2024-2025学年人教版八年级数学上册全等模型专项突破练习

突破18全等模型（一）三垂直

类型一同侧三垂直

1.如图,AELAB,且AE=AB,BC±CD,HBC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S

D

4

类型二异侧三垂直

2.如图，在AABC中,NACB=9（r,AC=BC,BE_LCE于点E.ADXCE于点D.

⑴求证:/BCE=NCAD;

⑵若AD=9cm,DE=5cm,求BE的长

类型三隐三垂直

3.如图，在正方形ABCD中,E是CD边上一点，连接AE,将AADE沿AE折叠.使点D落在正方形ABCD内部

的点F处，延长AF交BC于点H.求证:BH=CE+FH.

类型四三垂直与分类讨论

4.在AABC中,AC=BC,/ACB=90。,分别过A,B两点作直线CD的垂线,AF_LCD于点F,BE_LCD于点E,连接

AE.若AF=5,BE=2,贝！］AAEF的面积为.

类型五构造三垂直

5.如图，在AABC中,AB=AC,EC，AC,且AC=CE,垂足为C,连接BE.若BC=6,贝UABCE的面积为（）

Q

A.-B.9C.18D.36

2

6.如图在AABC中,NACB=9（r,AC=CB,D为CB延长线上一点AE=AD,且AE_LAD,BE与AC的延长线交于

点F,若AC=4FC,则浜勺值为.

DC

A

7.如图，在R3ABC中,/BAC=9(T,AB=AC,D是BC的中点,E是BC边上的动点(不与点B,C,D重合)，连接AE,

在AE右侧作EFJ_AE,且EF=AE,连接CF,则/ECF的度数为.

突破19全等模型(二)坐标系中的三垂直

类型一两点在轴上，“一点垂”

L如图，在△PMN中，点P,M在坐标轴上点P(0,2),N(2,—2),PM=PN,且

PM1PN,,则点M的坐标是_______________.

2.如图，在平面直角坐标系中，AABC为等腰直角三角形，点A(--1,O),B(O,-4).将△4BC向上平移一个单位长

度后，点C的坐标为()

A.(4,l)B,(3,l)C.(4,2)D.(3,2)

3.如图，在平面直角坐标系中点A(2,2),B(0,-l),C为x轴正半轴上一点，AB1AC,且4B=4C.求点C的坐标.

类型二一点在轴上，“两点垂”

4.如图，在RtA力BC中,AC=BC/ACB=90。,,点A(-l,0),C(l,3),求点B的坐标.

名校压轴题•八年级数学上

类型三无点在轴上，“一平两垂”

5.如图,在Rt△ABC中，AC=AB,Z.BAC=90。,点B(2,2),C(4,—2).求点A的坐标.

类型四分类讨论，求坐标

6.如图，已知点A(0,3),B(4,l),以AB为斜边作等腰RtKABC,,则直角顶点C的坐标为____________.

类型五运用全等，求定值

7如图，在平面直角坐标系中，点A(0,m)在y轴正半轴上，点。(-zn，0),B为线段0D上一动点(不与O,D

两点重合)，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90。得到线段AC,连接CD交OA于点E,求黑的值.

OE

类型六线段和差，求参数

8.如图，在.△力BC中，/.BAC=90。,4B=",若点A(—2,—2),B(0,m),C(n,0).求m,n之间的数量关系.

9.如图，点4(—2,a),点B在y轴的正半轴上,8C14。交AO的延长线于点C,且AC=BC..^C(l,c),B(0,b),

求I的值.

突破20全等模型(三)一线三等角

类型一同侧一线三等角

1.如图，在AABC中,NB=/C.APMN的顶点P,M,N分别在AB,BC,AC上运动，且NPMN=NB,PM=MN.求

证:BM=CN.

A

2.如图，在AABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，且/BDA=NAEC=NBAC=a,其中a为钝角.求

证:DE=BD+CE.

3.如图,AC,DF相交于点G,且AC=DF,D,C是BE上两点/B=/E=/l若BE=l,AB=m,EF=n,Ji!!JCD的长为

)

A.l-mB.l-nC.m+n—1D.m—n+1

4.如图，在AABC中,/ABC=/ACB,D,E,F分别是AB,BC,AC边上的点,BE=CF.

⑴若NDEF=/ABC,求证:DE=EF;

(2)若/A+2/DEF=180o,BC=9,EC=2BE,求BD的长.

类型二异侧一线三等角

5.(1)如图1,点8《分别在/MAN的边AM,AN上点E.F都在/MAN内部的射线AD上分别是

△ABE,ACAF的夕卜角.已知AB=AC,且/1=/2=NBAC.求证:AABE0ACAF;

⑵如图2,在AABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,N1=/2=NBAC.若

AABC的面积为15,求AACF与ABDE的面积之和.

