平面向量知识点归纳

-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-Kn#若1=（x,y）,贝中『=/+广或同二次可7.设1=（%,乂），5=（x2,y2）,则己_L6OxLx2+y\y2=0.设。、〃都是非零向量，1=（七,）［）,5=（&,尤），夕是1与6的夹角，贝ijab%乂+%刈cosO=——二= __.a\b收+）:"；+£知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向■和平面的法向・.直线的方向向量：若A、B是直线/上的任意两点，则A片为直线/的一个方向向量；与A月平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.⑵.平面的法向量：若向量百所在直线垂直于平面明则称这个向量垂直于平面％记作1_La,如果3la,那么向量［叫做平面a的法向量.⑶，平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系.②设平面a的法向量为］=（x,y,z）.③求出平面内两个不共线向量的坐标£二（《,外,生），了=（4，a，4）.・一-•〃・a=0④根据法向量定义建立方程组《一一./?/?=0⑤解方程组，取其中一组解，即得平面。的法向量.1、用向■方法判定空间中的平行关系（1）线线平行设直线44的方向向量分别是。、儿则要证明乙〃心只需证明。〃即a=kb（keR）.即：两直线平行或重合O两直线的方向向量共线。⑵线面平行①（法一）设直线/的方向向量是。，平面。的法向量是“，则要证明/〃a,只需证明。_L〃，即g〃=0.即：直线与平面平行=直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②）（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面。的法向量为〃，平面。的法向量为L要证a〃0，只需证〃〃v,即证〃=41即：两平面平行或重合O两平面的法向量共线。3、用向■方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线乙，的方向向量分别是则要证明乙，\只需证明［，瓦即即：两直线垂直.两直线的方向向量垂直。⑵线面垂直①（法一）设直线/的方向向量是心平面。的法向量是晨则要证明11a,只需证明即4=%》.②（法二）设直线/的方向向量是。，平面。内的两个相交向量分别为m>n,右<，则/_La.。-〃=0即：直线与平面垂直=直线的方向向量与平面的法向量共线=直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面a的法向量为『平面/的法向量为正要证只需证力，1即证〃•v=0.即：两平面垂直"两平面的法向量垂直。4、利用向■求空间角⑴求异面直线所成的角已知。，方为两异面直线，A,C与B,D分别是。力上的任意两点，。力所成的角为仇acbd\贝IJcos0=_.时叫⑵求直线和平面所成的角1定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角.②求法：设直线/的方向向量为以平面a的法向量为〃，直线与平面所成的角为夕。与〃的夹角为口则。为°的余角或。的补角角为夕。与〃的夹角为口则。为°的余角或。的补角的余角.即有：a'U的余角.即有：a'Usin0=|cos时=-^-=7au⑶求二面角1定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角是指在二面角a-/-。的棱上任取一点0,分别在两个半平面内作射线AO_L/,6O_L/,则405为二面角a-/—。的平面角.②求法:设二面角的两个半平面的法向量分别为正、加再设正、5的夹角为口二面角。一/_々的平面角为内则二面角6为石、［的夹角。或其补角冗一。根据具体图形确定0是锐角或是钝角：m-n♦如果。是锐角，则COSB=|COSW==^,mnI• —〃八n即，=arccos■——；mntn-n♦如果6是钝角,贝IJcosd=—|cos8|=-=T7mn

