2025年高考数学二轮复习 专题三 数列 第1讲　等差数列、等比数列原卷版

第1讲等差数列、等比数列（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】等差数列、等比数列的基本运算 3【考点二】等差数列、等比数列的性质 4【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明 6【专题精练】 7考情分析：1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列an的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2024·全国·高考真题）记为等差数列an的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．155．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．6．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．408．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．二、填空题9．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则.10．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则.考点突破考点突破【考点一】等差数列、等比数列的基本运算核心梳理：等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.(3)等差数列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(4)等比数列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))一、单选题1．（2024·湖南长沙·一模）古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（

）A．413 B．427 C．308 D．1332．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题3．（22-23高二下·河南信阳·阶段练习）等差数列的前项和记为，若，则成立的是（

）A．B．的最大值是C．D．当时，最大值为4．（23-24高三上·河南·期末）设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（

）A． B．的公比为2 C． D．三、填空题5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则.6．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则.规律方法：等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．【考点二】等差数列、等比数列的性质核心梳理：1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)．(2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an.一、单选题1．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列的前项和为，且，，则（

）A．9 B．16 C．21 D．252．（2024·湖北武汉·模拟预测）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，2，3…，为使得，则的最大值为（

）A．31 B．32 C．63 D．64二、多选题3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（

）A．B．是数列的公比C．数列可能为等比数列D．数列不可能为常数列4．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列an的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．当最大B．使得成立的最小自然数C．D．中最小项为三、填空题5．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则.6．（23-24高三上·福建莆田·期中）在等差数列中，为前项和，，则.规律方法：等差数列、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明核心梳理：等差数列等比数列定义法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通项法an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1中项法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n项和法Sn＝an2＋bn(a，b为常数)Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．一、解答题1．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．2．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足:.(1)证明:是等比数列;(2)求数列的前项和.3．（2023·河南·模拟预测）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式；(3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.4．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．5．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．(1)求证：数列为等差数列；(2)若数列满足，且，求数列的前项和．6．（23-24高三上·山西太原·期末）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为，（i）证明：为等比数列；（ii）证明：当时，.规律方法：(1)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列．(3)证明{an}不是等比数列可用特值法．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·广东佛山·二模）设数列an的前项之积为，满足（），则（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·三模）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）记为等差数列的前项和，若，则（

）A．20 B．16 C．14 D．124．（2023·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024·江苏南通·二模）若，，成等比数列，则（）A． B． C． D．6．（2024·广东广州·一模）记为等比数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．7．（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（

）A．10 B．18 C．36 D．408．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（22-23高二上·甘肃金昌·期中）若为等差数列，，则下列说法正确的是（

）A．B．是数列中的项C．数列单调递减D．数列前7项和最大10．（2023·山东德州·模拟预测）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（

）A．B．当时，的最大值为C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同D．数列前项和为，最大11．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列中，，，若，，则（

）A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值三、填空题12．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则．13．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为.14．（23-24高二上·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，若，则实数．四、解答题15．（2023·四川南充·一模）已知数列an是首项为2的等比数列,且是和的等差中项．(1)求an(2)若数列的公比,设数列bn满足,求bn的前2023项和．16．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知数列a