图2

类型三构造一线三等角

6.如图,AC=BC,D是BC上一点,/ADE=/C.

⑴如图1,若/C=9(T,/DBE=135。.求证:①/EDB=/A;②DA=DE;

(2)如图2,当/DBE与NC之间满足什么数量关系时，总有DA=DE成立?

突破21全等模型(四)手拉手

类型一手拉手模型与角平分线

1.如图,CA=CD,CB=CE,NACD=/BCE,AB与DE交于点M.

(1)求证:AB=DE;

(2)连接MC,求证:MC平分/BMD.

类型二手拉手模型与八字导角

2.如图,AABC和ADBE均为等腰直角三角形，连接AD,CE.求证:ADLCE.

类型三手拉手模型与面积转化

3.如图，已知AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,AB和CD交于点F.若点C,E,F,D共线S.F=9,SB.=4,则

SADE的值为•

类型四手拉手模型与角的和差

4.如图，在AABC中,BA=BC,点F在AB边上，延长CF交AD于点E,BD=BE,NABC=NDBE.

⑴求证:AD=CE;

⑵若NABC=30o,/AFC=45。,求NEAC的度数

5如图，已知AB=AC,AD=AE,且/EAD=NBAC=80。,若/BDC=160。,求/DCE的度数.

类型五手拉手模型与二倍角

6.如图，点C在线段AB上(不与点A,B重合)，在AB的上方分另作AACD和ABCE,且AC=DC,BC=EC,/ACD=

NBCE=a，连接AE,BD交于点P.求证:NAPB=2NADC.

类型六手拉手模型与线段和差

7.如图,NBAD=/CAE=9(T,AB=AD,AE=AC,AF_LCB,垂足为F.

⑴求证:AABC丝AADE;

(2)求/FAE的度数；

(3)求证:CD=2BF+DE.

突破22全等模型（五）夹半角

类型一90。夹45。

L如图，把两块大小相同的含45。的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上点E在边

BC上且NCFE=13o,/CFD=32。,则/DEC的度数是（）

A.58°B.45°C.77°D.64°

类型二120。夹60。

2.如图，在四边形ABCD中,NA=NBCD=90o,AB=BC,点E,F分别在AD,DC的延长线上，且/EBF=NADC.

⑴探究NEBF与/ABC间的数量关系，并说明理由；

⑵若/EBF=60。探究线段AE,EF,CF之间的数量关系并证明.

■E

3.在NQAP内有一点B,过点B分别作眈，人出口，人（2，垂足分别为（2。且院=8口,点.分别在边AQ和

AP上.

⑴如图1,若/AEB+ZAFB=180°,求证:BE=BF;

(2攻口图2,若/PAQ=NEBF=60。,求证:EF=DE+CF.

Q

CF

图1

类型三24a。夹a°

4.如图，在△4BC中,AB=AC,^EAF=|乙BAC,BFEME于点E,交AF于点F,连接CF.

⑴如图1,当NE4F在NBAC内部时,求证：EF=BE+CF.

（2）如图2,当CE4尸的边AE,AF分别在NB4C外部,内部时，求证：（CF=BF+2BE.

类型四夹半角的应用

5.在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的B处,

并且。2=OB..接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向迅速前进.指挥中心观测

到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E,F处，乙EOF=70°,EF=180海里，且甲与乙的速度比为2：3,求甲舰艇

的速度.

突破23全等模型（六）对角互补

类型一对角互补+邻边相等

1.如图，在四边形ABCD中，AD=DC.^ADC=4ABC=90°,DE148于点E,若四边形ABCD的面积为16,

则DE的长为.

D

2.如图,D是NM4N内部一点，DE14M于点E,DF14N于点F且DE=DF,点B是射线AM上一点，AB=

6,BE=2,,在射线AN上取一点C，使得DC=DB,,则AC的长为.

N

类型二对角互补+角平分线

3如图，已知四边形ABCD的对角互补，且ABAC=/.DAC.AB=IS,AD=12.过顶点C作(CE14B于点E,

则浜勺值为()

BE

A.9B.V73C.7.2D.6

类型三角平分线+邻边相等

4.如图，在四边形ABCD中,AC平分/BAD,CB=CD,CF_LAD于点F.

⑴求证:NABC+NADC=180。；

⑵若AF:CF=3:4,CF=8,求四边形ABCD的面积.

类型四坐标系中的对角互补

5.如图,AC=BC,/C=90。点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(10,0)厕点C的坐标为.

类型五隐对角互补

6.如图在AABC中2ABe=NACB,点D,E分别是BC,AC上的点,AD,BE相交于点P,连接DE,/EBC=/BAD.

⑴求证:NDPE+/C=180。；

⑵若PE=CE,求证:DE平分NADC.

突破24全等模型（七）同旁张等角

类型一同侧直角+等腰直角

1.如图在AABC中,NABC=45。过点C作CDLAB于点D,过点B作BMLAC于点M,连接MD,过点D作

DNLMD,交BM于点N.CD与BM相交于点E,且E是CD的中点.

