2025年高考数学一轮复习讲义：奇偶性、对称性与周期性（原卷版）

专题08奇偶性、对称性与周期性（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】...............................................................12

【考点1】函数的奇偶性......................................................12

【考点2】函数的周期性及应用................................................16

【考点3】函数的对称性......................................................22

【考点4】函数性质的综合应用................................................28

【分层检测】...............................................................33

【基础篇】.................................................................33

【能力篇】.................................................................40

【培优篇】.................................................................42

考试要求：

1.理解函数奇偶性的含义.

2.了解函数的最小正周期的含义.

3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.

知识梳理

1.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数加0的定义域为/,如果Vx©/,

偶函数都有一X©/，且x)=/U),那么函数人x)就关于y轴对称

叫做偶函数

一般地，设函数加0的定义域为/,如果Vx©/,

奇函数都有一X©/，且外一■=-—X),那么函数兀0关于原点对称

就叫做奇函数

2.函数的周期性

⑴周期函数：对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，

都有<x+T)=/(x),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数五x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就

叫做兀t)的最小正周期.

|常用结论

1.函数周期性的常用结论

对/(X)定义域内任一自变量的值X：

(1)若Hx+a)=一火%),则T=2a(a>0).

(2)若於+a)=]([),则T=2a(a>0).

(3)若危+a)=-1([),则T=2a(a>0).

2.对称性的四个常用结论

(1)若函数y=/(x+a)是偶函数，则函数y=/U)的图象关于直线x=a对称.

(2)若函数是奇函数，则函数y=/(x)的图象关于点团，0)中心对称.

(3)若函数y=/(x)满足x)，则y=/(x)的图象关于直线对称；特别地，当a

=人时，即_/(a+x)=/(a—x)或7(x)=/(2a—x)时，则y=/(x)的图象关于直线x=a对称.

(4)若函数y=/(x)满足式x)+7(2a—龙)=20,则y=/(x)的图象关于点(a,切对称.特别地，当人=0

2

时，即五a+x)+*a—x)=O或火x)+y(2a—x)=0时，则y=/(x)的图象关于点(。，0)对称.

1.真题自测

一、单选题

1.(2023・全国•高考真题)已知/(无)=二匚是偶函数，则。=()

e^-l

A.-2B.-1C.1D.2

7_i

2.(2023•全国•高考真题)若/⑺=(%+a)ln^一r；为偶函数，贝巾=().

2x4-1

A.-1B.0C.；D.1

22

3.(2022•全国•高考真题)已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+j)+/(x-y)=/(x)/(y),/(D=l,则士/伏)=

k=l

()

A.-3B.-2C.0D.1

4.(2022•全国•高考真题)已知函数/(%),g(尤)的定义域均为R,且/(%)+g(2-x)=5,g(x)-/(%-4)=7.若

22

y=g。)的图像关于直线X=2对称，g(2)=4,则£/(左)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

5.(2021•全国•高考真题)已知函数〃尤)的定义域为R,/(x+2)为偶函数，〃2x+l)为奇函数，则()

A.=0B./(-1)=0C."2)=0D./(4)=0

6.(2021•全国•高考真题)设函数〃尤)的定义域为R,/(%+1)为奇函数，〃x+2)为偶函数，当xe[l,2]时，

f^=ax2+b.若〃0)+〃3)=6,则d|j=()

9375

A.——B.——C.-D.—

4242

二、多选题

7.(2023•全国•高考真题)已知函数的定义域为R,=//(%)+x2/(y),则().

A./(0)=0B./(1)=0

C.是偶函数D.尤=0为的极小值点

8.(2022•全国•高考真题)已知函数Ax)及其导函数/(x)的定义域均为R,记g(x)=/'(无)，若

g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g\£|=0C./(-I)=/(4)D.g(T)=g⑵

3

三、填空题

9.（2023・全国•高考真题）若〃x）=（x-l）2+ax+sin［x+|^为偶函数，则。=

10.（2021•全国•高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数/（X）:.

①〃平2）=/（石）/（々）；②当xe（0,+8）时，fix'）>0；③（无）是奇函数.

11.（2021•全国•高考真题）已知函数〃同=/（。2-2一,）是偶函数，则。=.

考点突破

［考点1］函数的奇偶性

一、单选题

2—丫

1.（2024・重庆•三模）设函数则下列函数中为奇函数的是（）

A.九一2）+1B.f（x—2）+2

C./（X+2）+2D./（x+2）+l

2.（2024广东佛山・一模）已知〃力=（%+1）（犬+。）（犬+»为奇函数,则丁=〃%）在兀=0处的切线方程为（）

A.x+y=0B.x-y=0

C.3x+y=0D.3x-y=0

二、多选题

3.（2024・全国・模拟预测）已知函数/（幻及其导函数/'（工）的定义域均为L记8（%）=/口），若/（1-。爪2+%）

均为奇函数，则下列说法中正确的是（）

A./（0）=0B.g（0）=0

C.g⑵=8⑷D./⑴=/（-2）

4.（2024•湖南邵阳•模拟预测）已知函数〃尤）的定义域为R,/（X+1）为奇函数，/（x+2）为偶函数，且对

任意的和马41,2）,x产3，都有则（）

石-x2

A.〃x）是奇函数B.”2023）=0

C.的图象关于（1,0）对称D./（7t）>/（e）

三、填空题

5.（2024•河南三门峡•模拟预测）己知函数“力是定义在R上的奇函数，当无20时，/（力=-炉-3%+。-1,

则，（-〃）的值为.

