2025年高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第2讲　圆锥曲线的方程与性质原卷版

第2讲圆锥曲线的方程与性质（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程 3【考点二】椭圆、双曲线的几何性质 5【考点三】抛物线的几何性质及应用 6【专题精练】 7考情分析：高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．2．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（

A．（） B．（）C．（） D．（）3．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．54．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若，则（

）A．直线的斜率为 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．三、填空题10．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．11．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．12．（2022·全国·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．考点突破考点突破【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程核心梳理：1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．一、单选题1．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·山西吕梁·二模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（

）A．6 B．12 C．16 D．18二、多选题3．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（

）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线4．（2024·重庆·三模）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（

）A． B．直线PF1的斜率为C．的周长为 D．的外接圆半径为三、填空题5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）直线与抛物线交于两点，若，则中点到轴距离的最小值是．6．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线为抛物线内一点，不经过点的直线与抛物线相交于两点，连接分别交抛物线于两点，若对任意直线，总存在，使得成立，则该抛物线方程为.规律方法：求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置．【考点二】椭圆、双曲线的几何性质核心梳理：1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．2．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．一、单选题1．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（

）A．7 B．9 C．13 D．152．（2023·安徽蚌埠·三模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（

）A．6 B．或 C． D．或二、多选题3．（2024·浙江·二模）已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且的最大值为8，下列说法正确的是（

）A． B．C．离心率 D．若，则4．（2024·辽宁·模拟预测）已知是等轴双曲线C的方程，P为C上任意一点，，则（

）A．C的离心率为B．C的焦距为2C．平面上存在两个定点A，B，使得D．的最小值为三、填空题5．（2024·湖北·二模）已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则；当取最小值时，的面积为．6．（2024·广东深圳·二模）已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为；的取值范围为．规律方法：(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．【考点三】抛物线的几何性质及应用核心梳理：抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.一、单选题1．（22-23高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（

）A． B．64 C． D．802．（23-24高三上·山东青岛·开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标是B．抛物线关于轴对称C．抛物线的准线方程为D．抛物线的焦点到准线的距离为44．（2024·河北·二模）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（

）A． B．C． D．直线与抛物线的准线相交于点三、填空题5．（2024·河南郑州·二模）抛物线的准线方程为，则实数a的值为.6．（2024·河南·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则.规律方法：利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．专题精练专题精练一、单选题1．（2023·江苏南通·三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（

）A．5 B．6 C． D．2．（23-24高三上·全国·开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024·辽宁·三模）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（

）A．0 B．2 C．4 D．64．（2024·辽宁抚顺·三模）过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于两点．若，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（

）A．3 B．12 C．15 D．3或156．（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．7．（2024·江苏南通·二模）设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（）A． B． C． D．8．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9二、多选题9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（

）A．的周长为4B．PF1C．PQ的最小值是3D．若点在椭圆上，且线段中点为，则直线的斜率为10．（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（

）A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为C．点是它的一个焦点 D．11．（2024·全国·二模）已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（

）A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为三、填空题12．（23-24高三下·上海·阶段练习）若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数m=13．（2024·江苏南京·模拟预测）已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为．14．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为.四、解答题15．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）已知椭圆经过点，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积