⑴求证:NAMD=45。；

(2)求证:NE—EM=MC.

C

类型二同侧等角+等腰

2如图，在AABC中,AB=AC,过点B的射线与过点C的射线CF交于点D,且/ABD=NACF,过点A作AM,

BD于点M.求证:BM=DM+DC.

类型三同侧等角十外角平分线

3.如图.BF平分AABC的外角/ABE,D为BF上一点,/ABC=NADC,过点D作DHLAB于点H,若

AH=7,BH=1,则CB的长为（）

A.6B.5C.4D.5.5

A

4.如图,D是AABC的外角平分线上一点，过点D作DE,AC于点E,DF，AB交BA的延长线于点F,且满足

CE=AB+AE.

(1)求证:BD=CD;

⑵求证:NBDC=/BAC.

类型四同侧等角+隐角平分线

5.如图线段AB与CD相交于点E,AB，BD,垂足为B,AC，CD,垂足为C.若AB=BD,NBDE=22.5。,试探究线段

DE与AC的数量关系，并证明你的结论.

类型五手拉手转化为同旁张等角

6.如图，在AABC和AADE中,AB=AC,AD=AE,NBAC=/DAE,CE的延长线交BD于点F.

⑴求证:AACE丝AABD.葭

⑵过点A作AH_LBD于点H,求证:EF+DH=HF.

C'A

类型六构造同旁张等角

7.如图，在AABC中,D为AB中点,DE_LAB,/ACE+NBCE=18（r,EF_LBC于点F,AC=8,BC=12,求BF的长.

R

C

突破25全等模型（八）婆罗摩笈多

类型一证中点

1.如图,BE_LCD,AB=AD,AC=AE,过点A作AGXDE于点G,延长GA交BC于点F,求证:F为BC中点

类型二证二倍

2.如图，在AABO和ACDO中,OA=OB,OC=OD,NAOB与/COD互补，连接AC,BD,E是BD的中点.求

证:AC=2OE.

3.若AABC和AADE均为等腰三角形，且AB=AC=AD=AE,当NABC和NADE互余时，称△ABC与AADE互

为“底余等腰三角形”,AABC的边BC上的高AH叫做AADE的“余高，如图,AABC与AADE互为“底余等腰三角

形

⑴若连接BD,CE,判断AABD与AACE是否互为“底余等腰三角形”:(填“是”或“否"

⑵当NBAC=90。时若AADE的“余高”AH=3,则DE=;

⑶当0<NBAC<180。时判断DE与AH之间的数量关系,并说明理由.

类型三证垂直

4.如图,AD为AABC的高线,AD=BC,以AB为底边作等腰RtZkABE,连接ED,EC,延长CE交AD于F点.求

证:CEJ_DE.

类型四求面积

5如图，在RtAABC中,/ABC=9(T,AB=6,BC=3,分别以AC,BC为一直角边作等腰RtAACE和等腰RtABCD,连

接DE交BC的延长线于点F,则ACEF的面积为-

A

■E

类型五证面积相等

6如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC共顶点放置，其中NACB=NDCE=90o,/ABC=NDEC.

设ABDC的面积为4EC的面积为S2,求证：Si=S2.

之

突破18全等模型(一)三垂直

1.50解:,.，AE_LAB且AE二AB,EF_LFH,BGJ_FH,

JZEAB=ZEFA=ZBGA=90°,

JZEAF+ZBAG=90°,ZABG+ZBAG=90°,

JZEAF=ZABG.

・.•AE=AB,ZEFA=ZAGB,ZEAF=ZABG,

AAEFA^AAGB,

AAF=BG,AG=EF.同理证彳导△BGCg^CHD,GC=DH,CH=BG.

「・FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,

S=J(6+4)x16-3x4-6x3=50.故答案为50.

2.解:(1),・,BE_LCE,ADJ_CE,

JZE=ZADC=90°,

・•・ZCAD+ZECA=90°,

ZACB=90°,

・•・ZBCE+ZECA=90°,

・•・ZBCE=ZCAD;

Z-BCE=Z-CAD,

(2)在"EC与4CDA中，"=^CDA,

BC=AC,

：.ABECACDA(AAS),

二•AD=CE=9cm,CD=BE,

VDE=CE-CD=9-BE=5,

BE=4cm.

3.证明:连接DF,并延长交BC于点G.

由题意，得△ADE@△AFE,

・・・AD=AF,ED=EF.

易证AE±DF,ZADF=ZAFD.

VAD//BC,

・•・ZADF=ZHGF,

・•・ZHFG=ZHGF,

・・・FH=HG.

VZADG+ZDAE=ZADG+ZCDG=90°,

・•・ZDAE=ZCDG.

