2024-2025学年苏教版高一数学上学期专项复习：不等式（考点清单知识导图+3个考点清单+12题型解读）（解析版）

清单03不等式

考点侪单

比较实数a、b的大小I考点题型一利用不等式的性质判断真假

不等式的基本性质考点题型二利用不等式的性质证明不等式

不等式的性质考点题型三利用不等式的性质求取值范围

基本不等式考点题型四利用基本不等式求最值

基本不等式/重要不等式考点题型五基本不等式恒成立问题

考点题型六利用基本不等式的证明不等式

\基本不等式的推论

考点题型七基本不等式的实际应用

考点题型八解不含参数一元二次不等式

t二次不等式的相关概念考点题型九解含参数的一元二次不等式

从函数观点看一元二次方程考点题型十解分式或高次不等式

三个.二欠.之间的关系考点题型十一三个"二;欠"间对应关系应用

考点题型十二一元二次不等式恒成立问题

【清单01】不等式的基本性质

1、比较实数。、。的大小

(1)文字描述：如果a—》是正数，那么。＞人；

如果等于0,那么〃=/?；

如果a-Z?是负数，那么反过来也对。

(2)符号表示：a—b>O<^a>b；—a—b；a—b<O<^a<b

2、不等式的性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>b=b〈a=

2传递性a>b,b>c=>a>c不可逆

3可加性a>b=a+c>b+c可逆

a>b,c>0=>ac>bc

4可乘性C的符号

a>b,c<0=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>d^a-\~c>b-\~d同向

6正数同向可乘性a>b>0fc>d>U=ac>bd同向

7正数乘方性a>b>0=^an>bn(neN,n>2)同正

【清单02】基本不等式

1、基本不等式

(1)给定两个正数。，b,数巴也称为。，b的算数平均数；数而称为。，b的几何平均数

2

(2)如果a,b是正数，那么竺而，当且仅当a=b时，等号成立.

2

(3)几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大

2、重要不等式：cr+lr>2ab(a,b&R),(当且仅当a=b时取"="号).

3、基本不等式的推论

①？+422力同号)；

ab

②2+旦《一2(a力异号);

ab

入2/FT/a+b,a?+b?/八7八、t7//〃+匕、2/a?+62/八7八、

(§)-——j-<yjab<24J——--(a>0,b>0)或"W(■^―)<——--(a>0,b>0)

—I—

ab

【清单03】从函数观点看一元二次方程

1、一元二次不等式的相关概念

(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式

(2)一般形式：a^-\~bx-\-c>0(>0),加+析+。〈0(<0),(其中存0,a,b,c均为常数)

2、三个“二次”之间的关系

判别式/=/一4acJ>0J=0/<0

1L

二次函数尸加+法+以〃>0)的图卫

象犬|\|^/*2X

有两个相等的实数根

一元二次方程有两个不相等的实数

b没有实数根

症+云+。=0(〃>0)的根根Xl，X2(X1<X2)修=电=一五

ax2+Z?x+C>0(Q>0)的角军集{x\x<Xl，或X>X2})R

a?+bx+c<0(a>0)的解集{X\X1<X<X2)00

型侪单

【考点题型一】利用不等式的性质判断真假

方法总结：不等式的性质常与比较大小结合考查，常用方法有作差法、作商法、介值比较法

1、作差法、作商法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法.

①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论.

②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论.

2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：

若a>6,b>c,则a>c；若a<b,b<c,那么aVc.其中乃是介于a与c之间的值，

此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值.

