2024-2025学年九年级语文上学期期中试题分类汇编：二次函数的实际应用（云南专用）含答案

专题04二次函数的实际应用

1.面积问题

2.角度问题1.图形问题

培

经

优

3.特殊三角形问题典2.图形运动问题

提

基

.特殊四边形问题专题二次国数的实际应用.拱桥问题

4升3

04础

题

5.交点问题题4.销售问题

6.高次多项式化简5.投球问题

7.函数最值问题

!经典基础题।

一、题型01图形问题

（2023•湖北襄阳•模拟预测）

1.如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为

10m,当这块矩形场地的面积最大时，平行于墙的一边长为m.

（2022•福建南平•一模）

2.如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一

段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园/8CD,让学生在茶园里体验种茶活动.现已知校围墙

儿W长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设43长x米，矩形茶园N8CD的面积为S平方

米.

⑴求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围;

⑵当矩形茶园N38的面积为200平方米时，求48的长.

（20-21九年级•浙江杭州•阶段练习）

试卷第1页，共20页

3.如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地N8CD,在和8c

边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形488的边/。长为x米，长为V米,

矩形的面积为S平方米，且x<y.

墙

D\[C

A----------1I---------

（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与X的函数关系式.并直接写出自变量X的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求S与尤的函数关系式，并求出是否能使矩形场地的面积为260平

方米？

二、题型02图形运动问题

（23-24九年级上•云南昆明•期中）

4.如图，在正方形4BCD中，48=3<;小，点M■从点A开始沿边4B向点3以lcm/s的速度

移动，同时点N从点。开始沿边。C,C8按。8的路线以2cm/s的速度移动.设

△4W的面积为y（单位：cn?）,运动时间为x（单位：s）,则y关于x的函数图象大致是（）

（23-24九年级上•云南昆明•期中）

5.如图，在边长为6cm的正方形中，点E,F,G,H分别从点A,B,C,。同

时出发，均以lcm/s的速度向点8,C,D,A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时

停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形跖G”,的面积最小，其最

小值是cm2.

试卷第2页，共20页

三、题型03拱桥问题

（18-19九年级上•江苏南通•期中）

6.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2加时，水面宽4加，则水面下降1，"时，水面宽度增

2mC.(2V6—4)mD.(V6-2)m

（23-24九年级上•云南昆明•期中）

7.桥拱截面OA4可以看作抛物线的一部分（如图），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米,

桥拱顶点B到水面的距离为4米.模型建立：以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点

为原点建立直角坐标系，求在距离水面2米处桥拱宽度为米.

（23-24九年级上•广东广州•阶段练习）

8.如图1是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数了=在

正常水位时水面宽=30米，当水位上升5米时，则水面宽CD=米

试卷第3页，共20页

!题型04|

四、题型04销售问题

（23-24九年级上•云南昆明•期中）

9.2023年亚运会已在杭州举行，在这期间某网络经销商购进一批以亚运会为主题的文化衫

进行销售，文化衫的进价为每件40元，当销售单价定为70元时，每天可售出50件.为了

扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每

天可多售出5件，若设这款文化衫降低了x（元），每天的销售量为y（件）.

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.

（2）当销售单价为多少元时，销售每天所获得的利润为1875元？

（3）当销售单价定为多少元时，每天销售这款文化纪念册获得的利润w最大？最大利润是多

少元？

（23-24九年级上•云南昆明•期中）

10.“一山揽胜景，美人卧池西.”凭借自身奇、绝、险、幽、秀美的自然景观，厚重的历史

遗迹，丰富的文化内涵，西山坐稳了“滇中第一佳境”的名头，也成为云南旅游的一张亮眼名

片.“网红打卡地”西山风景区在2023年10月1日国庆节，共接待游客达2万人次，预计到

10月3日这3天期间将接待游客2.88万人次.

⑴求西山风景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均

增长率；

（2）西山风景区“茶马花街”一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为3元，根据销售经验，在旅

游旺季，若每杯定价13元，则平均每天可销售400杯，若每杯价格降低1元，则平均每天

可多销售100杯，2023年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少

元时，店家每天卖此款奶茶的利润最大，最大利润是多少？

（23-24九年级上•安徽合肥•阶段练习）

11.黄山毛峰是安徽省黄山市的特产茶叶，由于种植地区天气独特，制茶原料自然，环境卓

越，加上工艺精湛，故而名列茶叶之冠，是中国著名十大名茶之一.某茶叶公司经销黄山毛

峰茶叶，每千克成本为100元，规定每千克售价需超过成本，但不高于140元.经调查发现,

其日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示.