4

6.(2024・广东佛山•二模)已知定义在R上的偶函数，(力在［0,+")上单调递减，且/。)=2,则满足

+x)>4的实数彳的取值范围为.

反思提升：

1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断火功与人一刈是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等

价等量关系式(/(x)+<-X)=0(奇函数)或—/(—X)=0(偶函数))是否成立.

2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区

间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关

问题.

【考点2】函数的周期性及应用

一、单选题

1.(2024.陕西渭南.模拟预测)已知定义在R上的函数“力满足〃x+3)=-〃x),g(x)=〃x)-1为奇函

数，则/(198)=()

A.-1B.0C.1D.2

2.(21-22高三上•四川攀枝花•阶段练习)定义在R上的函数Ax)满足/(x-3)=/(x+l),且

则下列说法正确的是()

A./(X)的值域为［0,1］

B.7(%)图象的对称轴为直线》=必(后eZ)

C.当xe(-3,-2)时，/(x)=2x+6

D.方程3〃x)=x恰有5个实数解

二、多选题

3.(2024,黑龙江大庆•模拟预测)已知函数“X),g(x)及其导函数尸(x),的定义域均为R,若

的图象关于直线x=l对称，〃x)+g(x+l)=x+l,/(x+l)=g(-x)+x,且g(2)=l,则()

A.7■(%)为偶函数B.g(x)的图象关于点(3,3)对称

99

C./(2。2)=1D.》1)=4950

1=1

4.(2024・广西•二模)已知定义在R上的函数满足―2+%)-"2-"=4%.若/(2x-3)的图象关于点

5

(2,1)对称,且〃0)=0,则()

A."%)的图象关于点(U)对称

B.函数g(x)=/(x)-2x的图象关于直线x=2对称

C.函数g(x)=/(x)-2x的周期为2

D./(1)+/(2)++"50)=2499

三、填空题

5.(2024•山东枣庄•一模)已知/(x+2)为偶函数，且/(尤+2)+f(x)=-6,则〃2027)=

6.(2024•宁夏银川•一模)若定义在R上的函数满足y=/(x+D是奇函数，f(4+x)=/(-%),〃2)=2,

则/(1)+/(2)+〃3)++/(30)=.

反思提升：

1.若人x+a)=—Hx)(a是常数，且。关0),则2a为函数人x)的一个周期.

2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区

间上，进而解决问题.

【考点3】函数的对称性

一、单选题

1.(2024•内蒙古呼伦贝尔•二模)已知定义在R上的函数“力满足"2+x)-〃2—x)=4x.若〃2x—3)的

图象关于点(2,1)对称,且/(0)=0,则象⑴+〃2)+…+/(50)=()

A.0B.50C.2509D.2499

2.(22-23高三上•辽宁营口•期末)设函数的定义域为R,〃x+l)-3为奇函数，〃x+2)为偶函数,

f(x)=ax2+b.若〃—l)+〃0)=l,则等］=()

当了«1,2］时，

371152

A.——B.—C.—D.—

121263

二、多选题

3.(2020•山东淄博•一模)已知函数y=/(x)是R上的奇函数，对于任意xeR,都有/(x+4)=f(x)+/⑵

成立，当xe［0,2)时，f(x)=2^-l,给出下列结论，其中正确的是()

A."2)=0

B.点(4,0)是函数＞=/(尤)的图象的一个对称中心

C.函数y=/(x)在上单调递增

D.函数y=f(x)在［-6,61上有3个零点

6

4.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（%）=d+Qx2+bx+。下列结论中正确的是（）

A.若/'（5）=0,则X。是/⑴的极值点

B.加eR,使得〃x°)=0

C.若/是/（尤）的极小值点，则/W在区间（-。,/）上单调递减

D.函数y=/（X）的图象是中心对称图形

三、填空题

5.（23-24高三下•河南濮阳•开学考试）已知函数/（%）的定义域为R,且/（4%+1）的图象关于点（0,2）中心

100

对称，若/'（2+尤）一/■（2—x）+4x=0,则』

Z=1

6.（2024•宁夏固原•一模）已知定义在R上的函数/（“满足对任意实数%都有〃尤+3）=〃1+2）〃X+1）,

〃力=〃2-力成立，若"2）=1,则伏）=

攵=1

反思提升：

对称性的三个常用结论

（1）若函数八工）满足汽a+x）=/（）一x）,则y=«x）的图象关于直线》=卓"对称.

a+b)..，

（2）若函数“x）满足/（〃+%）=—/（/?—%）,则y=«x）的图象关于点,0)对称.

