北师大版 数学 八年级下册 各单元测试卷及答案

单元测试（一）

一、选择题

1.如图，一副分别含有30。和45。角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中N

C=90°,ZB=45°,ZE=30°,则NBFD的度数是（）

2.如图，将三角形AABC绕着点C顺时针旋转35。，得到△ABC,AB交AC于

A.35°B,65°C.55°D,25°

3.如图：^ABC中，NC=90。，AC=BC,AD平分NCAB交BC于D,DE_LAB于E,

且AB=6cm,则4DEB的周长是（）

A.6cmB.4cmC.10cmD.以上都不对

4.已知：如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZA<ZB,CM是斜边AB上的中

线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点Ai处，CAi与AB交于点N,且AN=AC,

则NA的度数是（）

A

A

cR

A.30°B.36°C.50°D,60°

5.如图，在AABC中，ZC=60°,ZB=50°,D是BC上一点，DE_LAB于点E,DF

A.90°B.100℃.110°D.120°

6.如图，在AABC中，ZACB=90°,CD是AB边上的高线，图中与NA互余的角

有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.如图，在aABC中，NC=90。，点E是AC上的点，且N1=N2,DE垂直平分

AB,垂足是D,如果EC=3cm,则AE等于（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.9cm

8.在直角AABC中，ZC=30°,斜边AC的长为5cm,则AB的长为()

A.4cmB.3cmC.2.5cmD.2cm

9.如果直角三角形中30。角所对的直角边是1cm,那么另一条直角边长是（）

A.lcmB.2cmC.D.3cm

10.10（1分）（2014春•九龙坡区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于这腰的

一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

11.如图，BE、CF分别是aABC的高，M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM

12.如图，Z\ABC中，AD为aABC的角平分线，BE为aABC的高，ZC=70°,Z

ABC=48°,那么N3是（）

13.在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=2,则AB?+BC2+CA2的值为（）

A.2B.4C.8D.16

14.如图,在三角形纸片ABC中，AC=6,ZA=30°,ZC=90°,将NA沿DE折叠,

使点A与点B重合，则折痕DE的长为（）

15.如图，在RtaABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有

（)

B

D

A.AD与BDB.BD与BCC.AD与BCD.AD、BD与BC

16.如图，4ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分NBAC交BC于点D,点E为

AC的中点，连接DE,则ACDE的周长为()

A.20B.12C.14D.13

17.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AB=5cm,D为AB的中点，贝UCD等于()

二、填空题

18.如图，AABC中，ZC=90°,ZABC=60°,BD平分NABC,若AD=6,则CD=

B

20.如图，在4ABC中，ZC=90\ZABC=60°,BD平分NABC,若AD=6,则AC=.

.J

21.如图：4人8(2中，ZACB=90°,CD是高，ZA=30°,BD=3cm,贝ljAD=cm.

22.如图，^ABC是等腰直角三角形，AB=BC,已知点A的坐标为（-2,0）,

23.如图，在aABC中，ZC=90°,ZB=30°,AD平分NCAB,交BC于点D,若

CD=1,贝I」BD=.

24.已知等腰4ABC中，AD.LBC于点D,且AD二工BC,则4ABC底角的度数

2

为.

25.若直角三角形两直角边的比为3：4,斜边长为20,则此直角三角形的面积

为.

三、解答题

26.如图，在aABC中，ZB=2ZC,且AD_LBC于D,求证：CD=AB+BD,

27.如图，已知在△ABC中，ZACB=90°,CD为高，且CD,CE三等分NACB,

(1)求NB的度数；

(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE=LAB,

28.如图，AD/7BC,BD平分/ABC,ZA=120°,ZC=60°,AB=CD=4cm,求:

⑴AD的长；

⑵四边形ABCD的周长.

29.已知锐角△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，M是线段BC的中点,

连接DM,EM.

(1)若DE=3,BC=8,求aDME的周长；

(2)若NA=60°,求证：ZDME=60°：

(3)若BC2=2DE2,求NA的度数.

答案与解析

1.如图，一副分别含有30。和45。角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中N

C=90°,ZB=45°,ZE=30°,则NBFD的度数是（）

30°D.10°

【考点】K8：三角形的外角性质.