TAD=CD,

ZXADE也△DCG(ASA),

・・・DE=CG.

VCD=BC,

二•CD-DE=BC-CG,

.\CE=BG,

・・・BH=BG+GH=CE+FH.

4.17.5或7.5解:①如图1,当

△ABC在直线CD同侧时,

△AFC^ACEB,AF=CE=5,

CF=BE=2,

EF=CE+CF=AF+BE=5+2=7,

,*•SAEF=17,5;

即

②如图2,当ZkABC在直线CD两侧时，

△AFC^ACEB,

AF=CE=5,

CF=BE=2,

Z.EF=CE-CF=AF-BE=5-2=3,

ASAAEF=7.5,

.\SAAEF=17.5或7.5.

5.B解:过点A作AHLBC于点H,过点E作EFLBC,交BC的延长线于点F.

VAB=AC,

JR3ABH之R3ACH(HL),

・・・BH=HC.

ZACE=90°,

・•・ZACH+ZECF=90°.

ZCAH+ZACH=90°,

・•・ZECF=ZCAH,

JAACH^ACEF(AAS),

i

..EF=CH=-BC=3,

2

・•・ABCE的面积=^BCEF=^6x3=9,故选B.

6.g解:过点E作EH,AC,交AC的延长线于点H,则4ADC之△EAH(AAS),

I.AH二CD,EH二AC二BC,

JABCF^AEHF(AAS),

•.CF=FH=-2CH.

VAH=CD,AC=BC,

ABD=CH=2FC.

VBC=AC=4FC=2DB,

DB_1

••BC——2.

7.45。或135。解:连接AD,过点F作FGLBC于点G.

ZBAC=90°,AB=AC,D是BC的中点,

ABD=CD=AD.

•・・EF_LAE,且EF=AE,由三垂直模型，可得4ADE之△EGF(AAS),；.EG=AD=CD,DE=FG.

①如图1若点E在线段BD上，则EG-DG=CD-DG,

・・・DE=CG=FG,

・•・ZECF=45°;

②如图2,若点E在线段CD上厕EG-EC=CD-EC,

・・・DE=CG=FG,

JZGCF=45°,

JZECF=135°.

综上所述,NECF的度数为45。或135°.

突破19全等模型(二)坐标系中的三垂直

1.(40)解:过点N作ND，y轴于点D.

VP(0,2),N(2,-2),

・・・OP=2,ON=2,DN=2,

・・・PD=4.

VPMXPN,

，ZMPN=90°,

/.ZMPO+ZDPN=90°.

又：ZDPN+ZPND=90°,

.\ZMPO=ZPND.

又：NMOP=NPDN=90。，

AMOP^APDN(AAS),

/.0M=PD=4,

故答案为(-4,0).

2.D解:•点A(-1,0),B(0,-4),；.OA=1,OB=4.

VAABC为等腰直角三角形，

AC=AB,/BAC=90。,过点C作CE±x轴于点E,

ZAEC=ZAOB=90°,

ZCAE+ZBAO=ZBAO+^ABO=90°,

ZCAE=ZABO.

在ACAE与AABO中，

Z.AOB=/.CEA,

乙ABO=4CAE,

AB=AC,

ACAE^AABO(AAS),

.\CE=AO=1.AE=OB=4,

.*.OE=3,

•.•将AABC向上平移一个单位长度，

点C的坐标为(3,2).故选D.

3.解:过点A分别作AELx轴于点E,AF，y轴于点F.

贝U/BAC=/BOC=90。，

ZABF=ZACE,

又：ZAEC=ZAFB=90°.AB=AC,

/.AAEC^AAFB,

AE=AF=OF=2,CE=BF=2+1=3,

.*.OC=2+3=5,

；•点C的坐标为(5,0).

4.解：过点C作直线l〃x轴，分别过点A,B作AEL于点E,BFL于点F.

ZAEC=ZACB=ZBFC=90°,

/.ZEAC=ZBCF,

又：AC=BC,

AAEC^ACFB,

；.AE=CF=3,BF=EC=2,

点B的坐标为(4,1).

5.解:过点A作直线l〃y轴过点B作BE11于点E,过点C作CFL于点F,

ZBEA=ZCFA=ZBAC=90°,

AZBAE+ZCAF=ZBAE+ZABE=90°,

ZABE=ZCAF,

又：AC=AB,

AABE^ACAF(AAS),

；.BE=AF,CF=AE,设点A(m,n),

•.•点B(2,2),C(4,-2),

2-n=4-m,n+2=2-m,

m=l,n=-l,

点A的坐标为(1,-1).

6.(34)或(1,0)解:分两种情况讨论：①当点C在AB上方时，可得点C(3,4);

②当点C在AB下方时，可得点(2(1,0).故答案为(3,4)或(1,0).

