上的高为，则，解得，，即此时最小值为.故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平面对量.(1)若,求x的值;(2)若,求与的夹角的余弦值.【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)利用向量平行的坐标表示，列方程求解；(2)依据平面对量垂直的坐标表示列方程求出，再计算与所成夹角的余弦值.【详解】(1)平面对量，若,则，解得；(2)若,则，即,解得，∴，∴与的夹角的余弦值为.【点睛】本题考查了平面对量的共线定理与数量积应用问题，是基础题.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若，的周长为6，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再利用二倍角公式计算可得；（2）由余弦定理得到，即，再依据三角形的周长，即可求出，最终依据面积公式计算可得；【小问1详解】解：由可得，，又，得，由正弦定理得，因，所以，则，因，所以所以，即，则．【小问2详解】解：在中，由余弦定理得：变形得：因为的周长为6，所以，代入上式得：.故的面积为.19.已知，，，（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算，三角恒等变换公式化简后，依据三角函数性质求解（2）依据三角函数性质求解【小问1详解】，的最小正周期.由，，解得，故函数的对称轴方程为，.【小问2详解】当时，，当时，函数取得最小值为.当时，函数取得最大值为.所以函数在区间上的值域为.20.已知函数（a，b为常数，），，且有唯一的解.（1）求的表达式；（2）记，且，证明数列是等差数列并求出.【答案】（1）（2）证明见解析，【解析】分析】（1）由题意列方程组求解（2）由递推公式化简，构造数列后证明【小问1详解】，即①，即有唯一解，则，所以②将②代入①得，故.【小问2详解】当时，（，且），由（1）可知，则，即，故是首项为1，公差为的等差数列，所以，即21.设函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）若，，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）利用两角和的余弦公式以及及二倍角余弦公式将绽开合并可得，利用正弦函数的单调性列出不等式可得函数的单调递减区间；（2）利用化简结果及，求出，，结合角的范围解出，运用差角的余弦公式计算即可得结果.试题解析：（1）．当，即时递增，递减．所以，函数的单调递减区间为．（2）由，，得，，∵，则，∴．．∴．【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的恒等变换，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1)代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或依据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.22.在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．（1）求角B的值；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围．【答案】（1）60°；（2）﹒【解析】【分析】(1)依据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可