2024-2025学年天津市某中学高三数学上学期第一次月考试卷（附答案解析）

高三年级统练二（数学）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

L已知集合“斗初/一3叫，”{1,2},贝囚人（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-2,-1,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意列举法表示集合A,再根据并集的运算求解即可.

【详解】解：由题，^={xeZ|x2-3<0}={-l,0,l},5={1,2},

则NU3={-1,0,1,2}.

故选：D.

2.已知a,6eR,则“）>/”是“标>的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据幕函数的单调性可得。>6,然后结合必要条件、充分条件的判定方法即可得出结论.

1

【详解】根据事函数的性质知，函数6在R上单调递增

所以当U>湛时，a>b,a,beR,

当6<a<0时，JZ、、历无意义，

则0”是“G>归”的不充分条件；

当夜>6时，a>b>0,

则是“&〉〃”的必要条件；

所以*>/'是“瓜〉折’的必要不充分条件.

故选：B

3.设。=2°,、6=[g],c=log020.3,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出a,的范围，然后即可得出应仇。的大小关系.

­.­(1)-=20.3>20.2>20=1,log020.3<log0.20.2.1,

c<a<b.

故选：D

4.曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOG。给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了

如图所示的双J型曲线ZOGO,以下4个函数中最能拟合该曲线的是()

<xJ<xJ

【答案】A

【解析】

【分析】根据了=/ln|x|偶函数，排除B项；由g［：］<T，排除C项，由当xe(0,l)时，函数

j=^x-1^ln|x|>0,可排除D,由函数。(x)=xln|x|为奇函数，且当x>0时，利用导数求得函数的单

调性，结合。(1)=0,得到A符合题意，即可求解.

【详解】由函数/(力=/1!1印，其定义域为(一叫0)。(0,+8),关于原点对称，

可得/(—X)=(—x)2InI-X|=x2InIX|=/(x),

所以函数y=x21n|x|为偶函数，所以排除B；

由函数g(x)=(x+jln|x|,可得g(,J=—(e+：J<T，故排除c；

由函数力(x)=［x—』］ln|x|,当xe(O,l)时，可得x—l<0且In|x|<0,则〃(x)>0,

VxJx

故排除D.

由函数G(X)=XM|X|的定义域为(-°o,0)U(0,+℃),关于原点对称，

且°(-x)=-xln卜#=_xlnM=_0(x),所以。(x)为奇函数,图象关于原点对称，

由x>0时，0(x)=xlnx,可得0'(x)=lnx+l,

当xe(O-)时，o'(x)<0,9(x)单调递减；

e

当xe(』,+s)时，0'(力>0,°(x)单调递增，且°(1)=0,所以A项符合题意.

e

故选：A.

5.已知过点尸(2,2)的直线/与圆。：(1—1)2+歹2=5相切，且与直线/］：QX+y+l=O垂直，贝！

()

11

A.2B.—C.--D.—2

22

【答案】D

【解析】

【分析】点尸(2,2)在已知圆上，由此可求出CP的斜率，由已知得与=自?，由此即可得解.

2-0

【详解】点P(2,2)在圆(x—1)2+/=5匕贝1］七>=——=2,

2—1

设切线斜率为左，

所以_〃=勺=_』=kCP=2,则Q=—2.

1k

故选：D.

6.已知函数/⑺满足/⑴-/(7-x)=0,且在区间正［上单调递减，则/(X)的解析式可能是

A./(x)=sinxB./(x)=sin2xC./(x)=cosxD./(x)=cos2x

【答案】D

【解析】

【分析】根据/(X)=/(7-X)可得直线X=］是/⑴图象的对称轴，再根据f(x)在区间C上单调

递减对各选项进行排除即可.

【详解】由题意/⑴=/(l-%),所以直线x=1是/(X)图象的对称轴，可以排除选项B,C.又因为/(X)在

(7171)

区间4,5■上单调递减，排除A.

故选：D.

【点睛】本题考查三角函数的性质判定,属于基础题.

7.已知a〉l,b>l,a=b\则Iga+310gz,10的最小值为()

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【解析】

【分析】由换底公式和基本不等式即可求解.

【详解】由6〉1知log/0〉0,

结合4=人3,以及换底公式可知,

lga+310gbi0

=lga+31og610

Jog"?

