河北省唐山市2024-2025学年高二数学下学期期中试题含解析

Page12河北省唐山市2024-2025学年高二数学下学期期中试题本试卷分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，满分150分，考试时间120分钟．卷Ⅰ（选择题，共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.给出下列各量：①某机场候机室中一天的游客数量；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；③某同学离开自己学校的距离；④将要实行的绘画竞赛中某同学获得的名次；⑤体积为8的正方体的棱长.其中是离散型随机变量的是（）A.①②④ B.①②③ C.③④⑤ D.②③④【答案】A【解析】【分析】由离散型随机变量的概念逐个推断即可得解.【详解】由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量，⑤中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.故选：A.2.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据条件概率的定义即可求得两事务同时发生的概率.【详解】解析：记“该地区下雨”为事务A，“刮风”为事务B，则P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.故选：C.3.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是()A.0.72 B.0.8C.0.86 D.0.9【答案】A【解析】【分析】将所给数据代入条件概率公式计算而得.【详解】设“种子发芽”为事务A，“种子成长为幼苗”为事务AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9.又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.故选：A4.随机变量ξ的全部可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为（）A. B. C.110 D.55【答案】B【解析】【分析】依据随机变量的概率和为1,列出方程即可求解【详解】∵随机变量ξ的全部可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝故选：B.5.若的绽开式中全部二项式系数和为64，则绽开式中的常数项是（）A.240 B.－240 C.160 D.－160【答案】A【解析】【分析】依据二项式系数和公式可求得，再由二项定理绽开式的通项求得常数项.【详解】由二项式定理性质可知，二项式系数和为，所以，依据二项绽开式的通项公式为，令，则，所以绽开式中的常数项为240.故选：A.6.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆由导数的运算法则及复合函数的导数依次推断即可.【详解】对于A，，A错误；对于B，因是常数，则，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误．故选：C7.若函数f（x）＝6lnx－x2＋x，则f（x）的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求导，解不等式可得.【详解】f（x）定义域为，又，令，∵x＞0，∴，由解得或，则，即的单调减区间为．故选：B．8.某省进行高考综合改革，要求学生从高二起先对课程进行选修，即从化学、生物、政治、地理四门课程中选择两科进行选修，则甲、乙两人所选课程中至少有一科相同选法的种数是（）A.36 B.30 C.24 D.12【答案】B【解析】【分析】先计算两人所选课程都不同选法，再算两人各选两科总的选法，然后可得.【详解】甲、乙两人所选课程都不同有种，甲、乙两人各选两科共有，所以甲、乙两人所选课程中至少有一科相同的选法的种数为种.故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.－1是函数的微小值点B.－4是函数的微小值点C.函数在区间上单调递减D.函数在区间上先增后减【答案】BC【解析】【分析】依据导函数图象确定的单调性，由此确定正确选项.【详解】由图象可知，在上递减，在上递增，所以不是极值点，A选项错误；是微小值点，B选项正确；C选项正确；D选项错误.故选：BC10.已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程可能为（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.【详解】设过点的直线与曲线相切的切点为，由求导得，于是得切线方程为，即，则，解得或，因此得切线方程为或，所以所求切线的方程是或.故选：AB11.已知，则下列结论正确的是（）A＝32 B.＝2C.＝－39 D.＝－15【答案】BCD【解析】【分析】分别令、和，可推断A错误，B、C正确，结合二项绽开式的通项，可判定D正确.【详解】令，则，故A错误，令，则，故B正确，令，则，两式相减可得：，故C正确，绽开式中含x的项为，故，所以D正确.故选：BCD．12.设随机变量的分布列为，则A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得，即可推断A、D；由即可推断B；由即可推断C；即可得解.【详解】随机变量的分布列为,，解得，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故答案为：A、B、C.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与应用，考查了运算求解实力，属于基础题.卷Ⅱ（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上．13.设随机变量X的概率分布列为1234则________．【答案】【解析】【分析】先计算的值，再由解出，再求和.【详解】由，解得，.