2024-2025学年上海市某中学九年级（上）期中数学试卷

2024-2025学年上海市宝山实验学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.（4分）如果x：y=2：3,那么下列各式不成立的是（）

A.也=5B."=-工C.工=工D.三包=旦

y3y32y3y+14

2.（4分）在比例尺为1：2000的地图上测得/、8两地间的图上距离为5c%,则/、8两地间的实际距离

为（）

A.10mB.25mC.100mD.10000m

3.（4分）若两个相似三角形的面积之比为1：4,则它们的最长边的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：16D.无法确定

4.（4分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2,点/,8均在抛物线上，其中点/的坐标

5.（4分）如图所示，△NBC的顶点是正方形网格的格点，则sig的值为（）

B.2遥c.D.

5105

6.（4分）如图，在菱形4BCD中，4B=AC,且/连接CE、AF交于点.H,则下列结论：①△

ABF冬ACAE；（2）ZFHC=ZB；@AE-AD=AH-AF；其中正确的结论个数是（）

B

第1页（共26页）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）cos30°=.

8.（4分）把长度为4c〃?的线段进行黄金分割，则较长线段的长是cm.

9.（4分）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,那么它们的周长之比是.

10.（4分）如果抛物线y=（加-1）X2+2/MX+1的图象开口向下，那么加的取值范围是.

11.（4分）将二次函数》=-27的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式

为.

12.（4分）二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为.

X-2-101234

y72-1-2m27

13.（4分）在中，/C=90°,ZB=a,那么3C=.（结果用a的锐角三角函数

表示）

14.（4分）如图，点。、E、尸分别是三边的中点，与向量而______________________.

15.（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-^x2+bx+c与x轴交于点/（-4,0）,与y轴交

于点C（0,3）,抛物线的对称轴与x轴交于点。.点尸是直线/C上方抛物线上一点，垂足为点G,

尸G与直线NC交于点〃.如果PH=AH..

16.（4分）如图，在平行四边形/BCD中，点厂是4D上的点，直线AF与/C相交于点E,交CD的延

长线于点G,则EG的值为.

17.（4分）如图，已知在四边形48CD中，/4DC=90°,点£、尸分别在线段CD、4D上.如果NEJ_

第2页（共26页）

BF,-B-F-=-2-,那么cotZABD

AE3

18.(4分)如图，已知在矩形/BCD中，连接/C,cot/ABD卫，使点3恰好落在对角线/C上的点夕

4

处，点/、。分别落在点H、D'处，MN-AM=5,那么线段VN的长为.

三、解答题：(本大愚共7题，满分。分)

19.计算：yj(l-cos300~)^-2sin450+(cos300)°+..--------7r~

tan60-V2

20.如图，在梯形中，AD//BC,BC=2AD,OD=].

(1)求BD的长:

⑵如果AB=a，BC=b，试用a、味示向量0B.

21.如图所示，8/和CA表示前后两幢楼，按照有感规定两幢楼间的间距不得小于楼的高度，小明想测量

一下他家所著楼与前面CD楼是否符合规定，于是他在/C间的点M处架了测角仪，已知/M=4

米，测角仪距地面1.5米.

(1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；

(2)为了知道前面CD楼的高度，小明又到家里(点尸处)，用测角仪再次测得CD楼顶。的仰角为a,

第3页(共26页)

sina=0.6,请你来计算一下CO楼的高度.

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y=-d+fcc+c过点/(2,2)、点、B(0,2),顶点为点

C

(1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；

(2)点P在x轴上，当尸与△/CO相似时，求点P坐标.

¥

1-

II_____III»

O1x

23.已知：如图，在梯形N3CD中，AD//BC,点M在边5C上，S.ZMDB=ZADB2=AD'BC.

(1)求证：BM=CM-,

(2)作BE，。“，垂足为点E,并交CD于点?求证：2AD*DM=DF*DC.

24.已知，如图，抛物线y=与％轴正半轴交于4、2两点，与y轴交于点C,直线y=x-2

经过4C两点.

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)P为抛物线上一点，若点尸关于直线NC的对称点。落在y轴上，求尸点坐标；

第4页(共26页)

(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线＞=》-旦，若平移后的抛物线与直线y=x-2交于M、N两点.

4

①求证：MN的长度为定值；

②结合(2)的条件，直接写出△QAW的周长的最小值.