【专题】选择题

【分析】先由三角形外角的性质求出NBDF的度数，根据三角形内角和定理即可

得出结论.

【解答】解：・・・RtZ\CDE中，ZC=90°,ZE=30°,

・・・ZBDF=ZC+ZE=90°+30°=120°,

•••△BDF中，ZB=45°,ZBDF=120°,

/.ZBFD=180°-45°-120°=15\

故选A.

【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的

两个内角的和是解答此题的关键.

2.如图，将三角形4ABC绕着点C顺时针旋转35。，得到△ABC,AB交AC于

点D,若NA，DC=90。，则NA的度数是（）

A.35°B.65°C.55°D.25°

【考点】R2：旋转的性质.

【专题】选择题

【分析】根据旋转的性质，可得知NACA，=35。，从而求得NA，的度数，又因为N

A的对应角是NA，，则NA度数可求.

【解答】解：'•△ABC绕着点C时针旋转35。，得到△AB9

・・・NACA，=35°,ZA'DC=90°

・..NA'=55°,

・・・NA的对应角是NAT即NA=NA\

JZA=55°.

故选C.

【点评】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一

点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动,其中对应点到旋转中心的距

离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变.解题的关键是正确确定对应角.

3.如图：Z^ABC中，ZC=90%AC=BC,AD平分NCAB交BC于D,DE_LAB于E,

且AB=6cm,则ADEB的周长是（）

A.6cmB.4cmC.10cmD.以上都不对

【考点】KF：角平分线的性质；KW：等腰直角三角形.

【专题】选择题

【分析】由NC=90。，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分NCAB交BC

于D,DE1AB,利用角平分线定理得到DC=DE,再利用HL证明三角形ACD与三

角形AED全等,根据全等三角形的对应边相等可得AOAE,又AC二BC,可得BC=AE,

然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC,由

CD+DB=BC进行变形，再将BC换为AE,由AE+EB=AB,可得出三角形BDE的周

长等于AB的长，由AB的长可得出周长.

【解答】解：・・・NC=90°,/.DC1AC,

又AD平分NCAB交BC于D,DE1AB,

ACD=ED,

在RtAACD和RtAAED中，

[DC=DE,

lAD=AD，

ARtAACD^RtAAED（HL）,

?.AC=AE,又AC=BC,

AAC=AE=BC,又AB=6cm,

.".△DEB的周长:DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm.

故选A.

【点评】此题考查了角平分线定理，垂直的定义，直角三角形证明全等的方法-

HL,利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握角平分线定理是解本题的关键.

4.已知：如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,NAVNB,CM是斜边AB上的中

线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点Ai处，CAi与AB交于点N,且AN=AC,

则NA的度数是（）

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）.

【专题】选择题

【分析】首先证明NACN=NANC=2NACM,然后证明NA=NACM即可解决问题.

【解答】解：由题意知：

ZACM=ZNCM；

XVAN=AC,

/.ZACN=ZANC=2ZACM：

VCM是直角4ABC的斜边AB上的中线，

/.CM=AM,

AZA=ZACM；

由三角形的内角和定理知:

ZA+2ZA+2ZA=180°,

/.ZA=36°,

【点评】该命题考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性

质找出图形中隐含的等量关系；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答.

5.如图，在^ABC中，ZC=60°,ZB=50°,D是BC上一点，DEJ_AB于■点E,DF

J_AC于点F,则NEDF的度数为（）

【考点】KN：直角三角形的性质.

【专题】选择题

【分析】由三角形内角和定理求得NA=70。；由垂直的定义得到NAED=NAFD=90。；

然后根据四边形内角和是360度进行求解.

【解答】解:如图，•・・在4ABC中,ZC=60°,ZB=50°,

:.ZA=70°.

•・・DEJ_AB于点E,DF_LAC于点F,

/.ZAED=ZAFD=90°,

AZEDF=3600-ZA-ZAED-ZAFD=110°.

故选：C.

【点评】本题考查了直角三角形的性质.注意利用隐含在题中的已知条件：三角

形内角和是180。，四边形的内角和是360。.

6.如图，在AABC中，ZACB=90°,CD是AB边上的高线，图中与NA互余的角

有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【考点】KN：直角三角形的性质.

【专题】选择题

【分析】由"直角三角形的两锐角互余〃，结合题目条件，找出与NA互余的角.

