2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.3函数的奇偶性第2课时学案含解析新人教B版必修第一册

3.1.3函数的奇偶性第2课时学习目标1.驾驭函数奇偶性的简洁应用.2.了解函数图像的对称轴、对称中心满意的条件.自主预习1.函数的奇偶性与单调性的性质(1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上为增函数(减函数),则f(x)在[-b,-a]上为(函数),即在关于原点对称的区间上单调性.

(2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上为增函数(减函数),则f(x)在[-b,-a]上为(函数),即在关于原点对称的区间上单调性.

2.奇偶函数的运算性质在公共定义域内:(1)两个奇函数的和函数是函数,积函数是函数;

(2)两个偶函数的和函数、积函数都是函数;

(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是函数.

3.函数的对称轴与对称中心(1)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(T+x)=f(T-x)(T为常数),则x=是f(x)的对称轴.

(2)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数),则是f(x)的对称中心.

课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1(1)函数f(x)是R上的偶函数,且当x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)=.

(2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)=.

【训练1】(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式;(2)已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,当x∈(-∞,0)时,求f(x)的解析式.题型二利用奇偶性探讨函数的性质例2探讨函数f(x)=x2-2|x|+1的单调性,并求出f(x)的最值.【训练2】探讨函数f(x)=x+1x的单调性,并写出函数的值域题型三证明函数图像的对称性例3求证:二次函数f(x)=-x2-2x+1的图像关于x=-1对称.【训练3】证明函数f(x)=xx+1的图像关于点(-1,1)课堂练习1.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是()A.f(x)=-x(x+2) B.f(x)=x(x-2)C.f(x)=-x(x-2) D.f(x)=x(x+2)2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()A.1 B.2 C.3 D.43.设函数y=f(x)是偶函数,若f(-3)+f(-1)-5=f(3)+f(1)+a,则a=.

4.若f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为.

5.证明函数f(x)=1x+1的图像关于(-1,0)核心素养专练1.假如函数F(x)=2x-3,x>0,f(2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是.

3.若函数f(x)=x2-2ax+3图像的对称轴为x=1,则当x∈[-1,2]时,f(x)的值域为.