【例1】（23-24高一上•江苏淮安・月考）（多选）已知实数。，6满足a>〃+l,则下列不等关系一定正确

的是（）

A.a>2bB.Q>2/?+1C.a>b-\D.2a>b1-b+\

【答案】ACD

【解析】对于A,（&2+1）-2^=（^-1）2>0,所以。>加+1226,则。>劝，故A正确；

对于B,W+l）-（2b+l）=b2-2b正负无法确定，

取〃=2.5,b=l,贝！J满足。>〃+1=2,但av2b+l=3,故B错误；

对于C,=+（>0，则4>62+1>6-1,故c正确；

对于D,由。>/+1，得2。>262+2,

又因为（2匕2+2）-（匕2一人+i）=62+6+]=（6+g[+:>o,

所以2a>2匕2+2>k-b+1,故D正确.故选：ACD

【变式1-1]（23-24高一上•江苏镇江・月考）（多选）若正实数灰丫满足%>兀则下列结论中正确的有

（）

x11

A.xy<y2B.x2>y2C.一>1D.—>-------

yxx-y

【答案】BC

【解析】对于A,xy-y2=y（x-y）,因为x>y>0,所以y（x-y）>0,所以孙>;/,故A错误；

对于B,由尤>y>0,则x?>y2,故B正确；

对于C,结合x>y>0,作差可得土一1=土一上=二二1>0,所以±>1,即C正确；

yyyyy

对于D,由已知得x>x-y>0,由不等式性质可得!<，,可得D错误.故选：BC

xx-y

【变式1-2]（23-24高一上•江苏南京・月考）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书

中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“〈”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，

不等号的引入对不等式的发展影响深远.则下列选项正确的是（）

A.若。>人>0,贝!Jac?〉。。？B.若。<匕<0,贝!

cC]]

C.若a>Z?>0且cvO,则一D.若且一>—j则就<0

abab

【答案】BCD

【解析】对A：若c=0,贝1」比2=92=0,故A错误；

对B：由贝1Ja2>a6，ab>b2,即"，。匕〉〃，故B正确；

11CC

对C：由a>b>0,贝U=<7T，又cvO,则T>7T，故C正确；

abab

对D：由一>7,则=--—>0,因为〃>>，贝！］/?—々V。，故QZ?VO,故D正确.故选：BCD.

ababab

【变式1-3］（23-24高一上.江苏•月考）（多选）下列说法正确的是（）

,cm.ibb+m

A.a>b>0,m>0,贝!J—<-------

aa+m

B.1<〃<3,2vbv7则l<b-a<4

C.a>b>Q,贝！>〃2万一。02

D.若a,R,贝巾/+廿2|2ab|

【答案】ACD

b+mb_a(b+m)~b(a+m)_m(a-b)

【解析】选项A,又a>b>0,m>。,

a+maa(a+ni)a(a+m)

m(a-b)八.b+mb,十小

A———r>0,・•・------->-,A正确；

a(a+m)a+ma

选项B,l<a<3^-3<-a<-l,又2vhv7,：.-l<b-a<6,B错；

时，a—b>0,a3-b3-(a2b-ab2)=(a-b)(a2+ab+b2)-ab(a-b)=(a-b)(a2+b2)>0

所以。3一人3>〃2人一。82,C正确；

a2+b2-\2ab\=\a^+时一2同同=(|a|-|/?|)2>0,

当且仅当时二|可时等号成立，D正确.故选：ACD.

【考点题型二】利用不等式的性质证明不等式

方法总结：

1、不等式证明的实质是比较两个实数（代数式）的大小；

2、证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略

条件或跳步推导.

【例2】（23-24高一上.江苏镇江・月考）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首

先把作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“v”和“〉”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的

引入对不等式的发展影响深远.若。,6,ccR,则下列命题正确的是（）

A.若贝！Jac?〉/?/

B.若a>b>c,贝U」一>---

b—ca—c

C.若a>b,—>—,贝1Jcib>0

ab

D.若a>/?>c,a+b+c=O,贝

【答案】BD

【解析】心。时，若。=0,则有〃/=A2,A选项错误；

11a-b_

若a，有所>>0涉一。>0，。-。>0,则屋；一二；=正而0>°,

得丁L>—L,B选项正确；

b—ca—c

若Wb—a<0,若一>不，得-=--->0,所以a/?<0,C选项错误；

ababab

若a>b>c,a+6+c=。，则有a>0,c<。，由Z?>c,ab>ac,D选项正确.故选：BD

【变式2-1](23-24高一上.吉林长白.月考)证明不等式：

(1)设〃>0力>0,求证:a3+b3>ab2+a2b;

(2)设求证：x2+y2+5>2(2x+y).

