2025版高考物理专项复习：磁场中的“动态圆”模型（含答案及解析）

微专题13磁场中的“动态圆”模型

题型n概决有界磁场中临界问题的三类方法

粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但

在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场

适用条件

时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速

定圆平移法度大小为。0,则半径H—7言

XXXXXXX

XyxVxIpXXKX轨迹圆圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同

III心共线一直线上，该直线与入射点的连线平行

将半径为R—彳£的圆进行平移，从而探索粒子

界定方法

的临界条件，这种方法叫“平移圆”法

粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带

电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速

适用条件

定圆旋转法圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为。0,

ryiVc\

o则圆周运动轨迹半径为R-二

如图所示，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动

p

轨迹圆圆

XXX>-^KXXX的圆心在以入射点P为圆心，半径R—器的圆

XXZ矽X、XX

蓝心共圆

上

将一半径为R—贲的圆以入射点为圆心进行旋

XXX

xyx、*一xxqb

界定方法转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转

圆”法

粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带

电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场

动圆放缩法适用条件

XXXXXX中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而

P'

Xx^x~~x^sxX

x/xx变化

王国》

如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度

轨迹圆圆

XXXXXX。越大，运动半径也越大.可以发现这些带电粒

心共线

子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初

速度方向的直线PP'上

以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将

界定方法半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种

方法称为“放缩圆”法

颐h(2024-南京三校期中)如图所示，一对长平行栅极板水平放置，极板

外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源

相连，正极板上。点处的粒子源垂直极板向上发射速度为00、带正电的粒子束，

单个粒子的质量为加'电荷量为成一足够长的挡板与正极板成37°角倾斜

放置，用于吸收打在其上的粒子，GP是负极板上的两点，C点位于。点的正

上方，P点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从上方打入的粒子，CP长

度为Lo,忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，sin37°

=0.6.

(1)若粒子经电场加速一次后正好打在尸点处的粒子靶上，求可调电源电压

Uo的大小.

B2qLG冽那

答案:

8m2q

解析：从。点射出的粒子在板间被加速，则

Uoq=^mv2—^mvi

粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径R/

V2

由qvB=rrr^

解得

Uo=8m2q

(2)调整电压的大小，使粒子不能打在挡板0M上，求电压的最小值Umin.

口水：187

解析：当电压有最小值时，粒子穿过下方的正极板后，圆轨迹与挡板相

切，此时粒子恰好不能打到挡板上，如图所示

从。点射出的粒子在板间被加速，则

Ummq=^mv,--'^invi

粒子在负极板上方的磁场中做匀速圆周运动

/2

qvrB=m

fmin

粒子从负极板运动到正极板时速度会减小到00,则

vi

qvoB=m-r~

由几何关系可知2rmin=737。+「'

联立解得。1皿=需

LoQ

(3)若口=胃，当电压从零开始连续缓慢增加时，求粒子靶最多能接收到

几种能量的粒子.(假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定)

答案:4种

解析：设上方半径为「，下方半径为私如图所示

NW

自下而上由动能定理qU=^m(vr-vo)

由洛伦兹力提供向心力可知厂=词，加=词

粒子上下运动2个半圆一次会向右平移△/,

A/=2r—2ro

当粒子打到P点时，由几何关系可知

2r+n△l=Lo(«=0,1,2,3,■,,)

由题意可知，当粒子第一次经过下方磁场时的轨迹与挡板相切时，△/

4

有最小值，此时U=Umin,代入可得厂

5mz

由题可知Lo=qB=5ro

故2r+〃(2r—2ro)=5ro(〃=O,1,2,3,,,,)

日>4

B.厂33ro

解得“W3.5

则取〃=0、1、2、3共4种情况打到P点，故有4种能量的粒子.

类题固法1

1.(2023■南师附中)如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的

匀强磁场，尸为磁场边界上的一点.大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，

在纸面内沿不同方向射入磁场.若粒子射入速率为01,这些粒子在磁场边界的出

射点分布在四分之一圆周上；若粒子射入速率为02,相应的出射点分布在三分之

一圆周上.不计重力及带电粒子之间的相互作用.则02：加为(D)

长、•i

、、//

_/

A.小：2B.^2:1

C.小：1D.小：表

解析：由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由"3="管

rn7i

可知尺=q获b，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同.若粒子运动的速度大小为

01,如图所示，通过旋转圆可知，当粒子的磁场出射点A离尸点最远时AP=2R,

同样，若粒子运动的速度大小为。2,当粒子的磁场出射点3离P点最远时3P=

2R?i由几何关系可知~,Rz=R-cos30°~,Ri：Ri=y[2:y[3,则

V2:V\=Ri:Ri=y[3:也，故选D.