7.解过点C作CF，y轴于点F,可得△ACF之△BAO,

.*.AF=OB,CF=OA=OD,

ACEF^ADEO,

AOE=EF,

VOA=OD,AF=OB,

.\BD=OF=2OE,

BD_

•••—=2.

OE

8.解:过点A作ADLx轴于点D,过点B作BEXAD于点E,则△ACDgABAE,

；.CD=AE,

•/A(-2,-2),C(n,0),B(0,m),

CD=n+2,AE=-2-m,

n+2=-2-m,

/.m+n=-4.

9.解:过点A作AHLy轴于点H,过点C分别作CMLAH于点M,CN，y轴于点N,

可得AACMg/XBCN,

；.BN=AM=2+1=3,

/.b-c=3.

突破20全等模型（三）一线三等角

1.证明:；NPMN=NB=NC,/B+NBPM+NBMP=180°,NBMP+ZPMN+ZCMN=180°,

ZBPM=ZCMN,

VPM=MN,

ABPM^ACMN(AAS),

・•・BM=CN.

2.证明:ZBDA=ZBAC=a,

AZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a,

・•・ZCAE=ZABD.

又,「AB=AC,

△ADBACEA(AAS),

・・・AE=BD,AD=CE,

JDE二AE+AD=BD+CE.

3.C解:・・・NDGC=NC

.・2-ACB=180°-Z.FDE-zl,

•・乙DFE=180°-Z,FDE-NE,NE=N1,

JNACB=NDFE,

XVAC=DF,

・•・△ACBADFE(AAS),

DE=AB=m,BC=EF=n,

二•CD二BC+DE--BE=m+n-1,故选C.

4.解:(1),.,/DEF=NABC,NDEC=ZABC+NBDE=NDEF+NCEF,

・•・ZBDE=ZCEF.

又二BE=CF,

・•・ABDE^ACEF(AAS),

・・・DE=EF;

(2)VBC=9,EC=2BE,

ABE=3,EC=6,

VZA+2ZDEF=180°,ZA+ZABC+ZACB=180°,ZABC=ZACB,

ZDEF=ZABC=ZACB,

VZDEC=ZABC+ZBDE=ZDEF+ZCEF,

・•・ZBDE=ZCEF.

又二BE=CF,

・•・ABDE^ACEF(AAS),

・・・BD=EC=6.

5.W：(1)VZ1=Z2=ZBAC,Z1=ZBAE+ZABE,ZBAC=ZBAE+ZCAF,Z2=ZFCA+ZCAF,

JZABE=ZCAF,ZBAE=ZFCA,

TAB=AC,

・•・AABE^ACAF(ASA);

(2);△ABC的面积为15,CD=2BD,

・•・AABD的面积为|x15=5,由(1)得4ABE也ZXCAF,・•.SACF+SBDE=SABE+5BDF=SAABD=5.

6.解:⑴①。ZADE=ZC=90°,AZEDB+ZADC=90°,ZA+ZADC=90°,

・•・ZEDB=ZA;

②在AC上截取CF=CD,连接FD.

ZC=90°,

JZCFD=ZCDF=45°,

・•・/LAFD=135°=Z.DBE.

VAC=BC,

・•・AC-CF=BC-CD,即AF=BD.

由①知NA=NBDE,

JAAFD^ADBE(ASA),

ADA=DE;

⑵当ADBE=90°+5"时，总有DA=DE成立.理由如下：

在AC上截取CM=CD,连接MD.

VAC=BC,

・・・AM=BD.

ZADB=ZA+ZC,ZADB=ZADE+ZBDE,ZADE=ZC,

:.ZA=ZBDE.

v^CMD=90°--2LC,

2

：.AAMD=90°+-ZC.

2

当ADBE=90°+时，ZDBE=ZAMD,

AAMD^ADBE(ASA),

；.AD=DE.

突破21全等模型(四)手拉手

5VZACD=ZBCE,

/.ZBCE+ZACE=ZACD+ZACE,

ZBCA=ZECD,

：AC=DC,CB=CE,

ZkABC经△DEC(SAS),

/.AB=DE;

⑵过点C作CG±AB于点G,CH±DE于点H,

VAABC^ADEC,

ZA=ZD,

又：ZAGC=ZDHC=90°,AC=DC,

AAGC^ADHC(AAS),

；.CG=CH,

AMC平分/BMD.

2.证明:延长AD分别交BC和CE于点G和点F.

AABC和4DBE是等腰直角三角形，

AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=90°,

/ABC-NDBC=ZDBE-ZDBC.gpZABD=ZCBE,

AABD^ACBE(SAS),

ZBAD=ZBCE.

VZBAD+ZABC+ZBGA=ZBCE+ZAFC+ZCGF=180°.

XVZBGA=ZCGF,

.\ZAFC=ZABC=90o,

/.ADXCE.

3.5M：ZBAC=ZDAE,ZBAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,

SPZCAE=ZBAD,

AACE^AABD(SAS),

/.SAACE=SAABD.