+31ogblO

logJO

3

+310gz,10

1嗝10

3

>2-31og,,10=6,

logJO

3

当且仅当，-——=3^,10,

logJO

即logP0=l时等号成立,

即6=10时等号成立,

故Iga+310gz,10的最小值为6,

故选：B.

8.已知向量N=（2,3）,B=m-,且k+2耳//不，则向量不在向量。上的投影向量坐标是（）.

\2）

【答案】c

【解析】

【分析】通过向量线性运算、向量平行求得参数机，根据投影向量求法求解即可.

’3、

【详解】因为向量M=（2,3）,b=m,-,

\2/

所以2+2B=（2+2%6）,

因为（1+23）///,贝i]2x6=3（2+2加），解得机=1,

所以B=（l,ij,

_____2+9

所以向量5在向量;;上的投影向量为与£.二-,2.（2,3）

aaA/22+32@+3

故选：C.

22

9.已知椭圆与+与=1伍〉0,6〉0）在左、右焦点分别为《，/马，点尸在椭圆上，。是坐标原点,

ab

“卜四尸片，4尸6=120。，则椭圆的离心率是（）

V10-V2V5-1

A.-----------D.-------

22

CA/5-V2DA/6-A/2

22

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知卢周=行。，根据椭圆的定义可知卢阊=2"岳，在△片尸鸟中，由余弦定理可

得。2+/丝—2/=0,进而可得e2+6e—2=0,由此即可求出结果.

【详解】设椭圆*+5=1伍〉0,6〉0）的离心率为e；

因为耳心卜&|尸£,所以2°=行|尸引，即归用=岳，

因为|期|+|尸耳|=2a,所以卢闾=2"岳，

所以在△大尸耳中，由余弦定理可得4c2=（、历c）+（2tz-V2cj-2xJ5cx（2a-J5c）x

SPc2+42ac-2a~=0>所以/+后6-2=0，

故选：A.

二、填空题（将正确答案填在横线上）

10.已知i是虚数单位，Z（5—3i）=1—4i,贝忖=

【答案】—

2

【解析】

【分析】利用复数运算法则求出复数z,在求出模长即可.

1—4i_（1—4i）（5+3i）17—17i11.

---------1

5-3i（5-3i）（5+3i）3422

则忖=

故答案:

11.在（x—J）的展开式中，的系数为.

45

【答案】—##22.5

2

【解析】

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.

x-1

45

故答案为：—

2

12.过点〃（3,2）作一条直线/截圆/+/一2》+4〉—4=0所得弦长为2石，则直线/的方程是

【答案】x=3或3x—4>-1=0

【解析】

【分析】待定系数法设直线，由弦长公式求解

【详解］》2+>2一2》+4〉一4=0可化为（》—1）2+（7+2）2=9

故圆心（1,-2）到直线距离d=V9^5=2

若直线/斜率不存在，方程为x=3,则d=2,满足题意

若直线/斜率存在，设其方程为y—2=©x—3）,依-y+2-3左=0

2左+4|3

d二=2'解得左二'止匕时直线方程为3x—4y—1=0

VF+i

故答案为：x=3或3x—4y—1=0

13.有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%,第二台车床加工的优秀率为

10%.假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为；若

把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%,第二台车床加工的零件数占

总数的40%,现任取一个零件，则它是优秀品的概率为.

【答案】①.1.5%13%

【解析】

【分析】根据独立事件的乘法公式即可求解第一空，根据全概率公式即可求解第二空.

【详解】由于第一台车床加工的优秀率为15%,第二台车床加工的优秀率为10%,所以两台车床加工零件,

同时出现优秀品的概率为15%xl0%=1.5%

记8“加工的零件为优秀品"，A="零件为第1台车床加工“，A=”零件为第2台车床加工“，

0(2)=60%,尸(7)=40%,尸(8|/)=15%,尸(3]N)=10%,

由全概率公式可得P(8)=P(B|/)+P(N)P(例彳)=60%x15%+40%x10%=13%,

故答案为：1.5%,13%

14.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象

征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类”一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了

全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形48coM（如图②）.已知正六边形的边长

为1,点M满足而=g（与+#）,则|而|=；若点P是线段8c上的动点（包括

端点），则NA.方A的最小值是.

