2025届高中数学一轮复习专练：解三角形

解三角形

一、选择题

1.在△ABC中，A=60。，AB=1，AC=2，则△ABC的面积=（）

A.-B3C.gD.2G

22

2.桂林日月塔又称金塔银塔、情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有

金银塔之称.如图1,这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，

在塔底。的同一水平面上的A,3两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的

仰角为60。，在5处测得塔顶尸的仰角为45。，AB=25米，NAOfi=30。，则该塔的高

度OP=（）

图1

A.25五米B.25百米C.50米D.25«米

3.已知△ABC中,AB=2，CA=QC3,则△ABC面积的最大值为（）

A.2B.4C.V3D.2g

4.在四棱锥P—ABCD中,棱长为2的侧棱PD垂直底面边长为2的正方形ABCD,M为

棱PD的中点，过直线的平面a分别与侧棱出、PC相交于点E、£当尸时,

截面ME3R的面积为（）

A.2B.3C.373D.20

5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且等，则

△ABC的形状为（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形

6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=6,A=~,则△ABC外接

3

圆的面积为（）

A.4兀B.12TIC.16兀D.48TI

7.一电线杆°位于某人的正东方向上，某人在点A测得电线杆顶端C的仰角为

45。，此人往电线杆方向走了10米到达点3,测得电线杆顶端C的仰角为60。，则电

线杆。的高度约为（）米（百。1.732，忽路人的身高）

A.23.66B.24.66C.25.66D.26.66

8.在△ABC中，内角A,3,C的对边分别为a,瓦c,已知a=32=l，cosC=-L则边c上的

3

高为（）

逅逅

A.B.c.BD.同

2323

二、多项选择题

9.在△ABC中，已知。=6/=3e，8=30。，则角4的值可能为（）

A.45。B.60°C.135°D.150°

10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若。=屈，b=3,A=-,

3

则（）

A.c=4B.ZV1BC的周长为7+9

C.sinC=2\叵D.ZV1BC外接圆的面积为西

133

11.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的有（）

A.若竺=^^,则△回（7一定是等边三角形

cosAcosBcosC

B.若QCOSA=Z?cos5,则ZxABC一定是等腰三角形

C.若bcosC+ccos^"/?,则△ABC一定是等腰三角形

D.若则AA5c一定是钝角三角形

三、填空题

12.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,。.若乃85。=。+2。855，

b=42c»则cosC=--------

13.在△AB。中，若a=2，Z?+c=7,cosB=—L,则Z?=

4

14.“若点尸为椭圆上的一点，片，工为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分

22

的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆0：a+(=1，点尸是椭圆上的点，

在点P处的切线为直线/,过左焦点写作/的垂线，垂足为M设点般的轨迹为曲线E若Q

是曲线E上一点，已知点A(4,0),3(5,4)，则^\AQ\+\BQ\的最小值为

四、解答题

15.已知△ABC中,角A3,C所对的边分别为风瓦。，其中GasinBcosA=6sin2A.

⑴求A的值；

(2)若△ABC的面积为6，周长为6,求△ABC的外接圆面积.

16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=acosB+O/?.

5

(1)求cosA的值；

(2)当BC与BC边上的中线长均为2时，求△ABC的周长；

(3)当△ABC内切圆半径为1时，求△ABC面积的最小值.

17.在△ABC中,cos2A=—L，。=7，0=8且/。为锐角・求：

2

⑴求NA的大小；

(2)求△ABC的面积.

18.某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选

择了同一条直线上的A,3,C三点，其中AC=40m,点3为AC中点,兴趣小组组长小王在

A,B,C三点上方5m处的A[,B]，G观察已建建筑物最高点E的仰角分别为a,，，7,

其中tana=1，tan/?=2,tanr=3,点D为点E在地面上的正投影，点D1为DE上与

A，B],a位于同一高度的点.

E

(1)求建造中的建筑物已经到达的高度。石；

(2)求sin圈的值.

sin

19.在△ABC中，内角48,。的对边分别为〃，瓦G已知(cosA-2cosc)Z?=(2C-Q)COS5.

⑴求包£的值；

sinA

(2)若cosB=j2=2,求AABC的面积.

4

参考答案

1.答案：B

解析：S.=-AB-AC-sinA=—•

△A/IBDCC22

本题选择B选项.

2.答案：B

解析：由题意可知，NQ4P=60。，NO6P=45。，

设=米，则

OP

在RtAAQP中，OA=

tanZOAP

OP

在中，OB=米

tanZOBP2

由余弦定理可得Ag2=042+05?一20A-OBcosZAQB，即

腔与=%，解得八国历

因为AB=25米，所以〃=256米.

故选：B.