2.如图所示，正方形abed区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，。点是cd

边的中点，一个带正电的粒子（重力忽略不计）若从。点沿纸面以垂直于cd边的

速度射入正方形内，经过时间/（）刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从。

点沿纸面以与成30°角的方向（如图中虚线所示），以各种不同的速率射入正

方形内.下列说法中错误的是（D）

A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场

B.若该带电粒子从湖边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是

C.若该带电粒子从历边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是加

D.若该带电粒子从左边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是|/o

解析：带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间m刚好从c

点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T=2/o.作出粒子从0点沿纸面以与Od

成30°角的方向射入恰好从各边射出的轨迹，如图所示，发现粒子不可能经过

正方形的某顶点，故A正确；作出粒子恰好从断边射出的临界轨迹③④，由几

何关系知圆心角不大于150。，在磁场中经历的时间不大于—个周期，即|/o;圆

心角不小于60°,在磁场中经历的时间不小于/个周期，即上）,故B正确；作出

粒子恰好从A边射出的临界轨迹②③，由几何关系知圆心角不大于240。，在

磁场中经历的时间不大于1个周期，即*o;圆心角不小于150°,在磁场中经历

的时间不小于卷个周期，即声），故C正确，D错误.

题型旧磁聚焦与磁发散模型

大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁

磁聚焦

场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等便=7-），则所有

的带电粒子将从磁场圆的最低点3点射出.（会聚）

证明：四边形。4。'B为菱形，必是平行四边形，对边平

山行，03必平行于A。（即竖直方向），可知从A点发出的带

：/B

电粒子必然经过3点.

有界圆形磁场的磁感应强度为3,圆心为。，从P点有大量

质量为加、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度。沿不

磁发散

同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆

/ftp01半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向

平行.（发散）

证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心入射点'

--」一个r

出射点的连线为菱形，也是平行四边形，。以、O2B、03c均

平行于P。，即出射速度方向相同（即水平方向）.

颐12（2023■宿迁期末）如图所示，在x轴的上方存在一个垂直xOy平面向

里、半径为R的有界匀强圆磁场，磁场的直径在y轴上，磁感应强度大小为8坐

标原点。处有一粒子源，可沿与x轴正方向成30°-150°范围内垂直磁场方向

均匀发射速度大小相等,质量为机、带电荷量为e的电子，这些电子都能够打到

右侧与y轴平行放置的屏上，被屏反弹后以原速率沿原方向返回，其中沿y

轴正方向射入的电子能够垂直打到屏上，屏的横坐标为小R不计电子的重力和电

子间的相互作用，求:

（1）电子射入磁场时的速度大小.

答案：等

解析：当沿y轴正方向射入的电子能够垂直打到屏上，可得电子在磁场中的

运动轨迹如图所示

由几何知识可得电子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r=R

又由牛顿第二定律Bev=m—

(2)电子打到屏MN上的长度.

答案：小R

解析：电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹的圆心分布在以。点为圆心，R

为半径的圆上.电子以任意速度方向射入磁场时，其在磁场中的运动轨迹如图所

HO'Q43为棱长为R的棱形，故A3始终竖直，所以所有电子离开磁场时

的速度方向都为水平向右.当一电子以与x轴成8方向射入磁场，如图所示

其水平射出磁场后打在屏的纵坐标为

y=R—Rcos0

故当8=30。时，电子打在屏的最低点，代入得

2f

当8=150°时，电子打在屏的最高点，代人得

2+小

故电子打到屏MN上的长度L=y2~y\=y{3R

（3）电子从。点出发到返回磁场右边界的最短时间.