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

3323223232

【解析】证明：(1)H^ja+b-(ab+^)=^+b-ab-ab=a-ab+b-ab

=〃(片—Z?2)+Z?^Z;2—a2^=(/_/)(〃_"=(Q+Z?)(Q-"J,

因为Q>0,b>0,所以(a+b)(a—Z?)2NO,

所以〃+户—(用2+片勾之o,所以〃3+03z必2+/)；

(2)因为％2+/+5-2(2%+丁)=x2+y2+5-4x-2y=x2-4x+y2-2j+5=(x-2)2+(y-l)2>0,

所以％2+/+5N2(2元+y).

【变式2-2］（23-24高一上•河北保定・月考）设a/ccR,，+b+c=O,abc=l.

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）若〃>），证明〃3>。3.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）证明::（〃+b+c）2=a2+/+c2+2Qb+2ac+2bc=。，

ab+be+cct=-+/+c2）.

a,b,c不同时为0,则4+/?2+<:2〉o,ab+bc+ca=——(^a2+Z?2+c2j<0；

(2)—人3=(〃_人)(〃2+〃力+〃2).

2

「Q?+"》+人2=(Q+g。)+-^-/?>0,取等号的条件为a=b=0,

而〃>八・••等号无法取得，即4+次7+/=[〃+；6]+/2>0,

又〃>£>,a3—Z?3=(CL—b^(a"+ab+b~^>0,a3>b3-

【变式2-3］（23-24高一上.广东惠州・月考）已知兔糖水中有伤糖（6>a>0）,往糖水中加入，"g糖

（切>0）,（假设全部溶解）糖水更甜了.

（1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.

⑵利用（1）的结论证明命题：“若在VABC中。、b、c分别为角A、B、C所对的边长，贝U

cab„

-----<------H-------”

1+C1+Q1+Z?

【答案】（1）:a<产am；证明见解析；（2）证明见解析;

bb+m

【解析】（1）由题可得，£<一

bb+m

aa+mab+am—ab—bm(a—b)m

证明:因为广b>a>0,m>0,

b+mb(b+m)b(b+m)

m27c7cUK。a+m八aa+m

所以，a-b<0,Z?+m>0,从而丁一^----<0,BnRn—<-----

bb+mbb+m

x1

(2)由三角形三边关系，可得a+b>c,而函数y=4=l-—,为单调递增函数,

1+x1+x

c<c+(a+b-c)_a+b_a+b

1+c1+c+(a+b—c)1+a+b1+Q+Z71+a+Z?

aabb

------<----，一----<—

1+a+b1+a1+a+b1+b

,,aaab

故------+-------<---+---

1+Q+Z?1+Q+Z?1+Q1+b

b

所以，—<—+

1+c1+a1+b

【考点题型三】利用不等式的性质求取值范围

方法总结：利用不等式的性质求取值范围的一般思路

（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；

（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；

（3）结合不等式的传递性进行求解.

拓展：已知两个关于a/线性关系的取值范围，求另一个关于线性关系的取值范围.

根据条件p<mAa+njy<q,r<m,a+n2bWs确定"4a+n3b(p,q,r,s,zn；,H；,m2,H2,,H3)的取值范围,

一般采用待定系数法求解，即令〃73a+%6=，（"44+〃也）+〃（牲14+〃2》），然后通过比较系数建立方程组

求得尢〃的值.

【例3】(23-24高一上•江苏常州・月考)已知实数x,y满足-44x-y4-l,-l<4^-y<5,则9元一y的

取值范围是()

A.[-7,26]B.[-1,20]C.[4,15]D.[1,15]

【答案】B

【解析】设9x-y=，w(x-y)+〃(4x-y)=(m+4n)x—(m+ri)y,

5

m+4n=93

1

贝J1nQ，

\m+n=18

in=—

[3

58

所以9尤一y=一§(x—y)+§(4x—y),

x—y<-1,-1<4x—3^<5,

则*卜_y)q,_|w|(4x_y)q,

ss

所以一149x-y=-§(龙一y)+§(4x-y)420,故选：B.