备用图

25.如图，已知正方形N3CD,点”是边8C上的一个动点(不与点8、C重合)，满足NE=4S,延长

交CD于点F.

(2)点、M、N分别是边48、AD的中点，己知点尸在线段上，连结4P、BP,求：cot/4BP；

(3)连结CE.如果△(?昉是以CE为腰的等腰三角形，求NF8C的正切值.

第5页(共26页)

2024-2025学年上海市宝山实验学校九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.（4分）如果x：j=2：3,那么下列各式不成立的是（）

A.x+y=5B.x-y=_1cx=1Dx+1=3

•~y~百~Y~百2y3*'y+TT

【解答】解：设x=2hy=3k,

进行约分，A,B,。都正确；

。不能实现约分，故错误.

故选：D.

2.（4分）在比例尺为1：2000的地图上测得/、8两地间的图上距离为5cm,贝！J/、2两地间的实际距离

为（）

A.10mB.25mC.100mD.10000m

【解答】解：设/、8两地间的实际距离为xm,

根据题意得」_=」

2000x-100

解得x=100.

所以N、8两地间的实际距离为100〃?.

故选：C.

3.（4分）若两个相似三角形的面积之比为1：4,则它们的最长边的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：16D.无法确定

【解答】解：•••两个相似三角形的面积之比为1：4,

•••它们的最长边的比是4：2,

故选：A.

4.（4分）如图，已知抛物线y=/+6x+c的对称轴为直线x=2,点/,8均在抛物线上，其中点/的坐标

为（0,3）,则点3的坐标为（）

第6页（共26页）

A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)

【解答】解：由题意可知抛物线的夕=/+8+，的对称轴为直线x=2,

:点N的坐标为（2,3）,

可知/、3两点为对称点,

•••8点坐标为（4,2）

故选：D.

5.△N5C的顶点是正方形网格的格点，则sig的值为（）

B.唔

2。・笔

【解答】解：连接DC,

由网格可得：CDLAB,

则。C=&,AC=K，

故"n/=DC=#:&

ACV105

且/£=2下，连接CE、4尸交于点H,则下列结论：（1）△

ABF冬ACAE；②/FHC=NB；®AE'AD=AH'AF-,其中正确的结论个数是（）

C.3个D.4个

【解答】解：•••四边形ABCD是菱形,

:.AB=BC,

第7页（共26页）

'：AB=AC,

"B=BC=AC,

即△NBC是等边三角形，

同理：△4DC是等边三角形

:.NB=NEAC=60°,

在△NAF和中，

，BF=AE

-NB=NEAC，

AB=AC

:.AABF咨LCAECSAS）；

：.ZBAF=ZACE,EC=AF,

"：ZFHC=ZACE+ZFAC=ZBAF+ZFAC=ZBAC=60°,

：.NFHC=/B,

故①正确，②正确；

VZAHC+ZADC^120°+60°=180°,

...点/,H,C,。四点共圆，

：./AHD=/ACD=60°,ZACH^ZADH=ZBAF,

：.ZAHD=ZFHC=ZAHE=60°,

:.AAEHsADAH,故③正确；

,/ZACE=ZBAF,ZAEH=ZAEC,

:AAEHsACEA,

••--A-E-=-A-H-,

ECAC

：.AE-AC=AH-EC,

；.AE・AD=AH，AF,

故④正确；

故选：D.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）cos30°

—2―

【解答】解：cos30。=叵.

2

第8页（共26页）

故答案为：1.

2

8.（4分）把长度为4c加的线段进行黄金分割，则较长线段的长是（2VS-2）cm.

【解答】解：较长线段的长=1二Lx4=（2辰.

2

故答案为（K后-5）.

9.（4分）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,那么它们的周长之比是1：4.

【解答】解：•两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,

，那么它们的周长之比是7：4.

故答案为：1：7.

10.（4分）如果抛物线>=（冽-1）/+2加x+1的图象开口向下，那么加的取值范围是冽<1.

【解答】解：•・•抛物线》=（m-1）x2+7mx+l的图象开口向下，

：.m-1<4,

解得：冽VI.

故答案为：m<\.

11.（4分）将二次函数歹=-2,的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y

=-2（x-1）2-2.

【解答】解：二次函数y=-2,的图象向右平移7个单位，再向下平移2单位后2-3.

故答案为：歹=-2（%-1）2-2.

12.（4分）二次函数歹=办2+乐+。中，函数歹与自变量1的部分对应值如表，则加的值为-1.