5、利用法向■求空间距离⑴点Q到直线'距离若Q为直线/外的一点，P在直线/上，口为直线/的方向向量，b=PQ,则点Q到直线/距离为 "诘"列"为一"2⑵点A到平画区的距离若点尸为平面。外一点，点M为平面。内任一点，平面。的法向量为n,则P到平面。的距离就等于坏在法向量环方向上的投影的绝对值.即"=MPcos(〃,M户)\n-MP即"=MPcos(〃,M户)\n-MP="P1 1\nMP小MPn(3)直线上与平面3之间的距离当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化为求直线上任-离。即1:H⑷两平行平面之间的距离一点到平面的距离,即转化为点面距利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即离。即d=n.烟⑸异面直线间的距离设向量〃与两异面直线。，〃都垂直，M£4,PsA则两异面直线。力间的距离d就是赤在向量3方向上投影的绝对值。n-MP即d=6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直.那么它也和这条斜线垂直.P01a,Owa推理模式：PA[}a=Aaua,a±OA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直.那么它也和这条斜线的射影垂直.PO_La,Osa推理模式：PA^a=A ^alAOaua.a±AP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC是平面。内的任一条直线，AD是。的一条斜线AB在。内的射影,且BD1AD,垂足为D.设AB与。（AD）所成的角为％,AD与AC所成的角为名，AB与AC所成的角为夕.则cos0=cos0.cos夕、.X 一8、面积射影定理已知平面。内一个多边形的面积为S（S原），它在平面。内的射影图形的面积为S〈S射），平面。与平面。所成的二面角的大小为锐二面角色则3"三=包.SS原9、一个结论展度无7的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为卜/,、加夹角分别为4、%。3,则有 /2= <=>cos2+COS2+cos;0,=1<=>sin2q+sin2&+sur凡=2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.基础练习一选择题.如图，点。是正六边形炉的中心，则以图中点A,B,C,D,E,凡。中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有()A.6个 B.7个C.8个 D.9个解析：选D.与向量共线的向量有，，，，，，，，共9个，故选D..设不共线的两个非零向量级,心，且封门+益)〃(q+心2),则实数k的值为( )A.1B.-1C.±1D.0答案：A.已知向量是不共线向量仃，G，给出下列各组向量：①。=26，b=ei+e2i®a=2el—e2>b=—ei+；G；③a=ei+e2,b=—2ei—2ei；④a=ei+e2,b=eL"其中共线的向量组共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B.己知E、F分别为四边形ABCD的边CD、8c边上的中点，设=a,=b,则=A.g(a+b) B.—+b)C./(a—b) D-(/?—a)答案：B.下列计算正确的有()①(一7)x6。=-42m②a—2b+(2a+2b)=3a：③a+/?-（4+/?）=0.A.0个B.1个C.2个D.3个解析：①对，②对，③错，因为〃+/?—（。+））=0.答案：C.化简一+所得结果是（）A・ B.C・0D・答案：c.在"BC中,||=||=||=1,则|一|的值为（ ）A.0B.1 C币 D.2答案：B.已知向量。〃〃，且同＞|切＞0,则向量。+人的方向（）A.与向量。方向相同B.与向量。方向相反C.与向量〃方向相同D.与向量〃方向相反答案：A.在平行四边形ABCO中，对角线AC与30交于点。，+=九则2=答案：2.向量（+）+（+）+等于（）A・B.C・D・解析：（+）+（+）+=（+）+（+）+=++=.故选c.答案：C.如果6八62是平面a内所有向量的一组基底，那么（）A.若实数3、使九6/+4202=。，则九=22=。B.空间任一向量。可以表示为4=2⑼+后62,这里々、心是实数C.对实数力、入2,九一+入e2不一定在平面a内D.对平面a中的任一向量。，使⑼+心々的实数九、心有无数对答案：A.如果3门+462=。,261+3改=从其中a,b为已知向量，则ei=答案：ei=3a—4b益=-2a+3〃.设内，G是平面内一组基底，如果=36-2e?,=4ei+G，=3ei—9e2f则共线的三点是()A、B、C B.B、C、DC.A.B、D D.A、。、D答案：C4.设4，&是平面内所有向量的一组基底，则下而四组向量中，不能作为基底的是()A.仃+仁和3仃-2q和4e2—6(?i61+262和6?+261D.女和61+62解析：•••4e2—6ei=-2(34一2女)，A3^i—2^2与4e2~6ei共线，故选B.答案：B.若=(2,3),且点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为()A.(1,1) B.(-b1)C.(3,5) D,(4,4)答案：C.已知平行四边形Q4BC(。为原点)，=(2,0),=(3,1),则OC等于()A.(1,1) B.(1,-1)