【解答】解：・・・NACB=90。，CD是AB边上的高线，

AZA+ZB=90°,NA+NACD=90。，

・・.与NA互余的角有2个，

故选C.

【点评】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余.

7.如图，在aABC中，NC=90。，点E是AC上的点，且N1=N2,DE垂直平分

AB,垂足是D,如果EC=3cm,则AE等于（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.9cm

【考点】KO：含30度角的直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质.

【专题】选择题

【分析】求出AE二BE,推出NA=N1=N2=30°,求出DE=CE=3cm,根据含30度角

的直角三角形性质求出即可.

【解答】解：・.・DE垂直平分AB,

AAE=BE,

AZ2=ZA,

VZ1=Z2,

ZA=Z1=Z2,

VZC=90°,

/.ZA=Z1=Z2=3O°,

VZ1=Z2,ED1AB,ZC=90°,

ACE=DE=3cm,

在RtZ\ADE中，ZADE=90°,ZA=30°,

/.AE=2DE=6cm,

故选C.

【点评】本题考查了垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质，含30

度角的直角三角形性质的应用，关键是求出NA=30。和得出DE的长.

8.在直角aABC中，ZC=30°,斜边AC的长为5cm,则AB的长为（）

A.4cmB.3cmC.2.5cmD.2cm

【考点】KO：含30度角的直角三角形.

【专题】选择题

【分析】由题意可得，NB是直角，AB=L\C,直接代入即可求得AB的长.

2

【解答】解：'•△ABC为直角三角形，ZC=30°,

.,,AB=1.AC=2.5,

2

故选C.

【点评】此题考查的是直角三角形的性质，30。的直角边所花的直角边等于斜边

的一半.

9.如果直角三角形中30。角所对的直角边是1cm,那么另一条直角边长是（）

A.lcmB.2cmC.立cmD.3cm

【考点】K。：含30度角的直角三角形.

【专题】选择题

【分析】根据勾股定理和直角三角形中30。角所对的直角边是斜边的一半求另一

条直角边长.

【解答】解：•・,直角三角形中30。角所对的直角边是1cm,

・••该直角三角形的斜边是2cm,

.••另一条直角边长是：正-卢加;

故选C.

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形.在直角三角形中，30。角所对的直

角边是斜边的一半.

10.等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于

()

A.30°B.60°C.30。或150。D.60。或120。

【考点】K。：含30度角的直角三角形；KH：等腰三角形的性质.

【专题】选择题

【分析】分为两种情况：①高BD在AABC内时，根据含30度角的直角三角形性

质求出即可；②高CD在AABC外时，求出NDAC,根据平角的定义求出NBAC

即可.

【解答】解：①如图，

・•・ZA=30°,

②如图，

D

A

B

VCD^AABC边BA上的高，DC=1AC,

2

ZDAC=30°,

AZBAC=180°-30°=150°,

综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30。或150。.

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主

要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论.

11.如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点，EF=5,BC=8,则△EFM

的周长是（）

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线.

【专题】选择题

【分析】根据“BE、CF分别是4ABC的高，M为BC的中点”得到FM=EM=1BC,

2

所以△EFM的周长便不难求出.

【解答】解：:BE、CF分别是aABC的高，M为BC的中点，

，在RtABCE中，EM=1BC=4,

2

在RtZXBCF中，FM=1BC=4,

2

/.△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13,

故选C.

【点评】本题利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

12.如图，AABC中，AD为aABC的角平分线，BE为^ABC的高，ZC=70°,Z

ABC=48°,那么N3是（）

D

3

-----------------

A.59°B.60°C.56°D.22°

【考点】K7：三角形内角和定理.

【专题】选择题

【分析】根据高线的定义可得NAEC=90。，然后根据NC=70。，NABC=48。求出N

CAB,再根据角平分线的定义求出N1,然后利用三角形的内角和等于180。列式

计算即可得解.

【解答】解：:BE为AABC的高，

:.ZAEB=90°

VZC=70°,ZABC=48°,

/.ZCAB=62°,

•・,AF是角平分线，

/.zi=lzcAB=3r,

2

在aAEF中，ZEFA=180°-31°-90°=59°.

/.Z3=ZEFA=59°,

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记

概念与定理并准确识图是解题的关键.