3.答案：C

解析：设CB=x，则CA=GX，

由余弦定理得:COSB=财+802—82=4+1—3/=2-x^,

2AB-BC2x2%2x

所以sinB=["^f=巨透三2，

'I2xJ2x

所以sJ_43.5CSinA=L2x.—+"—4=j_『4十/一4，

MC222x2

所以当f=_A=4时，即％=2吐△ABC的面积最大,最大为73，

故选:C

4.答案：D

解析：由题意,PD,平面ABC。，四边形ABC。为正方形,

如图,建立空间直角坐标系。-孙z,

则C（0,2,0）,P（0,0,2）,A（2,0,0）,M（0,0,1）,B（2,2,0）,=（2,0,-2）,=（-2,-2,1）,

设屋=f丽=（2f,0,-2f），0WMl,则E（2f,0,2—2f）,

又73后=五产，%=「。，所以而=/无=（0,2/,-2。,则歹（0,21,2—2。，

由题意,四点共面,所以丽=x而+y而，

-2=（2/-2）x-2y

所以<_2=_2x+（2%—2）y，解得％=y=』/=2,

1=（2-2。％+（2-2。y4,

所以唱。，»（。，*|），所以砺=—，-2，£|，昉=[2,一,）,

28

所以cos瓯丽叁_77

cosZEBF二一,

।44I”441111

4H----1—4H----1—

9999

所以sinZEBF=Vl-cos2ZEBF=

11

所以SEBF^-BExBFxsinZEBF—=

“EBF229113

又该*'°'T标=lMT'

MEMF1

所以cos砺，而=

吆+。+l」。+“17

9999

即cosZEMF=—

17

所以sinZEMF=《—cos?NEMF=空叵

17

所以皿“xsin/EM/f*萼=半

所以截面MEBF的面积为s=S.EBF+S»F=逑+迪=20・

1

△乜titZXtLlVLr33

故选:D

5.答案：A

cosA+l1b

解析：由已知可得以以4=出,----------=—I,

22c2---22c

即cosA=—Z?=ccosA-

法一：由余弦定理得cosA=_+,则b=c.>+02一片

2bc2bc

所以c2=a2+b2,由此知△ABC为直角三角形.

法二：由正弦定理得：sinB=sinCeosA-

在△ABC中，sinB=sin(A+C),

从而有sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA，

即sinAcosC=0•在△ABC中，sinAH0，所以cosC=0-

由此得C=巴，故△ABC为直角三角形.

2

故选：A.

6.答案：B

解析：设△ABC外接圆的半径为R,则2R=—匕=二=46，解得R=26,

sinAV3

~2

所以△ABC外接圆的面积为1271.

故选：B.

7.答案：A

解析：根据题意设CD=x，则在RtZXACD中，A=45°»

所以AD=CD=X，

在RtABC。中，NCBD=60°，

所以BD=O-力CD力x，

tan60033

因为AB=10，所以彳_走》=10，

3

所以X=5（3+G）《23.66米，即电线杆CD的高度约为23.66米.

故选：A-

8.答案：B

解析：由余弦定理可知c?=〃+/—2a6cosC=32+12—2x3xlx[—；1=12,即0=26，

又cosC=-g,Ce（0,7i）,

则5心坦

3

所以△ABC的面积5ABC--absmC=—x3xlx=^2>

A△ABC223

又△ABC面积S^BC=^c•肌即四=4x2®,

Z-X/id

解得h=理,

3

故选:B.

9.答案：AC

解析：由正弦定理得q=上,得.4asinB6x|五,

sinA

sinAsinB=—=^=T

因为0°<A<180°，且a>b，所以A=45°或A=135°・

故选：AC.

10.答案：ABD

解析：由片=/+02—2bccosA=9+c2—2x3ccos—=13,得c?—3c—4=0,解得c=4或

3

c=-l（舍去），所以△ABC的周长为7+Jli,A正确，B正确.

因为±=上，所以巫=」，解得sinC=其支，C错误.

sinAsinCsin工sinC13

3

设△ABC外接圆的半径为凡因为近=2R,所以R=芈，ZVIBC外接圆的面积

sin71石

3

为兀火2=变，D正确.

3

11.答案：ACD

及刀］匚“-TA廿。bcsinAsin5sinC

解析：对于A,右----=-----=-----,则1TH-----=-----=-----,即nn

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

tanA=tanB=tanC,即A=5=C,即ABC是等边三角形，故正确；

对于B,若acosA=Z?cos5,则由正弦定理得2代111748571=2751115805,即

sin2A=sin25,贝!J2A=25或2A+25=180。，即A=5或A+5=90。，则A5C为等腰

三角形或直角三角形，故错误；

对于C,若Z?cosC+ccos_B二6，所以sin5cosc+sinCeos5=sin5,所以

sin(B+C)=sinA=sinB,即A=5,则A5C是等腰三角形，故正确；

对于D,ABC中,•.•a2+b2<c2,又/=/+加-2aZ?cosC,所以cosC<0,.,.角。为

钝角，但A3C一定是钝角三角形，故正确；故选：ACD.

12.答案：-/0.75

4

解析：由正弦定理可得2sin5cosc=sinA+2sinCcos5，

故2sinJBCOSC=sin(5+C)+2sinCCOSB,

故2sinJBCOSC=sinBcosC+cosBsinC+2sinCeosB，

整理得到sinBcosC=3cosBsinC,

而b二瓶c，故sinBuV5sinO所以&cosC=3cos5，

故2sin?C+—cos2C=1,解得cosC=-或cosC=——，

944

若cosC=-2,则COSJBVO,故民C同为钝角,这与0vJB+CVTI矛盾,

4

a

故cosC=—•

4

故答案为：2.