（n+3事）m

答案:3Be

当电子从。点到返回磁场右边界的轨迹路程最短时，电子从。点出发到返

回磁场右边界的时间最短.当一电子以与x轴成8方向射入磁场到返回到磁场

右边界的路程为

5=Rsin8）

对上式求导得s'=R-2Rcos9

令s'=0,当8=1时，S最小，代入得Smin=（g+小）R

故电子从。点出发到返回磁场右边界的最短时间

_Smin（n+3木）m

?nun=—=3B（,

类题固法2

1.（2024•高邮期中）1897年，汤姆逊利用电磁偏转的方法，测量了电子的

荷质比.20世纪初，考夫曼用磁聚焦法也测量出粒子的荷质比，并且该实验还是

狭义相对基础实验之一.如图为磁聚焦法简化原理图.电子从电子枪K出发，初

速度为零.虽然由于各种原因在Q处会出现散开一个角度，但可以认为经过加

速电场的做功，所有电子均获得相同的轴向速度.如图方向的磁场作用下,

电子将做螺旋运动，重新会聚在另一点.这种发散粒子束会聚到一点的现象与透

镜将光束聚焦现象十分相似，因此叫磁聚焦.已知加速电压为U,磁感应强度为

B,。处角度为28,电子的轴向速度为。o,不计重力以及电子之间的相互作用，

求：

⑴电子的比荷左

口条：而

解析：电子经过加速电场加速，由动能定理可得

1

Ue=^mu69

角星得k=—=—

用牛侍“m2U

(2)在磁场中相邻两个会聚点的距离.

小士=4nU

口木：Bvo

解析：电子进入磁场后，受洛伦兹力影响，在径向上做匀速圆周运动，则而内

2

r

2nr

电子在磁场中运动周期为「二

轴上两个会聚点的距离为△/，则△/=ooT

联立可得△上党

2.(2023•盐城期末)如图所示，离子源S中飘出初速度为零的离子，经MN

间的电场加速后，沿轴线进入图中虚线所示的圆形匀强磁场区域.圆形匀强磁场

半径为R,磁场区域的右下部分;圆周边界处安装有接收底片P。，尸在。的正下

方，。与。同在轴线上.一个质量为机的一价正离子从离子源飘入电场，最后

恰好打在尸点.已知元电荷为e,MN间电压为U,离子重力忽略不计.

(1)求圆形区域中磁感应强度3的大小.

答案：入弊

解析：一个质量为m的一价正离子从离子源飘入电场，最后恰好打在尸点，

根据几何关系可知离子圆周运动的轨道半径n=R

离子圆周运动过程有ev\B=m-

在电场中加速过程有eU=^mvl

8刀,曰112mU

(2)因放置失误，导致磁场区域整体向下移动，使磁场区域圆心偏离轴线△

x,Ax<f,求此情况下该一价正氢离子打在底片上的位置.(用该位置到。点的

连线与轴线所成的角度e表示).

答案：90°

解析：根据题意可知，满足(1)条件情况下，离子在半径为R的圆形磁场中

做圆周运动的半径为R,若磁场区域圆心向下偏离轴线相当于在磁场区

域圆心上方0〜专之间一组平行粒子进入磁场，由磁聚焦可知，一价正氢离子打

在底片上的位置均在光屏的P点，如图所示

由几何关系可知8=90°

(3)若在离子源中放入质量为左/n、(%+1)"2的一价正离子，的电压波动

范围为。士△C/,求这两种离子在底片上的位置不重叠时，的应满足的条件.

△U1

答案:7<2左+]

解析：在离子源中放入不同的离子，离子打在底片上的位置到。点连线与

轴线成8角，根据题意，设运动半径为「，离子在磁场圆中由径向入射，最终沿

径向打在底片上，由几何关系知

R9

：=tan亍

令加速电场电压波动后为U1,由动能定理有

1

eUi=^Mv9，

。2

在磁场中，由牛顿第二定律有饨3="：

结合上述解得〃=讪a

L7

C/itan?2"

可知，质量M为左根的离子，对应角度

61l~U

tan方='证

同理，当质量〃为（左+1）机的离子，对应角度

02IU

tan2-（k+l）Ui

其中U—AUWUiWU+AU

若要这两种离子在底片上的位置不重叠，

则需要满足、/k（U+△（左+D（U—AS

解得―--

用牛1守U2k+1

配套精练

一、选择题

1.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为。和3a的同轴圆柱

面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一速率为。的电子从圆心

沿半径方向进入磁场.已知电子质量为加，电荷量为e,忽略重力.为使该电子

的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（C）

3mvmv

A.2-aeB.a—e

3mv3mv

4ae5ae

解析：磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做

圆周运动的半径为「，由几何关系得。2+，=（3。一厂）2,根据牛顿第二定律和圆周

运动知识得见8="&，联立解得故选C.