13.在RtaABC中,ZC=90°,AB=2,则AB2+BC2+CA2的值为（）

A.2B.4C.8D.16

【考点】KQ：勾股定理.

【专题】选择题

【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直

角边的平方和，根据斜边AB的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子

的后两项结合，将各自的值代入即可求出值.

【解答】解：•「△ABC为直角三角形，AB为斜边，

ACA2+BC2=AB2,

又・.・AB=2,

ACA2+BC2=AB2=4,

贝I」AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8,

故选c.

【点评】此题考查了勾股定理的知识，是一道基本题型，解题关键是熟练掌握勾

股定理，难度一般.

14.如图，在三角形纸片ABC中，AC=6,ZA=30°,ZC=90°,将NA沿DE折叠,

使点A与点B重合，则折痕DE的长为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形.

【专题】选择题

【分析】利用翻折变换及勾股定理的性质.

【解答】解：VZA=30^ZC=90\

.\ZCBD=60o.

♦・•将NA沿DE折叠，使点A与点B重合，

,ZA=ZDBE=ZEBC=30°.

VZEBC=ZDBE,ZBCE=ZBDE=90°,BE=BE,

/.△BCE^ABDE.

.e.CE=DE.

VAC=6,ZA=30°,

/.BC=ACXtan30°=2V3-

VZCBE=30°.

ACE=2.即DE=2,

故选D.

【点评】考查了学生运用翻折变换及勾股定理等来综合解直角三角形的能力.

15.如图，在RtZ^ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有

()

A.AD与BDB.BD与BCC.AD与BCD.AD、BD与BC

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线.

【专题】选择题

【分析】由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半〃，得CD」AB,又因为

2

点D是AB的中点，故得与CD相等的线段.

【解答】解：・・・CD=LAB,点D是AB的中点，

2

，AD二BD」AB,

2

ACD=AD=BD,

故选A.

【点评】本题利用了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半.

16.如图，^ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分NBAC交BC于点D,点E为

AC的中点，连接DE,则ACDE的周长为()

A.20B.12C.14D.13

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KH：等腰三角形的性质.

【专题】选择题

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD±BC,CD=BD,再根据直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=1AC,然后根据三角形的周长公

2

式列式计算即可得解.

【解答】解：VAB=AC,AD平分NBAC,BC=8,

/.AD±BC,CD=BD,BC=4,

2

•・•点E为AC的中点，

ADE=CE=AAC=5,

2

/.△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14,

故选：C.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角

形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

17.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AB=5cm,D为AB的中点，则CD等于()

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线.

【专题】选择题

【分析】本题涉及到的知识点是"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半〃，所

以有CD=L\B,故可直接求得结果.

2

【解答】解：・・,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

CD=-kAB=2.5cm.

2

故选B.

【点评】此题主要是考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半.

18.如图，AABC中，ZC=90°,ZABC=60°,BD平分NABC,若AD=6,贝ljCD=

【考点】KO：含30度角的直角三角形.

【专题】填空题

【分析】由于NC=90。，ZABC=60°,可以得到NA=30。，又由BD平分NABC,可

以推出NCBD=NABD=NA=30。，/.BD=AD=6,再由30。角所对的直角边等于斜边

的一半即可求出结果.

【解答】解：・・・NC=90°,ZABC=60°,

:.ZA=30°,

•.'BD平分NABC,

.•・ZCBD=ZABD=ZA=30°,

ABD=AD=6,

ACD=1BD=6X1=3.

22

故答案为：3.

【点评】本题利用了直角三角形的性质和角的平分线的性质求解.

19.如图，Z^ABC中，ZC=90°,AC-BC=2比，△ABC的面积为7,贝I」AB=.

【考点】KQ：勾股定理.

【专题】填空题

【分析】先根据AC-BC=2的得出(AC-BC)2=8,再根据4ABC的面积等于7

得出AC・BC的值，进而可得出结论.

【解答】解：・・・AC-BC=2亚，

工(AC-BC)2=8①.

VSAABC=1AC«BC=7,

2

・・・AJBC=14②，

把②代入①得，AC2+BC2=36,

AB=^/35=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长

的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

20.如图，SAABC中，ZC=90°,ZABC=60°,BD平分NABC,若AD=6,则AC=.