4.已知函数f(x)=x+ax(a>0)(1)推断函数f(x)的奇偶性并证明.(2)若a=4,证明:函数f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.5.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.(1)求b值;(2)若f(x)在[0,2]上单调递增,且f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.参考答案自主预习略课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1解析:(1)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).因为函数f(x)为R上的偶函数,故当x>0时,f(x)=f(-x)=x(x+1),即x>0时,f(x)=x(x+1).(2)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是R上的奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,即当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)=0.综上,f(x)的解析式为f(x)=-答案:(1)x(x+1)(2)-【训练1】解:(1)设x>0,则-x<0,∴f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.又f(x)是R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2-x.又∵函数定义域为R,∴f(0)=0,综上可知f(x)=-(2)设x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,又f(x)在R上为偶函数,∴当x<0时,f(x)=f(-x)=x2-x-1,即x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.题型二利用奇偶性探讨函数的性质例2解:f(x)的定义域为R,f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),∴f(x)为偶函数,且f(x)=(当x≥0时,f(x)=(x-1)2,由二次函数的性质易得,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,f(x)min=f(-1)=f(1)=0,f(x)max不存在.【训练2】解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x-1x=-x+1x=-f(x),故f(当x∈(0,+∞)时,由均值不等式可知f(x)=x+1x≥2x·1当且仅当x=1时等号成立,即f(x)∈[2,+∞),同理可知当x∈(-∞,0)时,f(x)∈(-∞,-2].下面证明当x∈(0,1]时,f(x)单调递减.任取x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,则ΔfΔx==(x2-x1∵x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,∴0<x1x2<1,∴1x1x2>1,1-1x1x2∴f(x)在(0,1]上单调递减.类似地,可以证明f(x)在[1,+∞)上单调递增.∵f(x)为奇函数,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减.综上,f(x)在(-∞,-1]∪[1,+∞)上单调递增,在[-1,0)∪(0,1]上单调递减,f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).题型三证明函数图像的对称性例3证明:任取x∈R,∵f(-1+x)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,f(-1-x)=-(-1-x)2-2(-1-x)+1=-x2+2,∴f(-1+x)=f(-1-x),∴f(x)的图像关于x=-1对称.【训练3】证明:函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).任取x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),∵f(-1+x)+f(-1-x)=-1+x=-1+xx+1+xx=-1x+1+即f(-1+x)+f(-1-x)=2,∴f(x)的图像关于点(-1,1)对称.课堂练习1.解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+2x,又f(x)为R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x(x+2),故选A.答案:A2.解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.答案:B3.解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),故由题意知a=-5.答案:-54.解析:依据题意画出f(x)的大致图像:由图像可知-2<x<0或0<x<2时,xf(x)<0.答案:(-2,0)∪(0,2)5.证明:要证f(x)的图像关于(-1,0)对称,只需证明f(x)对随意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),满意f(-1+x)=-f(-1-x).∵f(-1+x)=1-1+x+1=1x,f(-1-x)∴f(-1+x)=-f(-1-x),故y=1x+1的图像关于(-1,0)核心素养专练1.2x+32.(-2,2)3.[2,6]4.(1)解:函数f(x)为奇函数.证明:函数f(x)=x+ax(a>0)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且关于原点对称又因为f(-x)=-x+a-x=-x+a所以函数f(x)为奇函数.(2)证明:f(x)=x+4x(a>0设x1,x2是区间(2,+∞)上的随意两个实数且x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2+4x2=x1-x2+4x1-4x2因为x1<x2,所以x1-x2<0.又因为x1,x2∈(2,+∞),所以x1x2>4,∴x1x2-4>0,∴f(x1)-f(x2)<0,∴函数f(x)在(2,+∞)上为增函数.5.解:(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,所以f(0)=0,解得b=0.(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是单调递增的,因为f(m)+f(m-1)>0,所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),所以m-1>-m,①又须要不等式f(m)+f(m-1)>0,在函数f(x)定义域范围内有意义.所以-2≤m≤2,-2≤m-所以m的取值范围为12学习目标课标要求1.驾驭函数奇偶性的简洁应用.2.了解函数图像的对称轴、对称中心满意的条件.素养要求1.通过函数奇偶性的应用,使学生熟识转化、对称等思索方法,提升逻辑推理素养.2.通过函数图像的对称轴、对称中心等条件,提升学生的直观想象实力,培育数学抽象素养.自主预习情境引入问题1图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图像,你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗?(1)(2)问题2就图(1)而言,函数在区间(-∞,-2]与[2,+∞)上的单调性是否相同?就图(2)而言,函数在区间-52,0新知梳理1.函数的奇偶性与单调性的性质(1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上为增函数(减函数),则f(x)在[-b,-a]上为(),即在关于原点对称的区间上单调性.

(2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上为增函数(减函数),则f(x)在[-b,-a]上为(),即在关于原点对称的区间上单调性.

2.奇偶函数的运算性质在公共定义域内:(1)两个奇函数的和函数是奇函数,积函数是偶函数;(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数;(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.3.函数的对称轴与对称中心(1)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(T+x)=f(T-x)(T为常数),则是f(x)的对称轴.

(2)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数),则是f(x)的对称中心.

[自主推断]1.若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).()2.若对f(x)定义域内随意的x都有f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于x=a+b2对称.[自主训练]已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x-x2,则当x>0时,f(x)=.

[思索]1.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像关于y轴对称,则f(x),g(x)是偶函数吗?2.函数y=xx-1的图像有对称中心吗?若有课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1(1)函数f(x)是R上的偶函数,且当x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)=.

(2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)=.