2.（2024•如皋高三期中质量调研）在xOy平面的的区域内存在垂直

纸面向里的匀强磁场，速率相等的大量电子从原点。均匀发射到第一象限内，

从磁场右边界射出的电子数占电子总数的三分之二，不计电子间相互作用，则电

子在磁场中的临界轨迹可能正确的是（D）

解析：根据洛伦兹力提供向心力可得Bqv=m：,可知速率相等的大量电子

的运动半径也相等，可知从原点。均匀发射到第一象限内，从磁场右边界射出

的电子数占电子总数的三分之二，可得从磁场右边界射出的电子的发射角度范围

2

有90°X-=60°,则根据电子的偏转轨迹和几何关系，可得能从右边界射出的

电子的发射方向与x轴正方向夹角在卜号，故选D.

3.（2023-金陵中学）如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁

感应强度为B,方向垂直于圆平面向里（未画出）.一群比荷为看的负离子以相同速

率加”,,由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中，发生偏转后又飞出磁

场，则下列说法中正确的是（D

A.各离子飞出磁场的速度一定相同

B.沿PQ方向射入的离子运动的轨道半径最长

C.沿尸。方向射入的离子飞出时偏转角最大

D.在。点飞出的离子在磁场中运动的时间最长

解析：各离子飞出磁场的速度大小相等，但方向不同，故A错误；根据洛伦

兹力提供向心力可得qv0B=my,解得厂=才.由于所有离子的比荷相同，速度

大小相等，则所有离子在磁场中运动的轨道半径相等，故B错误；由于所有离子

在磁场中运动的轨道半径相等，则所有离子中，从。点飞出的离子对应的运动

轨迹弦长最大，对应的轨迹圆心角最大，即离子飞出时偏转角最大；根据，=而

89TI7770777

T=—■可知在Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长，故C

乙ILtyC1JD

错误，D正确.

4.如图所示，边长为L的正三角形aOc区域内存在方向垂直纸面向外的匀

强磁场，同种粒子每次都从。点沿与湖边成30°的方向垂直射入磁场，初速度

大小为v时，粒子从ac边距a点处射出磁场.不计粒子的重力，则粒子

(B)

A.一定带负电

2

B.初速度为2。时，出射位置距。点宠

C.初速度为2。时，在磁场中运动的时间变短

D.射入磁场的速度足够大，能从根边的中点射出

解析：由左手定则可知，粒子带正电，故A错误；由题意可知，初速度大小

为。时，粒子从ac边距。点上处射出磁场，则粒子运动的半径为厂=3，当初

速度为2。时，则由片哀，可知粒子的运动半径变为原来的2倍，即/=W，

qtyJ

因粒子入射方向不变，由图可知出射位置距。点|"故B正确；由图可知，无论

粒子的速度是。还是2。时，粒子在磁场中的偏转角均为60°,根据/=方。

粒子在磁场中的运动时间不变，故C错误；因be边的中点在粒子的入射方向上，

则粒子不可能从左边的中点射出，故D错误.

5.如图所示，直角三角形A3C区域内有磁感应强度大小为3,方向垂直纸

面向外的匀强磁场，置于A点的粒子源能沿AC方向向磁场内同时发射比荷相同

但速率不同的带正电粒子.已知刚好从B点射出磁场的粒子在磁场中的运动时

间为ZCAB=30°,AB=L,不计粒子间的相互作用及重力，下列说法中错误

的是（D）

A.粒子的比荷为白

3DI

B.从A3边不同位置射出磁场的粒子，运动时间相同

C.从A5边中点射出磁场的粒子的速率为岩

D.从3C边射出的粒子（不含3点），在磁场中的运动时间将大于/

解析：刚好从3点射出磁场的粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关

系可得，轨迹所对圆心角为60°,所用时间为《所以有T-爷,贝味*,

故A正确；画出不同粒子在磁场中的运动轨迹，由几何关系可得，从A3边不同

位置射出磁场的粒子运动的圆心角相同，所以从A3边不同位置射出磁场的粒子

在磁场中运动时间相同，故B正确；由几何关系可得，从A3边中点射出磁场的

粒子的轨迹半径7岩，根据片黑2=卷解得。=岩，故C正确；如果3c

边右侧存在同样的磁场，粒子从BC边射出后运动到AB边延长线上时轨迹所对

圆心角为60°,所用时间为/,所以从3c边射出的粒子运动时间小于。故D

错误.