故答案为：.14.已知，则______（填数字）．【答案】【解析】【分析】分别令、，将所得式子作和即可求得结果.【详解】令得：；令得：；两式作和得：，.故答案为：.15.若，则______.【答案】4【解析】【分析】依据题意和组合数的运算性质干脆计算即可.【详解】由题意知，因为，所以或，解得(舍去)或.故答案为：416.将4名志愿者安排到3个不同的北京冬奥场馆参与接待工作，每个场馆至少安排一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再支配给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少安排1人，则必需且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，则共有种安排方案.故答案为：36三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地匀称的骰子，假如点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；假如点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.【答案】【解析】【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，故从甲箱中摸到红球的概率为；从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，故从乙箱中摸到红球的概率为；综上所述：摸到红球的概率为.18.名师生站成一排照相留念，其中老师人，男生人，女生人，在下列状况下，各有多少种不同站法？（1）老师必需站在两端；（2）名女生必需相邻；（3）名男生互不相邻；（4）名男生身高都不相等，从左向右看，名男生按从高到低的依次站．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）先支配老师，再支配学生，由分步乘法计数原理可求得结果；（2）采纳捆绑法即可求得结果；（3）采纳插空法即可求得结果；（4）依据男生定序，采纳倍缩法可求得结果.【小问1详解】先让老师站在两端，则有种站法；将学生支配在其余位置，有种站法；老师必需站在两端，则有种站法.【小问2详解】将名女生排在一起，有种站法；将名女生看作整体，与其余人排序，有种排法；名女生必需相邻，则有种站法.【小问3详解】将老师和名女生先排好序，有种站法；将名男生插空放入，有种站法；名男生互不相邻，则有种站法.【小问4详解】人站队，共有种站法；名男生不考虑身高排序，则有种排法；从左向右看，名男生按从高到低的依次站共有种站法.19.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.（1）设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事务A，试列举事务A包含的基本领件；（2）设ξ＝m2，求ξ分布列.【答案】（1）(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0)；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由不等式可得S＝{x|－2≤x≤3}，再由m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，可求出事务A包含的基本领件；（2）由题意可得ξ＝m2的全部不同取值为0，1，4，9，然后求出各自对应的概率，从而可得ξ的分布列【详解】（1）由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}.由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以事务A包含的基本领件为：(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0).（2）由于m的全部不同取值为－2，－1，0，1，2，3，所以ξ＝m2的全部不同取值为0，1，4，9，且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.故ξ的分布列为：ξ0149P20.已知的一个极值点为2.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，；（2）最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）由题目极值点为2可以求得解析式中的值，并验证确为极值点，则函数表达式确定，依据导数的正负推断函数单调性即可（2）依据（1）中对函数单调性的探讨，可以推断在区间上的单调性，从而得出最大最小值【详解】解:（1）因为，所以，因为的一个极值点为2，所以，解得，此时，，令，得或，令，得；令，得或，故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.即适合题意所以，函数单调递减区间为，单调递增区间为，（2）由（1）知，在上为增函数，在上为减函数，所以是函数的极大值点，又，，，所以函数在区间上的最小值为，最大值为.21.用0，1，2，3，4，5这6个数字．（1）能组成多少个无重复数的四位偶数？（2）能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?【答案】（1）156（2）132【解析】【分析】（1）依据个位是进行分类探讨，由此求得“无重复数四位偶数”的个数.（2）结合插空法求得“奇数数字互不相邻的六位数”的个数.【小问1详解】符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有个；其次类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个(种)，十位和百位从余下的数字中选，有种，于是有个；第三类：4在个位时，与其次类同理，也有个．由分类加法计数原理得，共有＝156(个)．【小问2详解】先排0，2，4，再让1，3，5插空，总的排法共＝144(种)，其中0在