C

【考点】KO：含30度角的直角三角形.

【专题】填空题

【分析】根据三角形内角和定理和角平分线定义求出NA=NABD=NCBD=30。，求

出AD=BD=6,CD=1BD=3,即可求出答案.

2

【解答】解：,・・在4ABC中,ZC=90°,ZABC=60°,BD平分NABC,

ZA=90°-60°=30°,ZCBD=ZABD=1ZABC=3O°,

2

ZA=ZABD,

AAD=BD=,

VAD=6,

ABD=6,

・・.CD,BD=3,

2

AAC=6+3=9,

故答案为：9.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰

三角形的判定的应用，解此题的关键是求出AD=BDCD=1BD,题目比较好,

2

难度适中.

21.如图：ZXABC中，ZACB=90°,CD是高，ZA=30°,BD=3cm,则AD=cm.

【考点】KO：含30度角的直角三角形.

【专题】填空题

【分析】根据同角的余角相等求出/BCD=NA=30。，再根据30。角所对的直用边

等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD=AB-BD计算即可得解.

【解答】解：VZACB=90°,CD1AB,

，ZBCD+ZACD=90°,ZA+ZACD=90°,

.•.ZBCD=ZA=30°,

VBD=3cm,

/.BC=2BD=6cm,AB=2BC=12cm,

AD=AB-BD=9cm.

故答案是：9.

【点评】本题主要考杳了直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，

同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键.

22.如图，^ABC是等腰直角三角形，AB=BC,已知点A的坐标为（-2,0）,

点B的坐标为（0,1）,则点C的坐标为.

【考点】KW：等腰直角三角形；D5：坐标与图形性质；KD：全等三角形的判定

与性质.

【专题】填空题

【分析】先根据AAS判定△ACD^^BAO,得出CD=AO,AD=BO,再根据点A的

坐标为（-2,0）,点B的坐标为（0,1）,求得CD和OD的长，得出点C的坐

标.

【解答】解：过C作CDJ_x轴于D,则NCDA=NAOB=90°,

VAABC是等腰直角三角形，

.•.ZCAB=90°,

又・・・NAOB=90°,

.•.ZCAD+ZBAO=90°,ZABO+ZBAO=90°,

AZCAD=ZABO,

在4ACD和△BAO中，

rZCDA=ZA0B

•NCAD二NABO，

AC二BA

/.△ACD^ABAO（AAS）,

ACD=AO,AD=BO,

又•・•点A的坐标为（-2,0）,点B的坐标为（0,1）,

ACD=AO=2,AD=BO=1,

/.DO=3,

又..•点C在第三象限，

・••点C的坐标为（・3,2）.

故答案为：（-3,2）.

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解

决问题的关键是根据全等三角形的性质，求得点C到坐标轴的距离.

23.如图，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AD平分/CAB,交BC于点D,若

CD=1,贝!]BD=.

【考点】KO：含30度角的直角三角形；KF：角平分线的性质.

【专题】填空题

【分析】根据角平分线性质求出NBAD的度数，根据含30度角的直角三角形性

质求出AD即可得BD.

【解答】解:VZC=90°,ZB=30°,

AZCAB=60°,

AD平分NCAB,

/.ZBAD=30°,

ABD=AD=2CD=2,

故答案为2.

【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，

求出AD的长是解此题的关键.

24.己知等腰4ABC中，AD_LBC于点D,且AD=1BC,则4ABC底角的度数

2

为.

【考点】KO：含30度角的直角三角形；KH：等腰三角形的性质.

【专题】填空题

【分析】分四种情况：①当AB=AC时，根据AD二1BC,可得出底角为45度；②

2

当AB=BC时，根据AD’BC,可得出底角为15度.③当AC=BC时，底角等于75。

2

④点A是底角顶点，且AD在AABC外部时.

【解答】解：分四种情况进行讨论：

①当AB=AC时，VAD1BC,ABD=CD,

VAD=iBC,

2

.\AD=BD=CD,

・・・底角为45度;

②当AB=BC时，

VAD=1BC,

2

AAD=1AB,

2

AZABD=30°,

.•.ZBAC=ZBCA=75°,

，底角为75度.