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，求出各点坐标，利用平面向量数量积的坐标运算求解即可.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，

则幺（一5（；，—/）,£（一；，"），/（T，°）'

2222

7\

——►1—►—►1J3

j(；)2+亭2=(

__.—.(1百、

设59=43C,(0V4VI),则3尸=23。=-/l--/I

(252J

.•汨=砺+而=砺+/丽=七+4,一与沿，

2222

...旅=而一次=(1+：,孚,丽=而—砺=(；字—圆

~r^yrg(\丸A/3/1,/Xy/3Arr1(Q1)1

/.AP-DP=(l^----—V3)=2Q2-A=\2----

9^^\j।

当4=!■时，Q.丽的最小值为一；

故答案为：］；-—.

24

IxlX<TYl

15.已知函数/(x)={,115，其中山〉0.若/(x)在区间(0，+8)上单调递增，则机的取

x-2mx+4m,x>m

值范围是；若存在实数b,使得关于x的方程/(x)=6有三个不同的根，则机的取值范围是

【答案】①.(03]②.⑸+⑹

【解析】

【分析】由题意画出函数/(x)的图象，结合图象可得关于加的不等式，求解得答案.

IxlxWm

【详解】机〉0时，函数/(x)=一的图象如下图所示：

[X-2mx+4m,x>m

要使/(X)在区间(o，+8)上单调递增，贝什・47。加2,解得04加43,又m>0,所以机的取值范围

是（o,3］；

要使关于X的方程/（x）=b有三个不同的根，贝14加-加2<机，即机2>3.>.,所以机的取值范围是

（3,+Q0）,

故答案为：（0,3］；（3,+8）.

【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，方程的根的个数等相关问题，运用数形结合是常采用的方

法.

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

16.在V/8C中，内角A,B,C所对的边分别为明b,c,6=2，？，C=2,

（1）求。的值；

（2）求sinA的值；

（3）求sin（8-2Z）的值.

【答案】（1）a=6

（八.“3721

⑵sin4=----

14

（3）—巫

14

【解析】

【分析】（1）由余弦定理计算可得；

（2）由正弦定理计算可得；

（3）由余弦定理求出cosN,即可求出cos2N、sin2^,再由两角差的正弦公式计算可得.

【小问1详解】

由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB.

所以28=/+4—2ax2义万，即a?—2a—24=0，

解得a=6或—4（舍负），所以a=6.

【小问2详解】

由正弦定理知，」一=一"，

smAsmB

6_277

所以sin幺G，

V

所以仙“:誓.

【小问3详解】

28+4-36_V7

由余弦定理知，cos4=3^——

2bc2x2将x2-14'

13%n

所以cos2N=2cos2A-l=---,sin2N=2sinZcosZ=—-—

1414

所以sin(5-2A)=sinBcos2A-cosBsin2A

G『13、1/305G

=------X-------------------X-------------=----------------

2114J21414

17.已知函数/(x)=2A/3sinxcosx+2sin2x-1.

(1)求函数/(%)的单调递增区间；

JT

(2)在ZL4BC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若/(4)=2,C=/C=2,求2L4BC的面积.

【答案】(1)kyi---,k7i+—,kGZ；(2)3+G.

163」2

【解析】

7T

【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得/'(x)=2sin(2x--),利用正弦函数的

单调性即可求解其单调递增区间.

JTJT71\\71

(2)由题意可得sin(2A--)=1,结合范围2力-一G(——,——)，可求4的值，由正弦定理可得

6666

〃，由余弦定理6,进而根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】(1)Vf(x)=2y/3sinxcosx+2sin2x—1=A/3sin2x-cos2x=2sin(2x-----),

6

TCJC冗TC7T

令---«2x------—，kGZ,解得左兀---------WxSkjiT—，kRZ,

26263

7T7T

・,•函数/(x)的单调递增区间为：[左兀---，ATIH—],k^Zj.

63

71

(2)V/(A)=2sin(2^--)=2,

/兀、

sin(2A-----)=1,

6

/、n/〃、

£(0,7i)2A-----£(------，------)，

f666

7TTTTT

:,2A--=-,解得/=△,

623

TC

VC=—,c=2,

4

,A2x—

由正弦定理上=工，可得=M

sinAsinCsinC，2

V

，由余弦定理。2=62+02-26CCOSH可得6=尻+4-2X/JX2X—,解得6=1+J§\(负值舍去),

2

S^ABC=absinC=—x^6x(14-^/3)又曲~=3+刎.

2222

【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理，余弦定理，三角形的

面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.如图，P—48。是一个四棱锥，已知四边形4BCD是梯形，尸。，平面45CD,ADLCD,

ABI/CD,PD=AD=AB=1,CD=2,点£是棱尸C的中点，点尸在棱P8上，PF=+B.