【变式3-1]（23-24高一上•江苏镇江・月考）若实数满足：-2<x<l,0<x+y<2,贝口+2y的取值范

围为（）

A.（0,5）B.（-1,6）C.（T9）D.（-2,2）

【答案】B

【解析】由0<x+y<2,得0<2元+2y<4,

由一2<x<l,得一1<一尤<2,而尤+2y=（2x+2y）+（-x）,

因此-1<尤+2丁<6,所以无+2y的取值范围为（一1,6）.故选：B

【变式3-2]（23-24高一上•江苏无锡・月考）设实数a,6满足：-3<a+b<5,l<a-b<l,则4a+%的最大

值是________

【答案】22

【解析】由题意不妨设4a+2〃=帆(。+/?)+〃(4一匕)=(帆+几)々+(加一九)〃,

Im+n=4fm=3

贝I0,解得i，

\m-n=2[n=1

所以4a+2Z?=3(a+b)+(a—b),

注意至卜。《7,

所以一9<3(a+Z?)<15,—8=—9+l<4〃+2Z?=3(Q+Z?)+(a—b)<15+7=22,

[a+b=5{a=6

所以当且仅当7―即〈押，4a+2b取得最大值22,

\a—b=J=—1

综上所述：4Q+2)的最大值是22.

【变式3-3](23-24高一上.江苏常州・月考)(1)已知2<a<6,1<Z?<3,求。—力,人取值范围;

b

(2)已知1<〃+/?K5,-\<a-b<3,求3a-2b的取值范围.

【答案】(1)a-2b£(-4,4),—,6j；(2)3tz—2Z?e[—2,10]

【解析】(1)因为lvb<3,由不等式的性质可得-3v—bv-1,则-6v-2)v-2,

又2<a<6,故—4VQ—2Z?v4.

又一(一<1,2<a<6,故一<一〈6.

3b3b

综上2bw(-4,4),—e

(2)令3a—2Z?=m(a+Z?)+〃(a—Z?),(/n,〃£R),BP3a—2b={m+n)a+{m—n)b,

1

rcm=—

贝叫m+n=3c，解得7

\m-n=-2J

in=—

I2

则L/(a+b)/,

22、'222''2

所以一3+』<3(a-6)+工(a+6)<”+：,即一243a—26410.

综上3a-2。e[-2,10]

【考点题型四】利用基本不等式求最值

方法总结：在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.

①一正：各项均为正数；

②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值;

③三相等：含变数的各项均相等，取得最值.

【例4】（23-24高一上.江苏常州・月考）（多选）设正实数a,b满足a+6=l,贝U（）

B.而有最小值g

A.—+7有最小值4

ab

19

C.6+乐有最大值&D.ab-\■—b<——

216

【答案】ACD

【解析】A选项，由基本不等式得

当且仅当2即。=6=（时，等号成立，故A正确;

ab2

B选项，由基本不等式得a+b=l22，区，当且仅当。=6=］时，等号成立,

故而wg,即必最大值为:，B错误;

C选项，（&+斯）=a+b+2\[ab=1+2\[ab,

由B选项得，疯W：,故（而+扬『=1+2.<2

故G+仁0,当且仅当。=6=g时，等号成立，

夜+石有最大值及，C正确；

D选项，因为。+6=1,所以。=1一6,其中。<6<1,

2

113999

^ab-\--b=（l-b^b+—b=-b2+—Z7=+——=b——I+—<—，

-卜-"1641616

319

当匕=:时，等号成立，cib+—b<,D正确.故选：ACD

4216

【变式4-1］（23-24高一上•江苏南通・月考）（多选）若a,人均为正数，且满足2a+b=4,则（）

A.川的最大值为2B.++的最小值为4

C.3+1的最小值是4D.1+及的最小值为当

ab5

【答案】ACD

【解析】对于A：a,b均为正数，且满足2.+人=4,

2a+

2ab<=4,解得必42,当且仅当2a=h=2时取等号,

所以ab的最大值为2,故A正确；

对于B,a>0,b>0,则+=4,当且仅当a=Z?=1时取等号,

2々+。=4,当a=b=l时等式不成立，则等号取不到，

则的最小值不是4,故B不正确；

对于C：a,b均为正数，且满足2a+b=4,

4ci2〃+Z?aalba.、［/口e、［，ba口口4,口

二.一+—=-----+-=2+-+->2+2J——=4,当且仅当一=不，即〃=87=一时n取等号,

ababab\abab3

4a

所以？+f的最小值是4,故C正确；

ab

对于D：a,b均为正数，且满足2a+Z?=4,贝ijZ?=4—2a>。，

又a>0,解得0<a<2,

8|216、16

贝1]<?+/=/+(4-24=5a2-16fl+16=5a

当且仅当。=|时取等号，所以/+〃的最小值为1,故D正确.故选：ACD.