C.(一C.(一1，-1)D.(-14)解析：==-=(3J)-(2,0)=(1,1),故选A.答案：A.若向量a=(l,l),b=(l,-1),c=(—l,2),则。等于(答案：B.若a=(2,3),b=(4,—1+y),且则y=( )A.6B.5C.7D.8答案：C32.已知点M是线段AB上的一点，点P是平面上任意一点，="+t,若=九则2等于()a]b.4 c.1^ d.1解析：用，表示向量，.解析：用，表示向量，.答案：DTOC\o"1-5"\h\zL若向量。、方满足同=r=1,。与6的夹角为6足,则。等于( )1 3A- B-C.1+坐 D.2解析:选Baa+a"=|aF+|a悯85600=1+；=,.2.设a,b,c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列结论正确的是()A.(ab)c—(c-a)b=0B.。・〃=0=。=0或b=0C.(Zrc)。一(a,c)b不与c垂直D.{3a+4by(3n-4b)=9|a|2-16|/?|2

解析：选D,由于数量积是实数，因此g乃)c,9aM分别表示与c,b共线的向量，运算结果不为0,故A错误；当(山,。与〃都不为零向量时，也有。为=0,故B错误；[(b-c)a—(a-c)b]c=(bc)ac—{auc)bc=0,故C错误：(3n+4h)(3a—4b)=9a2—16b2—12a-b+12a-b=9|肝一16|年.TOC\o"1-5"\h\z.。=(-4,3),b=(5,6),则3间2—4。必等于( )A.23 B.57C.63 D.83解析：选D.V|rz|=y](—4)2+32—5,。力=—4x5+3x6=—2, 3|a|2—467-Z?=3x52—4x(—2)=83.故选D..已知A(2,1),8(3,2),C(-l,4),则△,48。是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.任意三角形解析：选B」=(l,1)-(-3,3)=—3+3=0.故选B.1.设坐标原点为。，已知过点(0,今的直线交函数的图象于A、B两点,则•的值为()TOC\o"1-5"\h\z4A-4 B-3C-- D --» 3解析：选C.由题意知直线的斜率存在可设为k,则直线方程为y=kx+^,与尸*联立得;.\x2—2kx—1=0,AxiX2=-1,Xi+x2=2k,yiv：=■+乡(丘+'=.修4+；+""|=一4+炉+；=；,. , 1,1 3.・•=总改+)，1竺=-1+w=一1二填空题2.已知A,B,C是不共线的三点，向量旭与向量是平行向量，与是共线向量，则机■解析：:A,B,。不共线，，与不共线，又必与，都共线，A/n=0.答案：06.已知11=⑷=3,11=1)1=3,AAOB=120°,则1〃+81=答案：35.已知向量〃，〃不共线，实x,y5.已知向量〃，〃不共线，实x,y满足(3x—4y)”+(2x—3y)〃=6a+3b9贝!)x—y=解析：由题意，得3x—4y=6且2r—3y=3,解得x=6,y=3,Ax—j=3.答案:36.如下图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G,若=。,=b,用。、力表示=解析：••・£、户分别为相应边中点,33 3 3••・=4=4（。+〃）=乃+/・~ 3 3答案:京+力4.已知。=（1,2）4.已知。=（1,2）,b=（2,3）,实y满足xa+yb=(3,4),则*=答案：一1.若将向量。=(小,1)按逆时针方向旋转]得到向量b,则b的坐标为.答案：(-L小).已知平行四边形A3CD中，A(l,l),B(6,l),C(8,5),则点。的坐标为.答案：(3,5).作用于原点的两个力Fi=(2,2),尸2=(1,3),为使它们平衡，需加力尸3=答案：(-3,-5).已知口ABC。四个顶点的坐标为4(5,7),以3,x),C(2,3),D(4