③当AC二BC时，

VAD=1BC,AC=BC,

2

AAD=AAC,

2

/.ZC=30°,

.•.ZBAC=ZABC=1.(180°-30°)=75°；

2

④点A是底角顶点，且AD在4ABC外部时，

VAD=1BC,AC=BC,

2

AAD=AAC,

2

JZACD=30°,

；・ZBAC=ZABC=1X30°=15°，

2

故答案为15。或45。或75°.

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及等腰三角形的性质，注意分类

讨论思想的运用.

25.若直角三角形两直角边的比为3：4,斜边长为20,则此直角三角形的面积

为.

【考点】KQ：勾股定理.

【专题】填空题

【分析】先根据比值设出直角三角形的两直角边，用勾股定理求出未知数X,即

两条直角边，用面积公式计算即可.

【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为3x,4x(x>0),

根据勾股定理得,(3x)2+(4x)2=202,

x=4或x=-4(舍),

A3x=12,4x=16

・•・直角三角形的两直角边分别为12,16,

，直角三角形的面积为工X12X16=96,

2

故答案为96.

【点评】此题是勾股定理的应用，主要考查了勾股定理，三角形的面积计算方法,

解本题的关键是用勾股定理求出直角边.

26.如图，在aABC中，ZB=2ZC,且AD_LBC于D,求证：CD=AB+BD,

【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质.

【专题】解答题

【分析】在DC上取DE=BD,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距

离相等的性质可得AB二AE,根据等边对等角的性质可得NB=/AEB,然后根据三

角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出NC=NCAE,再根据等

角对等边的性质求出AE=CE,然后即可得证.

【解答】证明：如图，在DC上取DE二BD,

VAD1BC,

AAB=AE,

AZB=ZAEB,

在4ACE中，ZAEB=ZC+ZCAE,

又・・・/B=2NC,

A2ZC=ZC+ZCAE,

AZC=ZCAE,

AAE=CE,

•'.CD=CE+DE=AB+BD,

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰

三角形是解题的关键.

27.如图，己知在^ABC中，ZACB=90°,CD为高，且CD,CE三等分NACB,

(1)求NB的度数；

(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE=L\B,

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KJ：等腰三角形的判定与性质.

【专题】解答题

【分析】(1)利用直角4BCD的两个锐角互余的性质进行解答；

(2)利用已知条件和(1)中的结论可以得到4ACE是等边三角形和4BCE为等腰

三角形，利用等腰三角形的性质证得结论.

【解答】⑴解：•・•在AABC中,ZACB=90°,CD,CE三等分NACB,

,ZACD=ZDCE=ZBCE=30°,贝ljZBCD=60°,

又：CD为高，

.•.ZB=90°-60°=30°

30°；

(2)证明：由⑴知，ZB=ZBCE=30°,则CE二BE,AC=1AB,

VZACB=90°,ZB=30°,

AZA=600,

又•・•由(1)知，ZACD=ZDCE=30°,

JZACE=ZA=60°,

/.△ACE是等边三角形，

AAC=AE=EC=1AB,

2

AAE=BE,即点E是AB的中点.

・・・CE是AB边上的中线，且CE」AB,

2

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线.本题

解题过程中利用了〃等角对等边〃以及等边三角形的判定与性质证得(2)的结论

的.

28.如图,AD/7BC,BD平分NABC,ZA=120°,ZC=60°,AB=CD=4cm,求：

⑴AD的长；

⑵四边形ABCD的周长.

二

【考点】JA：平行线的性质.

【专题】解答题

【分析】⑴根据AD〃BC,可得NADB二NCBD；根据BD平分/ABC,可得NABD二

ZDBC,于是得至UNABD:NADB,所以可证AB二AD；

(2)证出ABCD是直角三角形，利用30。的角所对的直角边是斜边的一半，即可

求出BC的长.

【解答】⑴解：VAD/7BC,

ZADB=ZDBC,

VBD平分NABC

AZABD=ZDBC,

AZABD=ZADB,

AD=AB=4cm；

(2)解：VAD/7BC,ZA=120°,ZC=60°,

AZADC=120°,ZABC=60°,ZADB=ZDBC：

〈BD平分NABC,AZABD=ZADB=30°,ZBDC=90°；

AAB=AD,BC=2CD；XAB=CD=4cm,

AAD=4,BC=8,

・・・AB+BC+CD+AD=4+8+4+4=20(cm),

・•・四边形ABCD的周长为20cm.

