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第三篇立体几何专题02垂直问题的证明常见考点考点一线面垂直的判定典例1.如图,在正方体中,E,F分别是棱,的中点,求证:平面EAB.变式1-1.如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,且,判断直线AC与平面PBD是否垂直,并说明理由.变式1-2.如图,在中,M为边BC的中点,沿AM将折起,使点B在平面ACM外.在什么条件下直线AM垂直于平面BMC?变式1-3.如图,在三棱柱中,为正三角形,,,为的中点,证明:平面考点二面面垂直的判定典例2.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形,,平面,且,分别为,的中点,点为棱PC上一动点,证明:平面平面变式2-1.如图,正三棱柱中,,,,分别是棱,的中点,在侧棱上,且,求证:平面平面;变式2-2.如图所示,在四棱锥中,底面是矩形,侧面底面,求证:平面平面.变式2-3.已知是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上任一点.求证:平面⊥平面.考点三线面垂直的性质典例3.如图,已知平面,D为的中点,求证:.变式3-1.如图所示,是边长为的正六边形所在平面外一点,,在平面内的射影为的中点.证明.变式3-2.如图,在三棱锥P-ABC中,,垂足为D,底面ABC,垂足为O,且O在CD上,求证:.变式3-3.如图,在空间四边形PABC中,,,.求证:考点四面面垂直的性质典例4.在三棱锥中,分别为的中点,且.(1)证明:平面;(2)若平面平面,证明:.变式4-1.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA=PD,底面ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,E是AD的中点.(1)求证:AD∥平面PBC;(2)求证:AB⊥平面PAD变式4-1.如图所示,所在的平面与长方形所在的平面垂直.(1)求证:平面;(2)求证:.变式4-2.如图,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是的菱形,,平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.求证:(1)平面PAD;(2).巩固练习练习一线面垂直的判定1.如图,在四棱锥P–ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,ADBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且,求证:CD⊥平面PAD.2.如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,,点E为棱PD的中点.(1)求证:平面PAB;(2)求证:平面PAB.3.如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面.(1)求证:平面;(2)求证:平面.4.如图,矩形与梯形所在的平面互相垂直,,,,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面.练习二面面垂直的判定5.如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.(1)求证:面;(2)求证:平面平面.6.四棱锥P—ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.(1)求证:EF∥面PAD;(2)求证:面PDC⊥面PAB;7.如图,在四棱柱中,平面底面,且.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.8.如图所示,在四棱锥中,,,面面.求证:(1)平面;(2)平面平面.练习三线面垂直的性质9.P为正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥面ABCD,AE⊥PB,求证:AE⊥PC.10.如图,已知在正方体中,E为的中点.求证:.11.如图,在三棱锥中,,.求证:.12.如图,正方体中,求证.练习四面面垂直的性质13.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,且AD∥BC,AB⊥BC,BC=2AD,已知平面PAB⊥平面ABCD,E,F分别为BC,PC的中点.求证:(1)AB平面DEF;(2)BC⊥平面DEF.14.如图,矩形所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,是半圆弧上异于,的点.(1)证明:直线平面;(2)在线段上是否存在点,使得平面?说明理由.15.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:(
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