2025届新高考数学一轮复习特训：统计 （含答案）

2025届新高考一轮复习特训统计

一、选择题

1.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7,11,14,机,22;乙组：5,10,〃,18,20,若这两组

数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则加+〃=（）

A.28B.29C.30D.32

2.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为:72,78,80,

81,83,86,88,90,则这组数据的第75百分位数是（）

A.86B.87C.88D.90

3.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如下图所示，则时速在

C.60辆D.80辆

4.已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示:

令藐”乙分别表示甲、乙射中环数的均值;或分别表示甲、乙射中环数的方差，则（）

A.X甲＜X乙，$甲＞s乙x甲〉x乙，§甲＜s乙

C.X甲="¥乙'S亩〉S；D.理=X乙，瘴＜

5.已知一组数据：⑵,123,124,125,125,126,127,128,129,130.则这组数据的第25百分位

数是（）

A.123B.124C.125D.126

6.为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去

社会上的一些福利机构做义工.某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构

做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x的值为（）

十频率/组距

0.0225-------1~I

0.0175—I~~

0.005--------k--

“1十十'A

o\20406080100时间

A.0.0020B.0.0025C.0.0015D.0.0030

7.采购经理指数（PMI）,是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而

成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领

域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用.

制造业PMI高于50%时，反映制造业较上月扩张；低于50%，则反映制造业较上月收

缩.下图为我国2021年1月―2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计图.

A（%）

uu2021年1月一2022年6月制造业指数（PMI）

50

4511111-----111111----1—,—।1111-----1—

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1月2月3月4月5月6月

2021年;2022年

根据统计图解题思路，下列结论最恰当一项为（）

A.2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩

B.2021年第四季度各月制造业在逐月扩张

C.2022年1月至4月制造业逐月收缩

D2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张

8.某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人,现采用分层随

机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（）

A.20B.30C.40D.50

二、多项选择题

9.有一组样本数据X],尤2，…，X6,其中X1是最小值，了6是最大值，则（）

x,4，…，4

A.X2,3x4,毛的平均数等于七，的平均数

B.X2,%，了4，%的中位数等于尤1，尤2，…，尤6的中位数

C.%,%,2，

23x4,%的标准差不小于为，》…，的标准差

X,X,2，X6

D.23x4,毛的极差不大于玉，工…，的极差

10.在一次数学测试中，老师将班级60位同学的成绩按照从小到大的顺序进行排列后

得到的原始数据为％,4，。3,…，«60（数据互不相同），其极差为机，平均数为

a,则下列结论中正确的是（）

A.4Q-3,4a2一3,4a3-3,,,,,4a6（）一3的平均数为4a—3

B.q+2,%+2,%+2，…，Ro+2的第25百分位数与原始数据的相同

C.若幺旦，2±幺，…，%9+&o,组i±幺的极差为加，贝IJ加〈加

22222

Dq+>2a[+03...%9+460,々60+q的平均数大于.

2-丁'-2-''_2-'-2-'

11.衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学

史知识测试，测试题共5道,每答对一题得20分,答错得0分.得分不少于60分记为及格,

不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）

A.该次数学史知识测试及格率超过90%

B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名

C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数

D.若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名

三、填空题

12.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：

①本题共3小题，每小题6分，满分18分；

②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0

分；

③部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小

题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分).

已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，

第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所

有可能总得分(相同总分只记录一次)的中位数为.

13.已知一组数据1.6,1.8,2,222.4,则该组数据的方差是.

14.若一组样本数据2,3,7,8,。的平均数为5,则该组数据的方差$2=.

四、解答题

15.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差

小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记

为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为4(c).假设数据在组内均匀分

布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率4(c)；

(2)设函数/(c)=p(c)+q(c),当ce[95,105]时，求/(c)的解析式，并求/(c)在区间

[95,105]的最小值.

16.在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下

的样本数据的频率分布直方图:

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的概率;

（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该

地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）,求此人患这

种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区

间的概率，精确到0.0001）.

17.某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直

径（单位：mm）数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是［98,103］，样本

数据分组为［98,99），［99,100），［100,101），［101,102）,［102,1031已知样本中钢球直径

在［100,101）内的个数是20.

⑵若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在［99,102）的产品为合格产品，试根据样

本估计这批产品的不合格产品件数.