【点评】本题考查了等腰梯形的性质的运用，角平分线的性质的运用，等腰三角

形的性质的运用，勾股定理的运用及等腰梯形的周长.在解答中掌握等腰梯形的

周长的算法是关键.

29.已知锐角AABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，M是线段BC的中点,

连接DM,EM.

⑴若DE=3,BC=8,求aDME的周长；

(2)若NA=60°,求证：ZDME=60°；

⑶若BC2=2DE2,求NA的度数.

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KJ：等腰三角形的判定与性质.

【专题】解答题

【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=1BC=4,EM=1BC=4,即

22

可求出答案；

(2)根据三角形内角和定理求出NABC+NACB=120。，根据直角三角形斜边上中线

性质求出DM=BM,EM=CM,推出NABC二NBDM,ZACB=ZCEM,根据三角形内

角和定理求出即可；

(3)求出EM=V2EN,解直角三角形求出NEMD度数，根据三角形的内角和定理

求出即可.

【解答】解：⑴:CD,BE分别是AB,AC边上的高,

AZBDC=ZBEC=90°,

YM是线段BC的中点，BC=8,

・,.DM」BC=4,EM=iBC=4,

22

/.△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=ll；

(2)证明：VZA=60°,

AZABC+ZACB=120°,

VZBDC=ZBEC=90°,M是线段BC的中点,

.*.DM=BM,EM=CM,

AZABC=ZBDM,ZACB=ZCEM,

/.ZEMC+ZDMB=ZABC+ZACB=120°,

ZDME=180°-120o=60°；

⑶解：过M作MN1DE于N,

VDM=EM,

AEN=DN=1DE,ZENM=90°,

2

VEM=DM=1BC,DN=EN=1DE,BC2=2DE2,

22

/.(2EM)2=2(2EN)2,

AEM=V2EN,

•'sinNEMN二典返，

EM2

AZEMN=45°,

同理NDMN=45。，

.•.ZDME=90°,

.•.ZDMB+ZEMC=180°-90°=90°,

VZABC=ZBDM,NACB二NCEM,

AZABC+ZACB=i(180°-ZDMB+18O0-ZEMC)=135°,

2

AZBAC=180°-(ZABC+ZACB)=45°.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解直角三

角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解

此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半.

单元测试（二）

一、选择题

1.不等式-2xV4的解集是（）

A.x>2B.x<2C.x<-2D.x>-2

2.下列不等式一定成立的是（）

A.5a>4aB.x+2<x+3C.-a>-2aD.2>2

aa

3.不等式-3x+6>0的正整数解有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数多个

4.在数轴上表示不等式2的解集，正确的是（）

----->।11--------->

A.-3-2-101B.-3-2-101

C.-3%-1~0^D,-4-3-2-1~0>

5.如图，当yVO时，自变量x的范围是（）

A.x<-2B.x>-2C.x<2D.x>2

6.要使代数式口有意义，则x的取值范围是（）

A.x22B.x>-2C.xW・2D.xW2

7.不等式组的解集是（）

x<4

A.x<3B.3<x<4C.x<4D.无解

8.若a>b>0,则下列结论正确的是（）

A.-a>-bB.工>工C.a3<0D.a2>b2

ab

9.下列图形中，能表示不等式组产：-2解集的是（

）

x<l

B.-2-10123

D.-2-10123

10.观察函数yi和yz的图象，当x=l,两个函数值的大小为（）

A.yi>y2B.yi<y2C.yi=y2D.yi2y2

11.如果不等式组有解，那么m的取值范围是（）

[x>ir

A.m>5B.C.m<5D.m<8

12.不等式组x/下的最小整数解为（）

3x-4<8

A.-1B.0C.1D.4

二、填空题

13.已知三角形的两边为3和4,则第三边a的取值范围是.

14.不等式组[!3的解集是.

x>-l

15.不等式组-1VXV4的整数解有个.

16.若a>c,则当m时，am<cm；当m时，am=cm.

17.小于88的两位正整数，它的个位数字比十位数字大4,这样的两位数有

个.

18.不等式组-1VX-5V11的解集是.

19.若不等式组有解，则a的取值范围是____.