等,刍对称.

（3）若函数“x）满足/（〃+1）+/（/?—x）=c,则函数八工）的图象关于点

【考点4】函数性质的综合应用

一、单选题

“冗-冗之,0<x<2]

1.（2024•辽宁抚顺•一模）函数/（%）满足:当光>0时，〃力=<

2M+1X>2，y="x)+/是奇函数・记

3，X

1rnj

关于X的方程“X）-日+g=0（keR）的根为国,当,…，乙，若则左的值可以为（）

2z=i'

11175

A.—Bn.—C.一D.1

18124

2.（2024・安徽合肥•一模）已知函数〃x）的定义域为（0,+8）,且（x+y）/（尤+y）=砧A（x）y（y）,/（l）=e,

记。=出

力=〃2)c=〃3),则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

二、多选题

7

3.(2024•河南开封•三模)已知函数“X)的定义域为R,且〃尤+y)+〃尤-y)=f(尤)/(y),3。)=1,则

A./（0）=2B./（3-x）=/（3+x）

C.””是周期函数D.”力的解析式可能为〃x)=2sin?无

O

4.(2024・全国•模拟预测)已知〃0)=：,/(%+y)=/(x)/(l-y)+/(y)/(l-x),则()

A.=1B.=：恒成立

C."x+y)=2〃x)/(y)D.满足条件的F(尤)不止一个

三、填空题

5.(2024•陕西西安二模)已知函数Ax)满足/(x+y)=/(x)+/(y)+2盯，/g)=|.则/(100)=.

6.(2023•全国•模拟预测)已知定义在[0,+8)上的函数"X)满足f(x+3)=2/(x),且当xe[0,3)时，

4

/(x)=^-2+—则方程/(%)=100的所有解的和为____.

x+1

反思提升：

1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函

数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；

2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为火预)次X2)的形式，再结合单调性，脱去T5,变成常规

不等式，转化为X1<X2(或X1>X2)求解.

3.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数

值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

4.函数火工)满足的关系y(a+x)=/S—x)表明的是函数图象的对称性，函数/(x)满足的关系汽。+

x)=/^+x)(aW。)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不栗混淆.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

Y2+3

1.(2023,福建福州•模拟预测)函数〃同=工^的图象大致为()

8

2.（2023高三上•江苏徐州•学业考试）已知函数/（%）为偶函数，且在（F,0］上单调递增，〃T）=0,则不

等式〃2%+1）<0的解集为（）

A.(-oo,-l)B.(0,+a?)

C.(-1,0)D.(^x),-l)u(0,+oo)

3.（2024•广东茂名•一模）函数y=/（尤）和y=2）均为R上的奇函数，若/（1）=2,则“2023）=（）

A.-2B.-1C.0D.2

4.（2024•全国•模拟预测）函数"x）=log2024G/7W-x）+e，贝，（地。加）+“血,）=（）

A.2024B.2»C.eD.2e

二、多选题

5.（2021•江苏连云港•模拟预测）函数/（尤）的定义域为R,且/（幻与/（X+1）都为奇函数，则（）

A./（尤-1）为奇函数B./（尤）为周期函数

C.7■（尤+3）为奇函数D./（尤+2）为偶函数

2,xeQ

6.（23-24高一上•云南昆明•期中）函数。（x）=,则下列结论正确的是（)

3,x@Q

A.。(句＞0(3.14)B.。（力的值域为［2,3］

C.。（。（力）是偶函数D.VaeR,D（x+fl）=D（a-x）

7.（2024・全国•模拟预测）已知〃x）=sin［x+E）,g（x）=sin（x-|J,贝（j（）

A.将〃尤）的图象向左平移］个单位长度可以得到g（x）的图象

B.将/（X）的图象向右平移个单位长度可以得到g（x）的图象

Sir

c.“X）的图象与g（x）的图象关于直线X=对称

77r

D.的图象与g（x）的图象关于直线x=£对称

三、填空题

8.（23-24高一下•内蒙古•期中）已知6>0,函数=是奇函数，贝U。=,b=

9

9.(2024•陕西西安・二模)已知定义域为R的函数/a)满足f(x+2)=_/(x),且当0<x<2时，/(x)=3X-Inx,

则"211)=.

10.(2024・四川成都•模拟预测)函数g(x)=f『+lnW+2,若g(a)=6,则g(-a)=.

四、解答题

11.(2023•陕西西安・模拟预测)已知奇函数/卜)=加+加+5在％=1处取得极大值2.

⑴求的解析式;

⑵求“X)在［T3］上的最值.

12.(2020•广东中山•模拟预测)已知函数>=/(%)的定义域为(0,+«),当x>l时，/(%)>0,且对任意

不，%«0,+OO)满足/(占=占)+/(%2).

(1)求『(1)的值；

(2)判断y=/(x)的单调性，并加以说明；

(3)当当时，试