X-2-101234

y72-1-2m27

【解答】解：把点(-2,7)(-8,(0,得:

a-b+c=2

<c="4，

4a-2b+c=5

"a=l

解得：<b=-2，

c=-6

・・・二次函数的解析式为-2X-2,

当x=2时，y=m=24-2X2-5=-1.

故答案为：-1.

13.（4分）在RtZ\45C中，ZC=90°,/B=a,那么5C=2cosa.（结果用a的锐角三角函数表示）

第9页（共26页）

【解答】解：在中，ZC=90°,AB=2,

：COS3=K,

AB

•\BC=AB9cosB=2cosa.

故答案为：6cosa.

14.（4分）如图，点、D、E、尸分别是△4BC三边的中点，与向量而—而，前_.

【解答】解：；点。、E、尸分别是△/8C三边的中点,

C.DF//BC,DE=L

2

•1.DF=BE=EC）

故答案为正，EC.

15.（4分）已知在平面直角坐标系xS中，抛物线y=-^x2+bx+c与X轴交于点/（-4,0）,与y轴交

于点C（0,3）,抛物线的对称轴与x轴交于点。.点P是直线/C上方抛物线上一点，垂足为点G,

PG与直线NC交于点X.如果尸〃=4y_（二，

【解答】解：把/（-4,0）,6）代入y母3+bx+c

f-12-4b+c=0

（c=4

b=J-

解得D4，

c=7

•_329小

,,y=-x口*+4，

如图：

第10页（共26页）

设直线/C解析式为卜=内+«,由/(-4,C(0

f-6p+q=0

lq=3

，上,

解得『二，

,q=3

...直线AC解析式为y^x+M，

AC=VOA^OC2=5>

设P(m,-^-m2-ym+3),则H(m,-j-m+3),

444

,,PH=I'm+S)-((m+3)=-^-m2-4ir,HG=^-m+4,

•；NHAG=NCAO,/AGH=90°=/40C,

：.^AHG^AACO,

•••—AH--G-H-,

ACOC

即也Jrl

53

••.AH言4m+5,

4

'：PH=AH,

•3275Q

'•-vm-7m=vni+8,

44

解得m==-|■或次=-3(与/重合,

514、

•1-P(，R

3

故答案为：（514、

3

第11页（共26页）

16.（4分）如图，在平行四边形/BCD中，点尸是/。上的点，直线3尸与NC相交于点E,交CD的延

长线于点G,则EG的值为3.

【解答】解：•••四边形/BCD是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC,

,:AF=2FD,

:.AF=ZAD=^,DF=2_LBC.

8338

'：AF//BC,

：.△AEFs^CEB,

•EF-AFEF_2

EBCB26

:.EF=2.

3

'：DF//BC,

:.△GFDS^GBC,

•GF-DF即GF—4

GBCBGF0+23

：.GF=^-,

3

EG=EF+GF=匡+3=3.

33

故答案为：6.

17.（4分）如图，已知在四边形/BCD中，/ADC=90°,点、E、尸分别在线段CD、AD1..如果4BJ_

BF,此上，那么cot/4BD=-遍一

AE3-2一

第12页（共26页）

A

【解答】解：如图，过8作8G_L/D于G,

\'BG±AD,AELBF,

:./BOA=NBGA=90°,

/BHO=ZAHG,

：.ZGBF=/DAE,

又：NBGF=/ADE.

：.ABGFsAADE.

•BG_BF_2

"AD"AE

设2G=5f,则A8=/O=33

AG=VAB2-BG6=7(3t)2-(4t)2=V5V

•••DG=AD-AG=(8-V5)t;

；AB=AD,

：.ZABD=ZADB,

•••cot/ABD=cotNADB带="嗜)1=3"^•

DuZtN

故答案为：生近.

2

第13页（共26页）

18.（4分）如图，已知在矩形/BCD中，连接/C,cot/ABD驾，使点3恰好落在对角线/C上的点夕

4

处，点/、。分别落在点/'、D'处，MN-AM=5,那么线段儿加的长为15.

【解答】解：如图，连接3。，

/人、、、

A/，/心'、、

•・•四边形45C。为矩形，

ZBAD=ZADC=ZABC=90°,AB=CD,

：cot/ABDJ，

AD4

.,.设/5=4x,AD=4x,

:.AB=CD=3x,4D=BC=5x,

AC=VAB2+BC2=7X-

由旋转的性质可得：B'C=BC=4x,A'B'=AB=3x,

：.AB'=AC-B'C=x,ZAB'M=180°-N4'B'C=90°,

VZB'AM=ADAC,

：.AB'AMs^DAC,

•AM=AC=3x=5.