Ix>a

20.一次函数y=-3x+12中x时，y<0.

21.不等式x-8>3x-5的最大整数解是.

22.直线ky=x+l与直线展y=mx+n相交于点P（a,2）,则关于x的不等式x+1

2mx+n的解集为.

三、解答题

23.解不等式，并把解集在数轴上表示出来:

(l)5x-6W2(x+3);

(2)2X-1.5x-l_<0

24

24.解不等式组：

f5x-6<2(x+3)

(1)广”等;

r3+x<2(x-2)+7

(2)

5x-l<3(x+l)

’2x-m>nT

25.已知不等式组的解集为-1<X<1,则(m+n)2014的值等于多少?

x-m+n<4

26.是否存在整数k,使方程组（2x+v=k的解中，*大于L丫不大于1,若存在,

Ixy1

求出k的值，若不存在，说明理由.

27.小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每枝笔3元，每个笔记本2.2元,

她买了2个笔记本.请你帮她算一算，她还可能买几枝笔？

28.每年3月12日是植树节，某学校植树小组若干人植树，植树若干棵.若每

人植4棵，则余20棵没人植，若每人植8棵，则有一人比其他人植的少（但有

树植），问这个植树小组有多少人？共有多少棵树？

29.甲、乙原有存款800元和1800元，从本月开始，甲每月存400元，乙每月

存200元.如果设两人存款时间为x月.甲存款额是yi元，乙存款额是丫2元.

⑴试写出yi与x及丫2与x之间的函数关系式；

⑵到第几个月时，甲存款额能超过乙存款额?

30.在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，

经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑

和1台电子白板需要2.5万元.

⑴求每台电脑、每台电子白板各多少万元？

⑵根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但

不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.

答案与解析

1.不等式-2x<4的解集是()

A.x>2B.x<2C.x<-2D.x>-2

【考点】C6：解一元一次不等式.

【专题】选择题

【分析】两边同时除以-2,把x的系数化成1即可求解.

【解答】解：两边同时除以-2,得：x>-2,

故选D.

【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意

移项要改变符号这一点而出错.

解不等式要依据不等式的基本性质：

⑴不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

⑵不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

⑶不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

2.下列不等式一定成立的是（）

A.5a>4aB.x+2<x+3C.-a>-2aD.-1>,2

aa

【考点】C2：不等式的性质.

【专题】选择题

【分析】根据不等式的性质分析判断.

【解答】解：A、因为5>4,不等式两边同乘以a,而aWO时，不等号方向改变,

即5aW4a,故错误;

B、因为2V3,不等式两边同时加上x,不等号方向不变，即x+2Vx+3正确；

C、因为不等式两边同乘以a,而aWO时，不等号方向改变，即-a

W・2a,故错误；

D、因为4>2,不等式两边同除以a,而aWO时，不等号方向改变，即且42,

aa

故错误.

故选B.

【点评】主要考查了不等式的基本性质."0〃是很特殊的一个数，因此，解答不

等式的问题时，应密切关注“0〃存在与否，以防掉进的陷阱.不等式的基本性

质：

⑴不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.

⑵不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

⑶不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

3.不等式-3x+6>0的正整数解有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数多个

【考点】C7：一元一次不等式的整数解.

【专题】选择题

【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条

件的正整数即可.

【解答】解：不等式的解集是xV2,故不等式-3x+6>0的正整数解为1,故选

A.

【点评】正确解不等式，求出解集是解答本题的关键.解不等式应根据不等式的

基本性质.

4.在数轴上表示不等式x2・2的解集，正确的是（）

.11I—।~~>—L--->

A.-3-2-101B.-3-2-101C.-3-2-10

-------------1-------------------------->

D.-4-3-2-10

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集.

【专题】选择题

【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答.

【解答】解：・・,不等式x2-2中包含等于号，

，必须用实心圆点，

，可排除A、B,

•・,不等式x2-2中是大于等于，

・,•折线应向右折，

・・・可排除D,

故选：c.

【点评】木题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，即空>”空心圆点向右画

折线，“2〃实心圆点向右画折线，"V”空心圆点向左画折线，“W〃实心圆点向左

画折线.

5.如图，当yVO时，自变量x的范围是（)

A.x<-2B.x>-2