VSAACF=9,

.*.SAACE+SAAEF=9.

设SAACE=SAABD=x,

贝［JSAAEF=9-X,SAADF=X-4,

・•・SAAEF+SAADF=9-X+X-4=5,

gp.SAADE=5.

4.证明:⑴:ZABC=ZDBE,

JZABC+ZABE=ZDBE+ZABE,

・・・NABD二NCBE.

BD=BE,BA=BC,

AADB^ACEB(SAS),

・・・AD=CE;

(2)VBA=BC,ZABC=30°,

••Z-BAC=乙BCA=i(180°-30°)=75°,

NAFC=45。，

JZBCE=ZAFC-ZABC=45o-30°=15°,

AADB^ACEB,

・•・ZBAD=ZBCE=15°,

JZEAC=ZBAD+ZBAC=15°+75°=90°.

5.解:I,ZEAD=ZBAC=80°,AZ1=Z2,

可证明zXBAD之△CAE(SAS),

・•・ZACE=ZABD.

ZBAC=80°,AB=AC,

JZBCA=ZCBA=50°,

・•・ZDCE=Z4+ZBCA+ZACE

=Z4+50°+ZABD

=Z4+50°+Z3+ZABC

=Z3+Z4+100°.

又・・・NBDC=160。，

・•・Z3+Z4=180°-ZBDC=20°,

・•・ZDCE=20°+100o=120°.

B

E

6.证明:ZACD=ZBCE=a,ZACE=ZDCB.

XVCA=CD,CB=CE,

JAACE^ADCB(SAS),

:.ZEAC=ZBDC,

・•・NAPD=NACD=a.

VAC=CD,ZACD=a,

.,.a=180°-2ZADC.

又丁ZAPD=a=180°-ZAPB,

・•・ZAPB=2ZADC.

7.证明ZBAD=ZCAE=90°,.\ZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°,

JNBAC=NDAE,

ABAC^ADAE(SAS);

(2)VZCAE=90°,AC=AE,AZE=45°.由(1)知ABAC^4DAE,

・•・ZBCA=ZE=45°.

VAFXBC,

JZCFA=90°,

・•・ZCAF=45°,

JZFAE=ZFAC+ZCAE=45°+90°=135°;

⑶延长BF到G,使得FG=FB.

VAF±BG,

・•・ZAFG=ZAFB=90°,

AAFB^AAFG(SAS),

二•AB=AG,NABF=NG.

ABAC^ADAE,

・•・AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,

・•・AG=AD,ZABF=ZCDA,

:.ZG=ZCDA.

ZGCA=ZDCA=45°,

ACGA^ACDA(AAS),

：.CG=CD,

■:CG=CB+BF+FG=CB+2BF

=DE+2BF,

・・・CD=2BF+DE.

突破22全等模型(五)夹半角

1.D解:过点F作FH±FE交AC于点H.

ZAFC=ZEFH=90°,

・•・ZAFH=ZCFE=13°.

ZA=ZFCE=45°,FA=FC,

AFAH^AFCE,

AFH=FE.

ZDFE=ZCFE+ZDFC=13°+32°=45°,

JZDFH=ZDFE=45°.

VDF=DF,

:•△DFE也△DFH,

・•・ZDEF=ZDHF=ZA+ZAFH=58°.

ZFEB=ZCFE+ZFCE=58°,

・・・NDEC=18()o-58O-58o=64。.故选D.

2.解:⑴NEBF+NABC=180。理由如下：

ZA=ZBCD=90°,

・•・ZADC+ZABC=180°.

■:ZEBF=ZADC,

ZEBF+ZABC=180°;

(2)AE=EF+CF.理由如下在AE上截取AM=CF,连接BM.则/kABM丝Z\CBF(SAS),

・•・ZABM=ZCBF,BM=BF.

ZEBF=60°,

由(1)知ZEBF+ZABC=180°,

・•・ZABC=120°,

・•・ZFBM=ZFBC+ZCBM=ZABM+ZCBM=ZABC=120°.

ZFBE=60°,

・•・ZMBE=60°,

・•・ZMBE=ZFBE,

ABME^ABFE(SAS),

AEF=EM.

TAE二EM+AM,

JAE=EF+CF.

3.证明:(1)・.，BC_LAP,BDJ_AQ,ZBDE=ZBCF=90°,

ZAEB+ZAFB=180°,ZAEB+ZDEB=180°,

JNDEB=NCFB,

・•・ADEB^ACFB(AAS),

ABE=BF;

(2)在CP上截取CG=DE,连接BG,

JADEB^ACGB(SAS),

JBE=BG,ZDBE=ZCBG,

ZPAQ=60°,ZBDE=ZBCF=90°,

・.乙DBC=180°-60°=120。，

AZCBG+ZCBE=ZDBE+ZCBE=ZDBC=120°,

即NEBG=120。，

ZEBF=60°,

••乙GBF=120°-乙EBF=60。，

JNEBF=NGBF,

・•・ABEF^ABGF(SAS),

JEF=GF,

•・・GF=CG+CF,CG=DE,

JEF=DE+CF.