【变式4-2］（23-24高一上•江苏・月考）（多选）下列四个命题中，所有假命题为（）

A.a+b>2\［ab

19

B.设x,丫都是正数，若—+—=1,则的最小值是12

xy

、74

C.x-\——N4

x

hn

D.若ab>0,则f之2

ab

【答案】AB

【解析】对A：当”,人为负数时时，a+bN2寂不成立,故A是假命题；

对B：因为羽）都是正数，所以x+y=（x+y）］—।—I=10H----F—>10+2/——=16,

y）y%'y%

9xy

当且仅当一=上即y=3x=12时取等号，所以尤+y的最小值是16,故B为假命题;

yx

对C：由题意可知无2>0,所以彳2+之冯%2:=4,

xVx

当且仅当炉=：即x=±拒时取等号，故C是真命题；

X

对D：若ab>0,则2>0,f>0,所以2+^22、祖2=2,

abab\ab

当且仅当2=f即a=6时取等号，故D是真命题.故选：AB.

ab

【变式4-3]（23-24高一上.江苏无锡・月考）（多选）下列结论中，正确的结论有（）

A.函数y=x+，的最小值是2

X

B.如果尤>0,y>0,x+3y+xy=9,那么孙的最大值为3

2

c.函数〃无）r+5的最小值为5:

&+42

D.如果a>0,b>0,且----1------=1,那么的最小值为2

。+11+b

【答案】BCD

【解析】对A：当尸-1时，y=-l-l=-2,所以最小值不是2,故A错误；

对B：由已知可得9-召=x+3y22^/5^,解得0<^/^4粗，所以。（孙<3,

当且仅当尤=3>时成立，此时孙的最大值为3,故B正确；

对C：函数f（x）设《X2+4=t，t>2,

丁=/+1在[2,+8）上单调递增，所以t=2时，取最大值g,故C正确;

〃

又寸D：〃+/?=〃+1+Z?+1—2=[(<2+1)+(Z2+1)](-------1-------)—2=1+1—2d---------1-------22,b+1+1_2

。+1Z?+1〃+1b+1a+\b+1'

当且仅当〃=〃时取得最小值为2,故D正确.故选：BCD.

314

【变式4-41（23-24高一上.江苏南通・月考）已知x〉-三，J>0,且2x+y=2,则^—^+一的最小值

22x+3y

为.

【答案】|9

【解析】因为2x+y=2,所以（2尤+3）+y=5,

11+「^)+41

52x+3y5

N5+23丁19

5-5

当且仅当—"2x+3）,即％=一;,y=5时等号成立,

2%+3y33

149

所以e+7的最小值为手

49

【变式4-5】（233高一上・江苏盐城・月考）已知正实数Q满足x+『5，则不十工行的最小值

为__________

【答案】5

【解析】因为正实数x，y满足x+y=g,所以3x+3y=5,

而3x+3y=（x+2y）+（2x+y）=5,

七+/?>=?［七+/?）«+2小（2》+刈

」义14+43+，）+9（》+2，）+9

5x+2y2犬+y

r../]、

=-13+—-----—H...—1>1fl3+2/（2元+»9（尤+21」（13+12）=5,

4（2x+y）9（x+2y}541

当且仅当‘丁=—一"且即％=：y=：时取等,

x+2y2x+y333

故答案为：5.

hn

【变式4-6】⑵3高一上・江苏南京・月考）已知正数。”满足〃+则丁目的最小值为

3

【答案匕

b—a।______b>—।-a-----b=—।-\-----

【解析】因为〃+2/?之。>0,故〃2b+ca4b+aa+\'

a

b]=1U/+1+11八U1/+1・11_3

又—-----------N2

J5+14.b.44百丁4.

a4-+1，a

aaa

［、_1,

当且仅当Z（）=3］，即时1等号成立.