18.某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和

复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了

预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率

分布直方图如图：

[频率/组距

0.0150[……厂|

0.0125[------~I

o.oioo[—

0.0075[---一

0.0050卜

020406080100学生的预赛成绩（百分制）

（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生

中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X

的分布列及数学期望；

（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布

N（〃Q2）,其中〃可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用

该组区间的中点值代替），且〃=362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分

布，估计小明是否有资格参加复赛？

附：若Z~N（〃,cr2）,则尸（A—cr<Z<〃+cr）a0.6827,

P（〃-2cr<Z<〃+2cr）a0.9545,P（jU-3a<Z</J+3cr）®0.9973;1362a19.

19.某次数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有参加竞赛的学生中随机

抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60）,[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100],并绘制成如图所示的频率分布直方图.

频率

0.040组距

0.030

0.015

0.010

0.005

05060708090100成绩/分

（1）补全频率分布直方图，若只有30%的人能进入决赛，则入围分数应设为多少分

（保留两位小数）？

（2）采用分层抽样的方法从成绩为［80,100］的学生中抽取容量为6的样本，再从该样

本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率.

（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为

笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A+,A,B,C,。五个等级，

若两科笔试成绩均为A+,则不需要第二轮面试直接参加冬令营活动；若一科笔试成绩

为A+,另一科笔试成绩不低于5,则要参加第二轮面试，面试通过也可参加冬令营活

动，其他情况均不能参加活动.现有甲、乙二人报名参加考试.甲在每科笔试中取得

A+,A,B,C,。的概率分别为士7，1113—；乙在每科笔试中取得A+,

5612520

A,B,C,。的概率分别为工，工，工，,，,；甲、乙在面试中通过的概率分别为

4551020

▲.已知甲、乙二人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时参加冬令营

516

活动的概率.

参考答案

1.答案：c

解析：依题意，甲组数据的第50百分位数为14,乙组数据的第50百分位数为〃，则

〃=14,

由5x80%=4,得甲组数据的第80百分位数为四名，乙组数据的第80百分位数为

2

":19,

2

因此=]9，解得加=16，所以〃=30.

2

故选：C.

2.答案：B

解析：将数据从小到大排序得72,78,80,81,83,86,88,90,

因为8x75%=6，

所以第75百分位数是匣t色=87.

2

故选：B.

3.答案：D

解析：由于时速在[60,70）的频率为0.04x10=0.4,

所以时速在[60,70）的汽车大约有200x0,4=80.

故选：D.

4.答案：D

解析：由图可知，焉=7x0.3+8x0.4+9x0.3=8,是乙=7x0.4+8x0.2+9x0.4=8，

M=^（7-8）2X0.3+（8-8）2X0.4+（9-8）2X0.3]=0.6,

222

5^=rp_8）x0.4+（8-8）x0.2+（9-8）x0.41=0.8,

所以X甲=应，S|1r<s；.

故选：D.

5.答案：B

解析：数据从小到大排列是：⑵,123,124,125,125,126,127,128,129,130.

共10个数据,10义25%=2.5，

所以这组数据的第25百分位数是第3项，即124.

故选：B.

6.答案：B

解析：由题意可得：20(%+0.0175+0.0225+0.005+x)=l，解得x=0.0025.

故选：B.

7.答案：D

解析：对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于50%，故A项错

误；

对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于50%，故B项错误；

对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于50%,故C项错误；

对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2022年6

月PMI超过50%,故D项正确.

故选：D.

8.答案：A

解析：由题意可得被抽到的研发人员有600x型=60人，销售人员有400x36=40

12001200

人，

则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多60-40=20.

故选：A

9.答案：BD

解析：对于选项A：•.・士，/不确定，，七，了2，…，的平均数不确定，如1，2,

2,2,2,4的平均数不等于2,2,2,2的平均数，故A错误；

对于选项B：不妨设々<退<%4<X5,则%，£,5,X5的中位数为云；工4,七，

%，花，玉，4的中位数为玉产，故B正确；

对于选项C：VX"%%,x5,x6的波动性不小于%2，%3，%，%的波动性，

x2,的标准差不大于西，了2，%3，%4，%5，%的标准差，故C错误；

对于选项D：不妨设/<退</<匕，则石<々<X,<<匕</，/.X5-X2<X6-Xl，

即4，%3，X4,%的极差不大于石，尤2，尤3，X4,X5,尤6的极差，故D正确.故选

BD.