4.解:⑴在EF上截取EH二BE,连接AH.

RTilEAABE^AAHE,

・•・AB=AH,ZBAE=ZEAH.

VAB=AC,

AAC=AH,.

i

Z.EAF=^BAC,

：.ZBAE+ZCAF=ZEAF,

JZBAE+ZCAF=ZEAH+ZFAH,

・•・NCAF=NHAF.

在4ACF和AAHF中，

AC=AH,

ACAF=/-HAF,

AF=AF,

：.AACF^AAHF(SAS),

.\CF=HF,

・・・EF=EH+HF=BE+CF;

(2)在BE的延长线上截取EN=BE,连接AN.

•.*AE±BF,BE=EN,AB=AC,

二•AN=AB=AC.

VAN=AB,AE±BN,

・•・ZBAE=ZNAE.

・.4EAF=-ABAC,

2

・••^EAF+乙NAE=\^BAC+ZBAN),

・•・乙FAN=三(CAN,

：.NFAN=NCAF.

在4ACF和4ANF中，

AC=AN,

乙CAF=乙NAF,

AF=AF,

：.AACF^AANF(SAS),

.\CF=NF,

・・・CF=BF+2BE.

5.解:延长AE,BF相交于点C,延长CB到点G,

使BG=AE,连接OG.

由题意，得NAON=30。，

JZA=60°,

••(OBC=70°+50°=120。，

・•・ZOBG=60°,

・•・ZA=ZOBG,

VOA=OB,

AAOE^ABOG(SAS),

.*.OE=OG,ZAOE=ZBOG,

•••Z-AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,

・•・ZEOG=140°,

•.・ZEOF=70°,

JZEOF=ZGOF,

VOF=OF,

JAEOF^AGOF(SAS),

JEF二BG+BF=AE+BF=AE+BF=180(海里)，

设甲的速度为2x海里/小时，乙的速度为3x海里/小时，

・・・AE=3x2x=6x海里，

BF=3x3x=9x海里，

9x+6x=15x=l80,

x=12,

，2x=24.

答：甲舰艇的速度为24海里/小时.

突破23全等模型(六)对角互补

1.4解过点D作DFLBC,交BC的延长线于点F,

VZADC+ZABC=180°,

ZA+ZBCD=180°,

又：ZBCD+ZDCF=180°,

ZA=ZDCF.

ZAED=ZCFD,AD=DC,

AADE^ACDF(AAS).

.*.DE=DF,

.S=S=16

••四边形ABCD一四边形DEBF-'

•.DE2=16,

・・・DE=4.故答案为4.

2.6或10解:①如图1,当点C在线段AF上时，连接AD.

VDE1AM于点E,DF±AN于点F,

JNDEB二NDFO90。.

在RtADEB和RtADFC中，

(DC=DB,

IDF=DE,

：.RtADEB^RtADFC(HL),

.\CF=BE=2.

在RtADEA和RtADFA中，

(DA=DA,

IDF=DE,

：.RtADEA^RtADFA(HL),

JAF=AE=AB+BE=6+2=8,

・・・AC=AF--CF=8-2=6;

②如图2,当点C在线段AF的延长线上时，同理可得AF=AE=8,CF=BE=2,

・・・AC=AF+CF=8+2=10.

故答案为6或10.

3.A解过点C作CF±AD交AD的延长线于点F,则NCFD=90。.

VCEXAB,

:.ZCEB=90°,

・•・ZCEB=ZCFD.

■:ZBAC=ZDAC,

AAC平分NBAD,

・・・CE=CF.

•・.四边形ABCD的对角互补，

.,.ZB+ZADC=180°.

VZCDF+ZADC=180°,

・•・ZB=ZCDF,

ACEB^ACFD(AAS),

・•・BE=DF.

可证^AEC之ZkAFC,

AAE=AF,®BE=DF二a,

VAB=15,AD=12,

12+a=15-a,

••a=1.5,

AAE=15-a=13.5,

BE=a=1.5,

AE13.5_11VM-人

=-7^=9,故选A.

4.证明:⑴过点C作CE±AB交AB的延长线于点E,

VAC平分NBAD,

・•・ZEAC=ZFAC,

ZCEA=ZCFA,AC=AC,

AACE^AACF(AAS),

・・・AF=AE,CE=CF,

在RtACBE和RtACDF中，

EE-CE,

RtACBE^RtACDF(HL),

・•・ZADC=ZCBE,

VZABC+ZCBE=180°,

・•・ZADC+ZABC=180°;

(2).AF:CF=3:4,CF=8,AF=6,

i

SACF=CF=24,

R3CBE也R3CDF]ACEgAACF,

・•・SACBE=SACDF,SAACE=SAACF,

・・

•四边形ABCD的面积:=S4ACE+SACF=2SACF=48.