4-+1a4

a

故夕盛的最小值为%

【考点题型五】基本不等式恒成立问题

方法总结：不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下

可以把参数分离出来.常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即丁2加恒成立0ymin2根；

yVm恒成立oy111ax.但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法.

41

【例5】(23-24高一上•江苏徐州・月考)已知正实数满足--+—=1,不等式加4，+2b恒成立，则

a+bb+1

实数机的取值范围是()

A.m<6B.m<5C.m<9D.m<8

【答案】D

4+1

【解析】易知a+26+l=(a+b+6+l)[^^+L[=5+^^+^^>5+2/(^)=9,

(a+bb+lja+bb+1ya+bb+1

所以可得a+2Z?N8；

当且仅当巴丝D="即。=4/=2时，等号成立；

a+bb-\-l

依题意需满足机+所以mW8.故选：D

112

【变式5-1](23-24高一上・江苏扬州・月考)设。<根<大，若一+二丁之左恒成立，贝必的最大值为

2m1—2m

()

A.16B.2C.8D.1

【答案】C

【解析】因为。〈加v',0<2m<1,/.2m+(1-2m)=1,

2

i12222(1-2m)4m..12(1-2m)4m-.

则mt一+-----=(——+-----)[2m+(1-2m)]=---------+----------+4>2j-------------------+4=8o,

m1—2m2m1—2m2m1—2my2m1—2m

当且仅当丝网=/L,即根=!时取得等号，

2mI-2m4

17

由于一+丁丁2左恒成立，故左W8,

m1—2m

即左的最大值为8,故选：C

112

【变式5-2](23-24高一上•江苏连云港•月考)已知x>0,y>0,且--+-=f,若x+y>/+3利恒成

x+2y3

立，则实数机的取值范围是()

A.(-4,6)B.(-3,0)C.(-4,1)D.(1,3)

【答案】C

【解析】因为尤>0,y>。，且17+'=|',

x+2y3

所以2+>42+$++曰』+4+丁+1臼2+2.^~y兄+2、

=6,

x+2y,

vx+2

当且仅当—=——，即y=3,x=l时取等号,

x+2y

所以无+>24,因为x+y+3〃7恒成立，所以“r+3桃<4,

即(根-1)(根+4)<0,解得所以实数机的取值范围是(-4,1).故选：C

【变式5-】(23-24高一上•江苏苏州・月考)已知x>0,y>0S.4x+y=xy.若x+y>M+8利恒成立，则

实数机的取值范围是（）

A.1根|根2mB.{耳机4-3}C.{时机21}D.{wz|-9V机<1}

【答案】D

41

【解析】由x>0,y>0,4x+y=孙得：一+-=1,

yx

.-.x+y=（x+y）|-+-|=5+—+^>5+2—.^-9（当且仅当%=3,y=6时取等号）,

I〉刈y%\yx

尤+y+8%恒成立，m2+8/77<9,解得：-9<m<1,

即实数机的取值范围为｛时-故选：D.

【考点题型六】利用基本不等式证明不等式

方法总结：利用基本不等式证明不等式

(1)解题思路：从已知不等式和条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化

为需要证明的问题.

(2)基本方法：利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用

基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的目的；若题

目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”

的代换.另外，解题中要时刻注意等号能否取到.

【例6】（23-24高一上•江苏无锡・月考）证明:

“、什7八c――bb+m

(1)右a>10,机>0,求证：—<----；

aa+m

「、升八，八八、十2aba+b

(2)右。>0,%>0,aw%7,求证：----<----.

a+b2

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】(1)证明：由a>6>0,m>0得〃一a<0,〃+根>。，

bb+mb(a+m)~a(b+m)m(b-a)

故--------=----------------=--------<0,

aa+ma(a+m)a(a+m)

*2bb+m

所以一<----;

aa+m

(2)证明：由题意a>0,〃>0,awb,故Q+Z?>2A/^,

,,lablabr-ra+blaba+b

故----<—i——vab<-------即----<----

a+b2•2a+b2

【变式6-1］（23-24高一上•江苏宿迁・月考）已知。，。为正数，证明下列不等式成立:

⑴

ab

（2）aH-------23（其中a>1）

a-1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）因为。，6为正数，

所以2+乒=2,当且仅当，=人时取等号，

ab\ab

所以。+晟22