4

13.答案：4

解析：在△ABC中,利用余弦定理=

lac

—j_=4+(c+Z0(c—b)=4+7(c—加,化简得：&1_7〃+4=0,与题目条件1+c=7联立，可解

44c4c

得a=2,Z?=4,c=3•

14.答案：5

22

解析：由椭圆C方程土+2L=1，知a=2后.

84

X

6。y

如图,延长耳M、gP交于点N,由题意可知=NNPM,

又因为PM,£N,则〃为耳N的中点，且|P周=|尸N],

所以，优N|=|PN|+归阊=|P£|+|P阊=2a=4应，

又因为。为耳耳的中点，则|oM=gWN|=；x40=20.

故点M的轨迹E为以。为原点,2夜为半径的圆，圆的方程为好+丁=8.

设在x轴上存在定点T(gO)，使得圆上任意一点。《月,满足出外=*依山，

由A(4,0)，则"叫$=今&_牙+丁,

化简得了2+/-4(m-2)x+2(m2-8)=0,

又,:x2+y2=S，代入得4(加一2)%—2根2+8=0,

要使等式恒成立，则[机-2：°，即机=2.

8-2疗=0

二存在定点T(2,0),使圆上任意一点。满足出升=3出司，

则4+忸@=却2忸邪当Q,B,T三点共线（民T位于。两侧）时，等号成立.

由T（5,4），则\BT\=J（5-2）2+（4_0『=5，

所以4恒@+忸@之5,当。，昆T三点共线（氏T位于。两侧）时等号成立.

如图，连接3T，线段3T与圆。的交点即为取最值时的点。，此时取到最小值5.

故答案为：5.

15.答案:⑴A=f；

⑵加

3

解析：（1）由正弦定理得y/3sinAsinBcosA=sinBsin2A，

因为sinA,sinBw0，故6cosA=sinA，则tanA=百，

因为人£（0,兀），故A=

（2）由题意8AAM=‘AcsinA==石,故历=4.

4ziDc24

2

由余弦定理得“2=/+02_2/?CCOSA=（b+c）2—3bc=（6—a）—12，

解得〃=2.

故△ABC的外接圆半径R=之，

―2sinA，3

故所求外接圆面积S=7lT?2=—.

3

16.答案：（1）cosA=—;

5

⑵2+2寻

(3)3+75

解析：（1）因为c=QCOSB+—匕，

5

3

由正弦定理得sinC=sinA-cosB+—sinB,

5

3

又由sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，得cosAsinB=—sinB•

5

、3

因为sinBw0，所以cosA=—;

29

(2)由余弦定理得"—+C—2Z?CCOSA

BP4=Z?2+c2——be>①

5

设5c的中点为。，贝S而=通+初，

则4而2=(AB+AC)2=AB2+AC2+2ABAC，

则16=〃+，，②

5

由①+②得〃+/=10，

b2+c2=10

联乂<226，解得b+c=2布，

4=b2+c2--bc

I5

所以〃+b+c=2+2有，即△ABC的周长为2+2石;

(3)由(1)得sinA=—,

5

由/XABC内切圆半径为1，得g(a+b+c)xl=；bcsinA,即a+b+c=[bc，

2

由余弦定理得"=62+。2所以《Z?c—e+c)=/+(:2-

得b+c=gbc+2，因为6+cN,所以gbc+2»2A/^，

解得/7c>I",百或°<,c<15-5君,

22

又因为△ABC的面积大于其内切圆面积，即|■^〉兀，

得儿〉生〉15-56,所以历［5+5

222

当且仅当6=C=时，△ABC的面积取到最小值3+若•

17.答案：⑴N

3

（2）106

解析：⑴因为a<c,所以NAe1，。所以Z2Ae（0㈤，由cos2A=—；<0得

所以N2A=0,NA/，

33

7_8厂

（2）由正弦定理q=工，得「？=寂，所以sinC=仝@,

sinAsinCsin—7

因为NC为锐角，所以cosC=Jl—sin2c=

7

所以Z\ABC存在且唯一确定.

因为4+5+。=兀，

所以sinB=sin（A+C）=sin]C+—=—sinC+cosC=-xx—=

''\3）22272714

从而S人ABC=Lacsin3=Lx7x8x处=106・

△ABC2214

18.答案：（1）5+12°日

11

⑵-

3

解析：（1）如图，设EQ=丸,因为在A1,B「G处观察已建建筑物最高点E的仰角分别为

a,0,y，且tana=1,tan/7=2,tan/=3,

所以AA=〃,与2=g,CQ=g,又AG=40，耳是A©的中点,

400+--—h2

在△4与2中，由余弦定理得到cos/ABQ=-----^—―

2x20x0

2

h~h"

400H------

在△C[5]2中，由余弦定理得到cosNC/Qi=