【训练1】(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式;(2)已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,当x∈(-∞,0)时,求f(x)的解析式.题型二证明函数图像的对称性例2求证:二次函数f(x)=-x2-2x+1的图像关于x=-1对称.【训练2】证明函数f(x)=xx+1的图像关于点(-1,1)核心素养一、素养落地1.通过本节课的学习,提升直观想象和逻辑推理素养.2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.3.假如一个奇函数f(x)在x=0处有定义,那么肯定有f(0)=0;假如函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).二、素养训练1.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是()A.f(x)=-x(x+2) B.f(x)=x(x-2)C.f(x)=-x(x-2) D.f(x)=x(x+2)2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()A.1 B.2 C.3 D.43.证明函数f(x)=1x+1的图像关于(-1,0)课堂练习1.设函数f(x)=x2+x,x≥0,g(x),x<0,且A.6 B.-6 C.2 D.-22.已知函数y=f(x)是偶函数,其图像与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的全部实根之和是()A.4 B.2 C.1 D.03.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-2)上是()A.增函数B.减函数C.非单调函数D.可能是增函数,也可能是减函数4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=.

5.已知函数y=f(x)的图像关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.(1)试求f(x)在R上的解析式;(2)画出函数的图像,依据图像写出它的单调区间.核心素养专练基础达标一、选择题1.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上是()A.增函数 B.减函数C.有增有减 D.增减性不确定2.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,则f(2)等于()A.-26 B.-18 C.-10 D.103.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-xA.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)二、填空题4.已知y=f(x)+x2是奇函数且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=.

三、解答题5.已知函数f(x)=x3+bx2+ax是定义在[-3,a+1]上的奇函数,求:(1)实数a,b的值;(2)求f(x)的值域.参考答案自主预习略课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1解析:(1)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).因为函数f(x)为R上的偶函数,故当x>0时,f(x)=f(-x)=x(x+1),即x>0时,f(x)=x(x+1).(2)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是R上的奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,即当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)=0.综上,f(x)的解析式为f(x)=-答案:(1)x(x+1)(2)-【训练1】解:(1)设x>0,则-x<0,∴f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.又f(x)是R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2-x.又∵函数定义域为R,∴f(0)=0,综上可知f(x)=-(2)设x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1.又f(x)在R上为偶函数,∴当x<0时,f(x)=f(-x)=x2-x-1,即x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.题型二证明函数图像的对称性例2证明:任取x∈R,∵f(-1+x)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,f(-1-x)=-(-1-x)2-2(-1-x)+1=-x2+2,∴f(-1+x)=f(-1-x),∴f(x)的图像关于x=-1对称.【训练2】证明:函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).任取x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),∵f(-1+x)+f(-1-x)=-1+x=-1+xx+1+xx=-1x+1+即f(-1+x)+f(-1-x)=2,∴f(x)的图像关于点(-1,1)对称.核心素养素养训练1.解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+2x,又f(x)为R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x(x+2).答案:A2.解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.答案:B3.证明:要证f(x)的图像关于(-1,0)对称,只需证明f(x)对随意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),满意f(-1+x)=-f(-1-x).∵f(-1+x)=1-1+xf(-1-x)=1-1-∴f(-1+x)=-f(-1-x),故y=1x+1的图像关于(-1,0)课堂练习1.解析:g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6.答案:A2.解析:y=f(x)是偶函数,所以y=f(x)的图像关于y轴对称,所以f(x)=0的全部实根之和为0.答案:D3.解析:∵f(x)为偶函数,∴m=0,f(x)=-x2+3,∴f(x)的对称轴为y轴,故f(x)在区间(-5,-2)上是增函数.答案:A4.解析:由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,∴f(-2)+f(0)=-5.答案:-55.解:(1)因为函数f(x)的图像关于原点对称,所以f(x)为奇函数,则f(0)=0.设x<0,则-x>0,因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3.所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3.于是有f(x)=x(2)先画出函数在y轴右侧的图像,再依据对称性画出y轴左侧的图像,如图.由图像可知函数f