试卷第4页，共20页

⑴求〉与X之间的函数表达式；

⑵设日利润为沙（元），求少与X之间的函数表达式，及X取何值时日利润最大？

（3）若公司想获得不低于1000元的日利润，请直接写出售价的范围.

（22-23九年级下•云南昭通•期中）

12.鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代

表.某店销售鲜花饼，成本为每盒30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于

成本价的2.5倍.经试销发现，日销售量》（盒）与销售单价x（元）的函数关系如下图所

（1）求》与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用400元，当销售单价为多少元时，该店日获利最

大？最大获利是多少元？

II

题型05五、题型05投球问题

■।

（22-23九年级上•安徽合肥•阶段练习）

13.某种礼炮的升空高度人（加）与飞行时间f（s）的关系式是〃=-5r+30/+1,若这种礼

2

炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）

A.6sB.7sC.8sD.9s

（22-23九年级上•广东珠海•期中）

14.一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度〃（m）与弹出的时间/（s）

满足的关系式为人=15/-5/.当小球第一次距离地面10m时，小球弹出的时间为秒.

试卷第5页，共20页

（23-24九年级上•云南昆明•期中）

15.2021年国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，而对美军的先进武器，志愿军

不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”.某志愿军身负重伤，不轻易放弃,

用最后一丝力气投出一枚手榴弹.如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所

示，手榴弹飞行的最大高度为9米，此时水平飞行距离为8米，手搐弹离手点离地面高度为

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远.

（2022・安徽芜湖•一模）

16.如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛

物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米.将发石车置于山坡底部。处，

山坡上有一点点/与点。的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，N2是高度

为3米的防御墙.若以点。为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系.

（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；

（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；

（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面3的最大距离.

（17-18八年级下•浙江杭州•期末）

17.把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度〃（米）适用公式〃=20-5凡

（1）经多少秒后足球回到地面？

（2）试问足球的高度能否达到25米？请说明理由.

试卷第6页，共20页

优选提升题

题型06六、题型06面积问题

1

（23-24九年级上•云南保山・期末）

18.如图，已知抛物线＞="2+加-2（0片0）与》轴交于/、8（-4,0）两点，与y轴交于C

点，直线2。交抛物线于点。（2,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形8MCN面积的最大值；并直接写

出/点的坐标.

（24-25九年级上•云南昆明•开学考试）

19.若直线＞=x-5与歹轴交于点A,与x轴交于点B,二次函数y=°炉+/+。的图象经过

点A,点B,且与x轴交于点C（T,0）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点尸为直线4B下方抛物线上一点，连接尸/,PB,求面积的最大值及此时点尸

的坐标；

（23-24九年级上•云南红河•期末）

试卷第7页，共20页

20.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+6x+c的图象与x轴交于/、3两点，A

点在原点的左侧，8点的坐标为（3,0）,与y轴交于点C（0,-3）,点P是直线8c下方的抛物

⑴求这个二次函数的表达式；

（2）求出四边形/CP8的面积最大时的尸点坐标和四边形/CP8的最大面积.

七、题型07角度问题

（2023・浙江•一模）

21.根据以下素材，探索完成任务.

如何调整蔬菜大棚的结构?

我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上

单位:米

素有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端

G

材固定在墙体。4上，另一端固定在墙体上，其横截面有A

12根支架DE,FG,相关数据如图2所示，其中支架IOF

DE=BC,OF=DF=BD.

单位:米E'C

已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中

素

棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3

材

所示，调整后C与£上升相同的高度，增加的支架单价为

21OF

60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元.

图3

问题解决

试卷第8页，共20页

任在图2中建立合适的直角

务确定大棚形状坐标系，求抛物线的函数

1表达式.

任当ca=i米，只考虑经费情

务尝试改造方案况下，请通过计算说明能

2否完成改造.

任

只考虑经费情况下，求出

务拟定最优方案

CC'的最大值.

