电磁场与电磁波-矢量场基础小结

三种坐标系的单位矢量；矢量函数在不同坐标系中的变换；不同坐标系中线元、面元、体积元的表示标量场的方向导数与梯度。第2讲小结1.2三种常用的坐标系在电磁学理论中，电磁定律不随坐标系变化，但是在求解实际问题时，还需要将这些定理得出的关系用一个跟已知问题的几何特征相适合的坐标系来表达。因此，引入多种坐标系，以方便地进行分析。在任一时刻，描述场的物理状态分布的函数是唯一的。——大小、方向是唯一的。坐标系：直角坐标系：柱坐标系：球坐标系：1.2三种常用的坐标系1.2三种常用的坐标系例1.3求从点

到点

的距离矢量。直角坐标系解解例1.4设和求：在上的分量在上的分量1.2三种常用的坐标系直角坐标系位置矢量微元：注意、、的方向不随x，y，z的变化而变化面元矢量：体积元：1.2三种常用的坐标系则圆柱坐标系在电磁学中，经常要计算线积分、面积分和体积分。每一种情况都需要表示一个坐标微分变化对应的微分长度变化。然而，有些坐标不是长度；而且需要一个变换因子将微分变化

转换成长度变化1.2三种常用的坐标系圆柱坐标系注意：圆柱坐标系中的坐标单位矢量

和

都不是常矢量位置矢量微元：？随不同而变化位置矢量：1.2三种常用的坐标系面元矢量：体积元：圆柱坐标系度量系数（拉梅系数）：长度元坐标微分1.2三种常用的坐标系圆柱坐标系矢量变换：1.2三种常用的坐标系圆柱坐标系矢量变换：1.2三种常用的坐标系3.球坐标系右旋法则:1.2三种常用的坐标系矢量

在柱坐标系中可用三个分量表示为若有则球坐标系1.2三种常用的坐标系位置矢量微元：位置矢量：球坐标系球坐标系中的坐标单位矢量

、、

都不是常矢量1.2三种常用的坐标系球坐标系面元矢量：体积元：拉梅系数：长度元坐标微分1.2三种常用的坐标系矢量变换：球坐标系1.2三种常用的正交坐标系4.坐标单位矢量之间的关系

1.3标量场的梯度标量场和矢量场

在所考察的空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该空间区域上定义了一个场。如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：静态标量场可表示为：静态矢量场：时变时变场的数学建模（除有限个点或某些表面外）连续1.3标量场的梯度1、标量场的等值面 等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。等值面方程：标量场的等值面1.3标量场的梯度方向导数标量场在场任一点附近沿不同方向的空间变化率方向导数数学模型1.3标量场的梯度2、方向导数 方向导数定义： 标量场在某点沿

方向的变化率称为

沿该方向的方向导数。特点：方向导数既与点有关也与方向有关1.3标量场的梯度方向导数意义：方向导数表示场在点沿方向的空间变化率

场沿方向增加场沿方向减少场沿方向无变化问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？1.3标量场的梯度梯度3、标量场的梯度 说明：定义：标量场u在点M处梯度为一个矢量，以符号gradu来表示，它在点M处沿方向的分量等于标量场u在点M处沿方向的方向导数其中，为与之间的夹角，且当时，意义：梯度描述标量场在某点的变化最大的方向及其最大变化率1.3标量场的梯度梯度4、标量场梯度的计算

哈密顿(W.R.Hamilton)引入倒三角算符号(读作“del(德尔)”或“nabla(那勃拉)”)表示矢量形式的微分算子:梯度在方向的分量： 同理，有1.3标量场的梯度梯度标量场梯度的计算公式 圆柱坐标系球坐标系1.3标量场的梯度梯度5梯度的性质：

◆标量场的梯度是矢量场，它在空间

某点的方向表示该点场变化最大（增

大）的方向，其数值表示变化最大

方向上场的空间变化率。◆标量场在某个方向上的方向导数，

是梯度在该方向上的投影。◆标量场的梯度垂直于通过该点的等

值面（或切平面）1.3标量场的梯度梯度梯度运算的基本公式： 1.3标量场的梯度梯度例1.5

设一标量函数

(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空间标量场。试求：

(1)该函数

在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。

(2)求该函数

沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为1.3标量场的梯度梯度表征其方向的单位矢量(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿

方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为1.3标量场的梯度梯度而该点的梯度值为显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。1.3标量场的梯度梯度例1.6场点P(x,y,z)与源点P′(x′,y′,z′)间的距离为R,试证：(1)(2)解：(1)1.3标量场的梯度梯度(2)而故有证毕1.3标量场的梯度梯度解：由梯度运算法则可得例1.7已知位于原点处的点电荷q在其周围空间任一点

处产生的电位为,其中，且已知电场强度,求。1.4矢量场的通量和散度1、矢量场的矢量线3、矢量场的散度2、矢量场的通量4、散度定理1.4矢量场的通量和散度4、散度定理∆V很小时1.4矢量场的通量与散度例1.8点电荷

在离其

处产生的电通量密度为

求任意点处电通量密度的散度，并求穿出r为半径的球面的