•.AB，而Za’

•5

,,AM=vx,

4

•••B，M=VAM4-ABy2=-yx-

4

Q

•••A，M=AyB，-By儿4x，

4

第14页（共26页）

"：A'ELAD,

：.ZA'EM=/AB'M=90°,

"：ZAMB'=ZA'ME,

：./\AMB's/\HME,

2

.AM=AB，M丁=5

,,h'M"A'E=ME"9而'

7X

o97Y

•',A7E=MX，ME=-^T->

3ZU

•■"DE=AD-AM-ME-^>

■:/A，EN=ZCDN=90°,/A'NE=ZCND,

ENs/\CDN,

.CD_DN_3x_5

‘A，E而

Tx

EN《DE磊x，

MNRE+EN嗡x喘x噜x,

U：MN-AM=7,

・755u

.•面xqx=6，

**«x=8,

•••心1啜乂8=15，

故答案为：15.

三、解答题：（本大愚共7题，满分0分）

2

以计算：V（l-coS300）-2sin45°+（cos30。）°'^6（）!

-2x2^31

【解答】解：原式=V(1工

2V2-V2

=1-遍-&+2+返也^

28-2

=1-丑-V2+7+V3+V2

2

=4+直

2

第15页（共26页）

20.如图，在梯形/BCD中，AD//BC,BC=2AD,OD=\.

(1)求BD的长：

,.-♦.—*一・1•1♦'

(2)如果卷=软，BC=b，试用a、展示向量0B.

【解答】解：⑴'JAD//BC,

:./DAO=/BCO,ZADO^ZCBO,

：.△NODs△COB,

•OD二AD=AD_1,

"OB"BC"2ADV

：OD=1,

：.OB=2,

：.BD=OB+OD=2.

(2)VBC=b，BC=2AD,

AD=—

2

—*--**—If

,DB=AB-AD=软号b,

由(1)知，OB="DB，

21.如图所示，9和C〃表示前后两幢楼，按照有感规定两幢楼间的间距不得小于楼的高度，小明想测量

一下他家所著N5楼与前面CD楼是否符合规定，于是他在/C间的点M处架了测角仪，已知/M=4

米，测角仪距地面九CV=1.5米.

(1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；

(2)为了知道前面CD楼的高度，小明又到家里(点尸处)，用测角仪再次测得CD楼顶。的仰角为a,

sina=0.6,请你来计算一下CO楼的高度.

第16页(共26页)

【解答】解：(1)过点N作于点G,

在RtADTVG中，ZDNG=45°

:.NG=DG,

a：AC=AM+NG,DC=DG+GC,MN=L5m,

AC>DC,

・,•两楼的间距符合规定；

(2)延长。尸，GN交于H,

则N〃=a,PJ=AP-MN=3.5m-\2m=6m,

Vsina=0.3,

・•・+tanex-——3,

4

HJ=——=6m,

tanO.

设NG=DG=x,则77G=8+4+x=12+x,

Vtana=^-,

HG

•-•--4-_-----x---,

412+x

解得+x=36,即。G=36m,

/.DC=DG+GC=36+1.7=37.5（米），

.♦.CD楼的高度为37.5米.

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y=-/+6x+c过点/(2,2)、点、B(0,2),顶点为点

第17页(共26页)

c

(1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；

(2)点P在x轴上，当△NO尸与△/(7£>相似时，求点P坐标.

¥

1-

11_________111»

01x

【解答】解：(1)由题意得：

(c=2,

\-4+2b+c=2

解得：，b=2,

lc=5

，抛物线的表达式为y=-，+2x+8,

'•y=~X2+2X+4=-(x-1)2+6,

顶点C(1,3)；

(2)由(1)知，y=-X8+2X+2=-(x-6)2+3,

又：抛物线M的对称轴交x轴于点D,如图，

A

/o\D\P\x

点。(4,0),

,：A(2,8),2),3),6),

•■-AC=V(2-l)4+(2-3)2=V2>CD=3,^=7(8-l)2+72=V5>0A=V22+25=2V2>

又AAOP与AACD相似,

第18页（共26页）

，点。与点C对应，

分两种情况讨论：

当△O4PSAC4D时，

贝!]”_屈_,即里金佟，

CDCA473

解得：OP=6,

即点尸(6,6)；

当时，

则旦匕理，即丐=啦，

ACCDV23

解得：op]，

则点P4，6),

o

综上，点尸的坐标为仔，7),0).