2

(1)证明：直线〃平面040；

(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值；

(3)求平面DEb与平面Z5CQ的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑶巫

7

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线〃平面尸ZQ.

(2)利用向量法求得直线BE与平面PAD所成角的正弦值.

（3）利用向量法求得平面DM与平面ABCD的夹角的余弦值.

【小问1详解】

以。为坐标原点，以方N,反，赤的方向为MN/轴的正方向建立空间直角坐标系,

则须1,1,0),C(0,2,0),口0,0,1),£卜1,；

nx=（0,1,0）为平面尸4D的一个法向量,

3<1、____

因为8£=[-1,0,5｝所以8E-"j=0,所以8EJ.4,

因为平面尸4D,所以〃平面尸4D.

【小问2详解】

设〃2=（x，N，z）为平面P5D的一个法向量，

&-DB=x+y=0—/、

则，故可设〃2=（-1」,0），

,DP=z—0

所以cos仅瓦可=BE-n21

BE

所以直线BE与平面PAD成角的正弦值为巫.

5

【小问3详解】

/、n&•DE-0

设《二（x/,z）为平面Q£F的一个法向量，贝匹—一八,

n3-DF-0

因为尸

y+—z=0

122，取歹=1，则后=(3,1，-2).

所以《1

—X+—V+—Z=0

〔333

=（0,0,1）为平面ABCD的一个法向量,

V14

~T,

所以平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值为巫.

7

22

19.在平面直角坐标系xQv中，已知椭圆C：二+鼻=1伍〉6〉0)长轴是短轴的百倍,,I)在椭

ab~

圆。上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/与圆O：/+/=2相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P,。两点.

①求证：以P。为直径的圆经过原点。；

②若△0P。的面积为罕，求直线/的方程.

【答案】(1)：+[=1；①证明见解析，②了二―也工+#或＞=—字x+1.

【解析】

【分析】

(1)由题意，列出方程组，求得力力2的值，进而得到方程;

(2)①直线尸。的方程为＞=依+加，联立方程，根据韦达定理，计算出0P。0=0,可得

ZPOQ^90°,即以为直径的圆过原点。；

②根据弦长公式，三角形的面积公式，列出方程，求得左的值，即可求得直线分方程.

【详解】(1)由题意椭圆C长轴是短轴的近倍，点(2,1)在椭圆C上，

a=42b

解得〃=3,所以椭圆。的方程为1

可得<a=b2+c2

411

—7+—r=I

b

（2）①因为切点在第一象限，直线的斜率存在,

不妨设直线P0的方程为了=6+比，即日一了+机=0,且左<0,m>0,

ImI/-

因为直线与圆相切，所以/,=<2,即加2=2-2+2,

J1+公

kx-v+m=0

联立〈2.2>得（1+2左2）x?+4如7x+2〃』-6=0,

x+2y=6

设玖再，乂），Q（X2,y2）,则有％+超=一;——V-xx,=-----7

]+2左-1+2左2

2

所以ME=+W）（AX2+ni）=IcXyX^+km®+x,）+m

2左2根2—6左24k2m22m2-6k2

----------------------\-m-........

1+2左21+2左21+2左2

2m2—6m2—6k23（小—2）—6左2

所以OPOQ=xxx2+yxy2---------；----二V

1+2左21+2左21+2左2

所以OPLOQ,即NPOQ=90。，即以尸。为直径的圆过原点。.

②由①可得…一凛’子没’—

2血J1+左2,4公+1

所以\PQ\=J1+左2•J（X]+%）2—4苞々

1+2-2

点。到直线尸0的距离为近，

可得…冷巫吧解得心2,或公4

0109

当〃=2时’/=8,当公汽时，"="

BV3

所以左二—m=-J~69或左=----m=——

42

则直线方程为y=—岳+指或y=—字x+[.

【点睛】对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线的方程，应用一

元二次方程根与系数的关系进行转化求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较

好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力.

20.已知函数/(x)=ae*—lnx-1.

(1)当a=l时，求曲线/(x)在点(1,/。))处的切线方程；

(2)设g(x)=/(")上八叶1,若g(x)21恒成立，求实数a的取值范围；

X

(3)若/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.

「11O

【答案】(1)J=(e-l)x；(2)—,+s；(3)0,-.

Le)Iej

【解析】

【分析】(1)当a=l时，/(x)=ex-tax-