2024-2025学年广东省广州市华侨中学三校联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市华侨中学三校联考高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+3y+2024=0的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知空间向量a=(m+1,m,−2)，b=(−2,1,4)，且a⊥b，则mA.−103 B.−10 C.10 3.求圆x2+y2−2x+6y=0的圆心到A.23 B.2 C.34.有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为(

)A.110 B.25 C.355.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则(

)A.A与B互斥 B.B与C互为对立 C.A与B相互独立 D.A与C相互独立6.已知O空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若OD=12OA+xOBA.12 B.14 C.187.已知点A(1,2)在圆C:x2+y2+mx−2y+2=0A.(−3,−2)∪(2,+∞) B.(−3,−2)∪(3,+∞)

C.(−2,+∞) D.(−3,+∞)8.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记P(a,b).若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中M(x1,y1)和A.(x1−x2)2+(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的有(

)A.两平行线间的3x+4y+5=0，3x+4y−5=0距离为2

B.过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线有两条

C.直线3x+4y+5=0的方向向量可以是n=(3,4)

D.直线ax+2y+4=0与直线x+(a−1)y+2=0平行，则a=−1或10.已知事件A，B发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16A.P(A−)=23 B.13≤P(A+B)≤12

C.若11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1CA.当P在平面BCC1B1上运动时，三棱锥P−AA1D的体积为定值4

B.当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π3,π2]

C.若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B1CD12.已知点A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)在圆上，则该圆的标准方程为______．13.在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则AE⋅AD=14.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为23；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为12.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

直线l经过两直线l1：3x+4y−2=0和l2：2x+y+2=0的交点．

(1)若直线l与直线3x+y−1=0垂直，求直线l的方程；

(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l16.(本小题12分)

已知圆心为C的圆经过点A(−3,0)和点B(1,0)两点，且圆心C在直线y=x+1上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知线段MN的端点M的坐标(3,4)，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程．17.(本小题12分)

质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q=x+y+z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编号AAAAA质量指标

(x,y,z)(1,1,2)(2,1,2)(2,2,2)(1,3,1)(1,2,3)产品编号AAAAA质量指标

(x,y,z)(1,2,2)(2,3,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,1,1)(1)利用表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

(2)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．18.(本小题12分)

如图，在四棱锥A−BCDE中，△BCE为等边三角形，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，二面角D−AC−E的大小为60°．

(1)求证：CD//平面ABE；

(2)若AC=BC=2，点G为线段AB上的点，若直线CB与平面CEG所成角的正弦值为217，求线段AG的长度．19.(本小题12分)

在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AE和BD上移动，且EM和DN的长度保持相等，记EM=DN=a(0<a<2)，活动弹子Q在EF上移动．

(1)求证：直线MN//平面CDE；

(2)Q为线段EF上的点，求EB与平面QCD

参考答案1.D

2.B

3.C

4.D

5.D

6.C

7.A

8.A

9.AB

10.ABC

11.BD

12.(x−2)13.8

14.417215.解：(1)联立方程组3x+4y−2=02x+y+2=0，

解得x=−2y=2，

所以交点坐标为(−2,2)，

又因为直线l与直线3x+y−1=0垂直，所以直线l的斜率为13，

则直线l的方程为y−2=13(x+2)，即x−3y+8=0；

(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−2，满足点A(3,1)到直线l的距离为5；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−2=k(x+2)，即kx−y+2k+2=0，

则点A到直线l的距离为|3k−1+2k+2|k2+1=5，

解得k=125，

故直线l的方程为16.解：(1)由圆心C在直线y=x+1上，可设圆心的坐标为C(a,a+1)，

再根据圆C经过点A(−3,0)和点B(1,0)，可得|CA|=|CB|，

即(a+3)2+(a+1)2=(a−1)2+(a+1)2=r2，解得a=−1，r2=4，

可得圆心C的坐标是(−1,−1)，r=2，

∴圆C的标准方程为(x+1)2+y2=4；

(2)设N(x1,y117.解：(1)根据题意，计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号AAAAAAAAAAS4565656634其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9，A10共6件，故该样本的一等品率为610=0.6，

从而估计该批产品的一等品率为0.6．

(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：{A1,A2}，{A1,A4}，{A1,A6}，{A1,A9}，{A1,A10}，

{A2,A4}，{A2,A618.(1)证明：在四棱锥A−BCDE中，因为平面ACD⊥平面CDE，平面ACD∩平面CDE

=CD，AC⊥CD，AC⊂平面ACD，所以AC⊥平面CDE．又CE，CD⊂平面CDE，所以AC⊥CE，

AC⊥CD．所以∠ECD为二面角D−AC−E的平面角，所以∠ECD=60°，又△BCE为等边三角形，∠BEC=60°，所以CD

//

BE．又BE⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，所以CD

//平面ABE．(2)解：取BE的中点F，连结CF.则CF⊥BE，又BE

//

CD，所以CF⊥CD．又AC⊥平面CDE，CF⊂平面CDE，所以AC⊥CF，所以AC，CF，CD两两垂直．以C为坐标原点，CF的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz，则A(0,0,2)，B(3,−1,0)，C(0,0,0)则CE=(3,1,0)，设AG=λAB，得G(3λ,−λ,2−2λ)设平面CEG的法向量为n=(x,y,z)，

则CG·不妨令x=3，可得n=(设直线CB与平面CEG所成的角为α，则sinα=|cos<n，CB所以AG的长为2

19.解：(1)证明：在平面ADEF内，过点M作MG/​/DE，交AD于点G，连接NG，MN，

由MG/​/DE，得AMME=AGGD，而AE=BD=2，EM=DN=a，

则AM=BN，AMME=BNND，AGGD=BNND=AMME，于是GN/​/AB，

又AB/​/CD，则GN/​/CD，而MG⊄平面CDE，MG/​/DE，DE⊂平面CDE，

因此MG/​/平面CDE，

同理GN//平面CDE，又MG⊂平面MNG，GN⊂平面MNG，MG∩GN=G，

则平面MNG/​/平面CDE，而MN⊂平面MNG，

所以直线MN/​/平面CDE．

(2)由平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，ED⊥AD，

ED⊂平面ADEF，得ED⊥平面ABCD，又DA⊥DC，

以点D为坐标原点，直线DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系