3

(2022•广东东莞•一模)

3

22.如图，抛物线了=。/+万》+。与x轴交于点N,B,与〉轴交于点C,已知/,C两点坐

(1)求抛物线的表达式和/C所在直线的表达式；

(2)将A42C沿2c所在直线折叠，得到△DBC,点/的对应点。是否落在抛物线的对称轴

上，若点。在对称轴上，请求出点。的坐标；若点。不在对称轴上，请说明理由；

(3)点尸是抛物线图象上的一动点，当时，直接写出点尸的坐标.

(2022•湖北武汉•一模)

23.如图，平面直角坐标系中，抛物线夕=-/+次+4过点4(-4,0),与夕轴交于点N,与

x轴正半轴交于点B.直线I过定点4.

试卷第9页，共20页

（1）求抛物线解析式;

（2）连接NN,BN,直线/交抛物线于另一点当ZJ3N=N2N。时，求点〃的坐标;

⑶过点7”,T）的任意直线即（不与了轴平行）与抛物线交于点AF,直线BE、2尸分别

交y轴于点P、Q,是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存

在，请说明理由.

（2020・湖南张家界・中考真题）

24.如图，抛物线y=ax2-6x+c交x轴于4B两点，交y轴于点C.直线＞=r+5经过点

（2）抛物线的对称轴/与直线8c相交于点尸，连接NC,/尸，判定△4PC的形状，并说明

理由;

（3）在直线8c上是否存在点使与直线的夹角等于的2倍？若存在,

请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

八、题型08特殊三角形问题

（22-23九年级上•吉林长春•期末）

试卷第10页，共20页

25.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+6x+c（4c是常数）经过点（0,-1）和

（2,7）,点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m.

（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标.

（2）点5在这个抛物线上（点5在点A的左侧），点B的横坐标为-1-2〃,.当△NBC是以N8

为底的等腰三角形时，求。/8C的面积.

⑶设点。的坐标为（加,2-m），点E的坐标为。-加,2-加），点尸在坐标平面内，以

4D、E、尸为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出机的取值范

围.

（21-22九年级下•湖北孝感•开学考试）

26.如图，已知抛物线了=。/+加+4。彳0）的对称轴为直线》=-1,且抛物线经过/（1,0）,

C（0,3）两点，与x轴交于点B

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴直线尤=-1上找一点M,使点加到点A的距离与到点C的距离之差最

大，求出点〃的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴尤=-1上的一个动点，求使ABPC为直角三角形的点尸的坐

标.（直接写出结果）

（22-23九年级上•辽宁盘锦・期中）

27.如图，已知直线，=》+3与x轴交于点A,与V轴交于点8,抛物线>=-X2+加+c经过

A、3两点，与x轴交于另一个点C,对称轴与直线48交于点E,抛物线顶点为。.

试卷第11页，共20页

(1)求抛物线的解析式；

(2)在第三象限内，尸为抛物线上一点，以A、E、尸为顶点的三角形面积为3,求点尸的

横坐标；

(3)点尸是对称轴上的一动点，是否存在某一点尸使尸、B、C为顶点的三角形是以8c为直

角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的尸点坐标；不存在，说明理由.

九、题型09特殊四边形问题

(22-23九年级上•浙江温州•期中)

28.如图，在平面直角坐标系中，正方形/BCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B在V轴的

负半轴上，顶点C，。在第四象限，已知C点坐标为(3,-4),以C为顶点的抛物线

了="2+及+。恰好经过点。，则4的值为.

(22-23九年级上•重庆沙坪坝•期中)

29.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+6x+c交x轴于“(TO)、3(3,0)两点,

交y轴于点C.一次函数了=辰+1(后20)与抛物线交于A、D两点，交y轴于点E.

试卷第12页，共20页

(1)求抛物线的解析式;

⑵若点P是第四象限内抛物线上的一动点，过点P作尸〃〃丁轴交AD于点M,求出

尸M+的最大值及相应的点P的坐标；

2

(3)将抛物线沿着射线/£方向平移了逝个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线交

于R点，点〃是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在N点、,使得以点/、R、

H,N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理

由.

(22-23九年级上•浙江绍兴•期中)

30.在平面直角坐标系中，抛物线＞=-/-4x+c与无轴交于点A,B(点A在点B的左

侧)，与y轴交于点C,且点A的坐标为(-5,0).

