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专题15概率及统计案例1.下列说法错误的有()A.随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值B.在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生C.任意事件A发生的概率满足D.若事件A发生的概率趋近于0,则事件A是不可能事件【答案】CD【解析】根据概率与频率的关系判断①正确,根据基本事件的特点判断②正确,根据必然事件,不可能事件,随机事件的概念判断③错误,根据小概率事件的概念判断④错误.∵随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,∴A中说法正确;基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的,∴在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生,∴B中说法正确;必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,随机事件发生的概率大于0且小于1.∴任意事件A发生的概率P(A)满足.∴C中说法错误;若事件A发生的概率趋近于0,则事件A是小概率事件,但不是不可能事件,∴D中说法错误.故选:CD2.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是().A.2张卡片都不是红色 B.2张卡片恰有一张红色C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色【答案】ABD【解析】根据对立事件和互斥事件的定义,逐一分析四个事件与事件“2张卡片都为红色”的关系,可得答案.从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”,在选项给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”,其中“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”,二者并非互斥事件.故选:ABD.3.(多选)以下对各事件发生的概率判断正确的是().A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如,在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字l,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是【答案】BCD【解析】利用古典概型公式分别计算四个选项中的概率,从而得解.对于A,画树形图如下:从树形图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜),P(乙获胜),故玩一局甲不输的概率是,故A错误;对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,有2与3,2与5,2与7,2与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7,5与11,5与13,7与11,7与13,11与13共15种结果,其中和等于14的只有一组3与11,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为,故B正确;对于C,基本事件总共有种情况,其中点数之和是6的有,,,,,共5种情况,则所求概率是,故C正确;对于D,记三件正品为,,,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为,,,,,,共6种,其中两件都是正品的有,,,共3种,则所求概率为,故D正确.故选BCD.4.设集合,,分别从集合和中随机取一个元素与.记“点落在直线上”为事件,若事件的概率最大,则的取值可能是()A. B. C. D.【答案】BC【解析】先计算出基本事件的总数,再分别求出事件、事件、事件、事件、事件、事件所包含基本事件的个数及相应的概率即可.由题意,点的所有可能情况为、、、、、、、、、、、,共个基本事件,则事件:点落在直线包含其中共个基本事件,所以;事件:点落在直线包含其中、共个基本事件,所以;事件:点落在直线包含其中、、共个基本事件,所以;事件:点落在直线包含其中、、共个基本事件,所以;事件:点落在直线包含其中、共个基本事件,所以;事件:点落在直线包含其中共个基本事件,所以.综上可得,当或时,.故选:BC.5.下列关于各事件发生的概率判断正确的是()A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为D.已知集合,,在集合中任取一个元素,则该元素是集合中的元素的概率为【答案】ABC【解析】结合古典概型的概率计算公式对各选项依次判断即可.对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙),共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又所有基本事件包括,,,四种情况,而能构成三角形的基本事件只有一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找1到食物,所以获得食物的概率为,故C.正确;对于D,因为,,所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是,故D错误.故选ABC.6.下列对各事件发生的概率判断正确的是()A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为,,,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是【答案】AC【解析】根据每个选项由题意进行计算,从而进行判断即可对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确;对于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确;对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确;对于D,易得,即,即,∴,又,∴,∴,故D错误故选:AC7.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度,随机调查了50名男生和50名女生,每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价,得到如图所示的列联表.经计算的观测值,则可以推断出()满意不满意男3020女40100.1000.0500.0102.7063.8416.635A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为B.调研结果显示,该学校男生比女生对食堂服务更满意C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D.有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异【答案】AC【解析】根据表格中的数据可求得男、女生对食堂服务满意的概率的估计值,根据,可判断C、D选项对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为,故A正确;对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为,故B错误;因为,所以有的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C正确,D错误故选:AC8.针对时下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的,女生喜欢抖音的人数占女生人数,若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有()人附表:附:A. B. C. D.【答案】BC【解析】设男生的人数为,列出列联表,计算出的观测值,结合题中条件可得出关于的不等式,解出的取值范围,即可得出男生人数的可能值.设男生的人数为,根据题意列出列联表如下表所示:男生女生合计喜欢抖音不喜欢抖音合计则,由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则,即,得,,则的可能取值有、、、,因此,调查人数中男生人数的可能值为或.故选:BC.9.经过对的统计量的研究,得到了若干个临界值,当的观测值时,我们()A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为与有关B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为与无关C.有99%的把握说与有关D.有95%的把握说与有关【答案】AD【解析】根据的值,结合独立性检验的知识点,分析得到答案。由于,所以,则我们认为在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为与有关,并且有95%的把握说与有关;故答案选AD10.在一个古典概型中,若两个不同的随机事件A、B发生的概率相等,则称A和B是“等概率事件”,如:随机抛掷一个骰子一次,事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”关于“等概率事件”,以下判断正确的是()A.在同一个古典概型中,所有的基本事件之间都是“等概率事件”B.若一个古典概型的事件总数大于2,则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”C.因为所有必然事件的概率都是1,所以任意两个必然事件都是“等概率事件”D.同时抛掷三枚硬币一次,则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”【答案】AD【解析】根据新定义分别判断即可.对于A,由古典概型的定义知,所有基本事件的概率
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