6.（2023•盐城三模）如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子

流，粒子的质量为m,电荷量为+q,速率为不考虑粒子的重力及相互作用.要

使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧线框内设计一匀强磁场区域，设Bo

=等.选项A、B、C中的曲线均为半径是L的四分之一圆弧，其中A、B的磁

qL

感应强度3=瓦，C的磁感应强度3=2为；选项D中曲线是直径为L的圆，磁

感应强度3=瓦.则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可能是（A）

带电粒子流L

解析：若磁感应强度3=氏=等，由洛伦兹力提供向心力得敢。3="渭，解

qLIA

得粒子的轨道半径为「A=L,画出粒子在A、B、D中的运动轨迹如下:

可知只有A中粒子都会聚到一点，故A正确，B、D错误；若磁感应强度3

=2%=2才，由洛伦兹力提供向心力得qvoB=?*,解得粒子的轨道半径为rc

=f,轨迹如下图所示，可知粒子不会聚到一点，故C错误.

7.（2024•盐城中学）如图所示，在直角坐标xOy平面内，有一半径为R的

圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为3,方向垂直于纸面向里，边界与X、

y轴分别相切于6两点，ac为直径.一质量为啊电荷量为q的带电粒子从

b点以某一初速度oo（oo大小未知）沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂

直于x轴离开磁场，不计粒子重力.下列说法中错误的是（D）

B.该粒子从。点运动到a点的时间为诉

C.以坐oo从6点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远

点恰为a点

D.以啦oo从6点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最

长时间是薄

解析：粒子从匕点以某一初速度沿平行于X轴正方向进入磁场区域，从。

点垂直于x轴离开磁场，如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力可得qvoB=m—,

由几何关系可得r=R，联立解得oo=誓，该粒子从6点运动到。点的时间为/

90°12nmnm、/5

故A、B正确；以粮。从°点沿各个方向垂直进入

JoU4quzqbz

m■方T70rz

磁场，粒子在磁场中的半径为n==券&该种粒子从边界出射的最远

点与入射点的距离为粒子轨迹圆的直径，如图乙所示，由几何关系可知乙〃=霹

R=2n,可知该种粒子从边界出射的最远点恰为。点，故C正确；以6。0从6点

沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为一,廿=5,当该粒

子在磁场中运动轨迹对应的弦长最大时，轨迹对应的圆心角最大，粒子在磁场中

运动的时间最长，如图丙所示，由几何关系可知，最大圆心角为90°,则最长时

间为Zmax=360^r=4'故口错误•

丙

二、非选择题

8.（2024-南通期中）真空区域有宽度为d、磁感应强度为3的匀强磁场，磁

场方向如图所示，AC,DE是磁场的边界.S是位于AC边界上的一个粒子源,

可以发出质量为加、电荷量为q的同种带电粒子.某一粒子以速率。沿与AC成

8=37°角的方向射入磁场，恰能垂直DE边界射出磁场，不计粒子的重力.（取

sin37°=0.6,cos37°=0.8)

AdD

;xx

[XX；

I*I:

!xx；

C'B'E

(1)求粒子射入磁场的速率。.

宏去5Bqd

口木：4m

解析：粒子恰能垂直DE边界射出磁场，所以速度偏转角为53°,设粒子圆

周运动的半径为R,由几何关系有声二^^］二孝

V2

洛伦兹力提供向心力有Bqv=rrr^

4m5Bqd

俗4m

7)

(2)若粒子均以］的速率沿纸面不同方向射入磁场，仅考虑能从DE边界射出

磁场的粒子.求：

①粒子在磁场中运动的最短时间/min.

②粒子从DE边界射出范围的长度I.

…小53nm_

合木：①90Bq②“

7)

解析：①若粒子均以1的速率沿纸面不同方向射入磁场，即圆周运动半径为

2R~8

当粒子在磁场中的弦长为d时,对应运动的时间最短，设此时圆心角为2a,

有

E

3

2一4

-

a-1一-5

8

所以a=53

9nn?