5.(7,7)解:过点C作CH±y轴于点H过点B作BG±HC于点G,则NCHA=ZBGC=90°,OH

=BG,GH=OB,

・•・ZACH+ZCAH=90°.

•・,点A坐标为(0,4),点B坐标为(10,0),

.-.OA=4,OB=10,

・・・GH=CH+CG=10.

ZACB=90°,

AC=BC,ZACH+ZBCG=180°-AACB=180°-90°=90。，

JNCAH=NBCG,

・•・△ACH^ACBG(AAS),

・・・AH=CG,CH=BG.

BG=OH=OA+AH=4+AH,CH+CG=10,

・・・4+AH+CG=10,

・・・4+AH+AH=10,解得AH=3,

・・・CH=BG=4+3=7,

・••点C的坐标为(7,7).

6.证明:(1)在4ABP中，

ZBAD+ZABE+ZAPB=180°,

■:ZEBC=ZBAD,

ZAPB=ZDPE,

AZEBC+ZABE+NDPE=180。,即NABC+NDPE=180。,又「NABC=NC,

ZDPE+ZC=180°;

(2)过点E作EMLAD于点M,EN，CD于点N,

JZPME=ZCNE=90°,

VZDPE+ZC=180°,

・•・ZAPE=ZC,

又..・PE=CE,

・•・APME^ACNE(AAS),

・・・EM=EN,

ADE平分NADC.

突破24全等模型(七)同旁张等角

1.证明：(1)・・・CD_LAB,

・•・ZBDC=ZADC=90°,

NABO45。，

・・・BD=CD,

VBMXAC,

・•・ZAMB=ZADC=90°,

・•・ZA+ZDBN=90°,ZA+ZDCM=90°,

JZDBN=ZDCM,

VDN±MD,

・•・ZCDM+ZCDN=90°,

ZCDN+ZBDN=90°,

・•・ZCDM=ZBDN,

VZDBN=ZDCM,BD=CD,ZCDM=ZBDN,

・•・ABDN^ACDM(ASA),

ADN=DM,

•••△DMN是等腰直角三角形,

••・乙DMN=45。，

ZAMD=45°;

⑵由⑴知,DN=DM,过点D作DFLMN于点F,

贝!]Z.DFE=90°=MME,

VDNXMD,

・・・DF=FN,

•・・E是CD的中点,

ADE=CE,

・•・ADEF^ACEM(AAS),

.*.ME=EF,CM=DF,

AFN=CM,

,.,NE-EF=FN,

.\NE-EM=MC.

2.证明:如图，过点A作ANLCF,垂足为点N,连接AD.

AZANC=90°.

VAM±BD,

JZAMB=ZAMD=90°,

JZAMB=ZAMD=ZANC,

J△AMB△ANC(AAS),

ABM=CN,AM=AN.

VAD=AD,

JRtAAMD^RtAAND(HL),

ADN=DM.

VCN=DN+DC,

・・・BM二DM+DC.

3.A解过点D作DG±BE于点G,

VDH±AB,BF平分NABE,

ADG=DH,

由/ABC二NADC可得NDAH=NDCG,

JADAH^ADCG(AAS),

CG=AH=7,易得RtABDG^RtABDH(HL),

・・・BG=BH=1,

・・・CB=CG-BG=7-1=6.

故选A.

4.证明:(1),.，D是ZkABC的外角平分线AD上一点,DE，AC,DF，AB,

.\DE=DF,

・•・RtAADF^RtAADE(HL),

AAF=AE.

TCE二AB+AE,

.*.CE=AB+AF=BF,

・•・ACDE^ABDF(SAS),

・・・BD=CD;

⑵设AC与BD交于点G.

ACDE^ABDF,

・•・ZFBD=ZECD,

■:ZAGB=ZDGC,

JNBDC=NBAC.

5.解:DE=2AC.理由如下:连接AD,延长AC,BD交于F.

ZACE=ZDBE=90°,

ZAEC=ZBED,

:.ZCAE=ZBDE=22.5°.

VAB=BD,

JZADB=45°,

・•・ZADC=ZADB-ZBDE=22.5°,

JAACD^AFCD(ASA),

AAC=CF,

JAABF^ADBE(ASA),

AAF=DE.

,.*AF=2AC,

ADE=2AC.

6.证明:⑴:ZBAC=ZDAE.

・•・ZCAE=ZBAD,

ZXACE之△ABD(SAS);

⑵连接AF,过点A作AUCF于点J.

△ACE之△ABD,

・•・S△ACE=S△ABD,CE=BD.

VAJ±CE,AH±BD,

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