2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布练习含解析新人教A版选修2-3

PAGE其次章2.4请同学们仔细完成练案[16]A级基础巩固一、选择题1．下列函数可以作为正态分布密度函数的是(A)A．f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x－12,2) B．f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))eeq\f(x－22,2σ2)C．f(x)＝eq\f(1,\r(2πσ))e－eq\f(x－μ2,2σ2) D．f(x)＝eq\f(1,2π)e－eq\f(x－μ2,2π)2．某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成果的直方图如图所示(由于人数众多，成果分布的直方图可视为正态分布)，则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是(A)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同[解析]由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A．3．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.0225)，单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为(C)A．上、下午生产状况均为正常B．上、下午生产状况均为异样C．上午生产状况正常，下午生产状况异样D．上午生产状况异样，下午生产状况正常[解析]依据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异样．结合已知可知上午生产状况正常，下午生产状况异样．4．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的全部考生的数学成果听从正态分布．已知数学成果平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成果在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为(D)A．10% B．20%C．30% D．40%[解析]由条件知μ＝90，P(ξ<60)＝0.1，∴P(ξ>120)＝0.1，∴P(90≤ξ<120)＝eq\f(1,2)[1－2P(ξ<60)]＝eq\f(1,2)×(1－0.2)＝0.4，故选D．5．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于(B)A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ(1)－Φ(－1)C．Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－μ,σ))) D．2Φ(μ＋σ)[解析]设η＝eq\f(|ξ－μ|,σ)，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)＝P(－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B．6．一批电阻的电阻值X(Ω)听从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为(C)A．甲、乙两箱电阻均可出厂B．甲、乙两箱电阻均不行出厂C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不行出厂D．甲箱电阻不行出厂，乙箱电阻可出厂[解析]∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015．∵1011∈(985,1015)，982∉(985,1015)，∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不行出厂．二、填空题7．正态变量的概率密度函数f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x－32,2)，x∈R的图象关于直线__x＝3__对称，f(x)的最大值为__eq\f(1,\r(2π))__．8．某一部件由3个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作(其中元件1,2,3正常工作的概率都为eq\f(1,2))．设3个电子元件的运用寿命(单位：小时)均听从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的运用寿命超过1000小时的概率为__eq\f(3,8)__．[解析]由题意得，3个电子元件的运用寿命听从正态分布N(1000,502)，则每个元件的运用寿命超过1000小时的概率均为eq\f(1,2)，则元件1和2的运用寿命至少有一个超过1000小时的概率为1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，故该部件运用寿命超过1000小时的概率为eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)．9．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈R.给出以下四个命题：①对随意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②假如随机变量X听从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；③假如随机变量X听从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X听从N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p．其中真命题的序号是__①②④__.(写出全部真命题的序号)[解析]画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图：由图可得：①图象关于x＝μ对称；故①正确；②随着x的增加，F(x)＝P(X<x)也随着增加，故②正确；③假如随机变量X听从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是10；④由图象的对称性，可得④正确，故填：①②④．三、解答题10．生产工艺过程中产品的尺寸偏差X(mm)～N(0,22)，假如产品的尺寸与现实的尺寸偏差的肯定值不超过4mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．(精确到0.001)[解析]由题意X～N(0,22)求得P(|X|≤4)＝P(－4≤x≤4)＝0.9544．设Y表示5件产品中合格品个数，则Y～B(5,0.9544)，所以P(Y≥5×0.8)＝P(Y≥4)＝Ceq\o\al(4,5)·(0.9544)4×0.0456＋Ceq\o\al(5,5)·(0.9544)5≈0.1892＋0.7919≈0.981．故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率为0.981．B级素养提升一、选择题1．(多选题)设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是(ABD)A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对随意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对随意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)[解析]由图象可知μ1<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)＝eq\f(1,2)<P(Y≥μ1)，∴A错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，∴B错；对随意实数t，P(X≥t)<P(Y≥t)，∴D错，P(X≤t)≥P(Y≤t)，∴C正确，故选ABD．2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)听从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(B)(附：若随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%[解析]由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6827，P(－6＜ξ＜6)＝0.9545，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P－6<ξ<6－P－3<ξ<3,2)＝eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359＝13.59%．二、填空题3．(2024·黔东南州一模)黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客川流不息．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是听从正态分布N(2000,10000)的随机变量．则每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为__0.158_7__.(参考数据：若ξ听从N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.9974)[解析]∵听从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率分别为0.6826，随机变量ξ听从正态分布N(2000,1002)，∴每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587，故答案为0.1587．4．设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ(单位为：元)，经统计得ξ～N(520,14400)，从该城市私家车中随机选取容量为10000的样本，其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有__6_826__辆．(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)[解析]由已知得：μ＝520，σ＝120，∴P(400<ξ<640)＝P(520－120<ξ<520＋120)＝0.6826，∴每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有：0.6826×10000＝6826．三、解答题5．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别听从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应当选择哪一个方案？[解析]对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝eq\f(1－P5<X≤11,2)＋P(5<X≤11)＝eq\f(1＋P5<X≤11,2)＝eq\f(1＋0.6826,2)；对于其次个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(X>5)＝eq\f(1＋P7－2<X≤7＋2,2)＝eq\f(1＋0.9544,2)．明显其次个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应当选择其次个方案．6．某市教化局为了了解高三学生体育达标状况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成果X听从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成果在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成果在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．[解析](1)P(80≤X<85)＝eq\f(1,2)－P(X≤75)＝0.2，P(85≤X<95)＝P(X≥85)－P(X≥95)＝P(X<75)－P(X≥95)＝0.3