10.答案：AC

解析：对于A,由平均数的性质知4%-3,4a2-3,4%-3,…，4a6。-3的平均数为

4a-3,故A正确；

对于B,q+2,%+2，%+2，…，Ro+2的第25百分位数比原始数据的第25百分

位数大2,故B错误；

对于C4+%,%+%,。3+。4,...%9+°606o+a]的极差为一

‘2-'_2-'-2-

m'=40+%9_^±g1=4。-4+%9—/<2(&。—q)==m,故C正确；

2222

对于D_J_|"1+"2+%+43+%+。4_(_1_a59+4o°60+I

，初—-—2--2-…-2--2-)

=+4+%+，，，+Ro)=a,D生昔1吴.

故选：AC.

11.答案：ACD

解析：由图知，及格率为1—8%=92%>9O%，A正确；

该测试满分同学的百分比为1—8%-32%-48%=12%,则有12%xl50=18名,B错误；

由图知，中位数为80分，平均数为40x8%+60x32%+80x48%+100xl2%=72.8分,C正

确；

由题意,3000名学生成绩能得优秀的同学有3000x(48%+12%)=1800,D正确.

故选:ACD

12.答案：11

解析：由题意得小明同学第一题得6分；

第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、4分和6分；

第二题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、2分和3分；

由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、

13分、14分、15分共8种情况,

所以中位数为电土U=n,

2

故答案为：IL

13.答案：0.08

_1

解析：首先求得x=w(1.6+l.8+2+22+2.4)=2,

大4口6-2)2+(1.8-2)2+(2-2)2+(2.2-2)2+(2.4-2)1=。.。8.

14.答案：—

5

2+3+7+8+〃

解析:-------------------5,〃二5•

15.答案：（1）c=97.5；夕（。）=3.5%

-0.008c+0.82,95<c<100,

⑵/(C)=0.02

0.01c-0.98,100<c<105,

解析：（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5x0.002>0.5%,

所以95<c<100,所以(c—95)x0.002=0.5%,解得c=97.5,

q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0,002=0.035=3.5%.

(2)当ce［95,100］时,/(c)=p(c)+q(c)=(c—95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002

=-0.008c+0.82>0.02；

当ce(100,105］时,/(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002

=0.01c-0.98>0.02,

生f-0.008c+0.82,95<c<100,

故/(c)=《

t0.01c-0.98,100<c<105,

所以/(c)在区间［95,105］的最小值为0.02.

16.答案：(1)47.9岁

(2)0.89

(3)0.0014

解析：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为0.001x10x5+

0.002xl0xl5+0.012xl0x25+0.017xl0x35+0.023xl0x45+0.020x

10x55+0.017x10x65+0.006x10x75+0.002x10x85=47.9^.

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率

P=0.012xl0+0.017xl0+0.023xl0+0.020xl0+0.017xl0=0.89.

(3)设事件A：此人患这种疾病，事件3：此人年龄位于区间［40,50),

则由题意知P(AB)=23%x0.1%=0.023%,P(3)=16%,

所以若此人年龄位于［40,50),

则此人患这种疾病的概率P(A|5)=打些=0-023%»0.0014.

P(B)16%

17.答案：(1)50；

(2)160.

解析：(1)因为样本中钢球直径在［100,101)内的个数是20，其频率为0.40,

所以样本容量为〃=卫=50.

0.4

(2)样本中这批产品的不合格产品件数为(0.08+0.08)x50=8，

由样本估计总体，可知这批产品的不合格产品件数为§xl000=160.

50

18.答案：(1)分布列见解析，E(X)=>,

134

(2)有资格参加复赛

解析：(1)预赛成绩在［60,80)范围内的样本量为：0.0125x20x100=25-

预赛成绩在［80,100］范围内的样本量为：0.0075x20x100=15-

设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X,可能取值为0,1,2,则

p(x>i)=C5cqeM,

13

c25c1C1c27

又P(X=0)=3=—，P(X=1)=至，泛=_,p(x=2)=T=—，

113C；o52Co52

则X的分布列为：

X012

5257

p

135252

<757Q

故E(X)=0X3+1义上+2X'=2

1352524

(2)〃=》=(10x0.005+30x0.01+50x0.015+70x0.0125+90x0.0075)x20=53,

4=362，则d9,又Z~N(53,362),

故P(ZX91)=尸(Z2〃+2b)=g［l—P(〃-2b<Z<〃+2cr)］x0.02275，

故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有12000x0.02275=273人,

因为273<300，故小明有资格参加复赛.

19.答案：(1)图见解析，入围分数应设为76.25分

3

(2)-