23.已知：如图，在梯形48co中，4D〃BC,点M在边BC上,且/MDB=/ADB2=AD*BC.

(1)求证：BM=CM；

(2)作3£_1_。河，垂足为点£,并交CD于点足求证：2AD・DM=DF・DC.

【解答】证明：（1）,CAD//BC,ABLBC,

：.ZADB=ZDBC=ZMDB,ZA=90°,

：.BM=DM,

又＜BD2=4D,BC,即坦

BDBC

.../\ADB^/\DBC,

：.ZBDC^ZA=90°,

：.ZC=ZMDC=90°-ZDBC,

:.DM=CM,

第19页(共26页)

：.BM=CM,

(2):NMDC+NDFB=9Q°,

NDFB=ZDBC,

：.RtZ\DFBsRtLDBC,

•••BD-DC,

DFBD

：.DF'DC=BD1

■:BD5=AD・BC=AD,(2DM)=2AD・DM,

24.已知，如图，抛物线y=-^2+bx+c与x轴正半轴交于/、2两点，与y轴交于点C,直线y=x-2

经过4C两点.

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一点，若点尸关于直线NC的对称点0落在夕轴上，求尸点坐标；

（3）现将抛物线平移，保持顶点在直线y=x-11,若平移后的抛物线与直线y=x-2交于M、N两点.

4

①求证：的长度为定值；

②结合（2）的条件，直接写出△。儿W的周长的最小值4舟26.

第20页（共26页）

备用图

【解答】解：（1）在y=x-2中，令y=0,令x=3,

：.A（2,0）,-3）；

解得F至.

c=-5

抛物线的解析式为：y=工7+当一5.

42

（2）如图，

：。/=。。=2,

：.ZOCA=45°

:点P关于/C的对称点。在y轴上,

：.ZOCA=ZPCA=45°,

轴，

第21页（共26页）

...点尸的纵坐标为-2,

令_JLr2+-^Jtr-2=-5,

42

：.P(6,-2).

(3)①设平移后的抛物线的顶点为(m,机-平)，

...平移后的抛物线的解析式为：y=(x-加)7+m-A,

44

令__—(x-m)2+m-^-=x-22+(4-2m)x+m~-4勿+7=0,

44

设Af(xi，%),N(X2,歹2)，

.*.X5+x2=2m-6,x\*X2=m1-4m+3,

MN=-222++22

(X3X2)+(y5-y2)=7(X7-X2)(X7-2-X26)=J2(x2-x2)-3XJ

8M.

.•."N的长度为定值2虫.

②如图，焊KQ//MN,连接MK,由题可知，-2),4)娟，则只需要求QA/+QN的最小值即可.

,JKQ//MN,KQ=MN,

：.KM=QN即KM+MP的最小值，即KP的长，

：.K（-2,2）,

：.KP=6-^5,

.♦.△QW的周长的最小值为4遍+2&.

故答案为：61/5+2^/3.

25.如图，已知正方形48CD,点笈是边2C上的一个动点（不与点2、。重合），满足NE=4B,延长BE

交CD于点F.

第22页（共26页）

(2)点、M、N分别是边48、4D的中点，己知点尸在线段"N上，连结4P、BP,求：cot/4BP；

(3)连结CE.如果△(?昉是以CE为腰的等腰三角形，求NEBC的正切值.

【解答】解：(1):四边形/BCD为正方形，AE=AB,

：.AB=AD,ZBAD=90°,

：.AE=AD,

：.ZAEB=ZABE,ZAED=ZADE,

,：ZAEB+ZABE+ZAED+ZADE+ZBAD=360°,

：.2ZAEB+2ZAED+90°=360°,

；./AEB+/AED=135°,

:./BED=135°,

广£0=180°-135°=45°,

sinZFED=sin450

(2)由题可得，连接NC交九W于点。，MFVBP

设正方形/BCD的边长为2,

:点M、N分别是边4S,

△M4N为等腰直角三角形,

AM=AN=8,ZAMO=45°

VZAPB=90°,

第23页（共26页）

:・AM=MP=BM=1,

,?ZAMO=ZMAO=45

：.