⑴求点C的坐标；

(2)如图1,若点P是第二象限内抛物线上一动点，求三角形4cp面积的最大值；

⑶如图2,若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A,

C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在,

请说明理由.

(22-23九年级上•山西临汾•期末)

试卷第13页，共20页

31.综合与探究

如图，抛物线了=/+取+c与x轴交于4(-1,0),8(3,0)两点，与y轴交于点C.点尸(加⑼

是x轴上的一个动点，过点尸作直线尸轴，与直线2C交于点与抛物线交于点

备用图

(1)求这个抛物线的函数表达式.

(2)①若点尸在线段上运动，求线段的最大值;

②若点尸在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点0,使以M,N,C,0为顶点的四

边形为菱形？若存在，请直接写出点0的坐标；若不存在，请说明理由.

(22-23九年级上•广东广州・期末)

32.如图，抛物线了=西+2》-3.经过/(1,0)、B(b⑼、C(0,c)三点.

(1)求a,b,c的值；

(2)在抛物线对称轴上找出一点尸，使尸N+PC的值最小，并求出此时△/CP的面积;

试卷第14页，共20页

⑶若点M为X轴上一动点，抛物线上是否存在一点N,使以/,C,M,N四点构成的四边

形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

II

题型10十、题型10交点问题

■I

(21-22九年级•全国•假期作业)

33.如图，抛物线y=2x2-8x+6与x轴交于点/、B,把抛物线在x轴及其下方的部分记作

G，将G向右平移得C2，G与x轴交于点8,D.若直线y=-x+/M与Q、G共有3个不

同的交点，则加的取值范围是()

,V'A

\AliD

TilTI

A.l<m<一B.一<m<3C.1<m<3D.--<m<l

888

(21-22九年级•江苏南京•自主招生)

34.y=--2机x+2机2+1的图像沿过顶点且与x轴平行的直线翻折.

(1)求新函数解析式；

(2)新函数必过点,顶点在图像上；

(3)点-4,1),8(4,1)新函数图像与线段只有一个交点，则加的取值范围为

(2022九年级•全国•专题练习)

35.已知抛物线了="2+加+。经过/(2,0),5(1,；)两点，对称轴是直线x=l.

试卷第15页，共20页

（1）求抛物线的解析式；

（2）若C（加，力），D（n,竺）为抛物线y=a/+6x+c上两点（加<〃）.。为抛物线上点C和点。

—31

之间的动点（含点C,D）,点。纵坐标的取值范围为-彳工坊4:，求机+"的值；

（3）已知点£①，-p）,尸（2,1）,若抛物线与线段所有一个交点，求p的取值范围.

（2021•吉林长春・中考真题）

36.在平面直角坐标系中，抛物线y=2（x-"）2+2机（加为常数）的顶点为

（1）当机=g时，点/的坐标是一，抛物线与y轴交点的坐标是一.

（2）若点/在第一象限，且0/=石，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数

值了随x的增大而减小时x的取值范围.

（3）当x42机时，若函数y=2（x-加甘+2加的最小值为3,求加的值.

（4）分别过点P（4,2）、。（4,2-2⑼作》轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N.当抛物

线y=2（x-%>+2m与四边形PQM0的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点8、点

C,且点B的纵坐标大于点C的纵坐标.若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，

直接写出7"的值.

（2021•浙江•一模）

4

37.如图，在平面直角坐标系中，直线>=§x+4与x轴交于点/,与了轴交于点C,抛物

线〉=0^+乐+<:（。#0）经过/、C两点，与x轴的另一交点为点2.

试卷第16页，共20页

y

（i）求/、c两点的坐标；

（2）当△/SC为轴对称图形时，求抛物线的解析式；

（3）当△4BC关于夕轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有九W//x轴，点尸

是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点0,使以M、N、P、。为顶点的四边形构成

正方形？若存在，求出。点坐标：若不存在，请说明理由.

（2022•云南玉溪•一模）

38.已知抛物线乂=*+x+c经过点心，3，8（1,2）.

⑴求抛物线M的解析式；

（2）抛物线必与x轴是否有公共点，若有，求公共点的坐标，若没有，请说明理由；

（3）连接将线段向右平移5个单位长度得到线段4®,若线段4®与抛物线

4772+1

2

y2=amx+---+c（其中加＞0）有且仅有一个公共点，求加的取值范围.

I

题型11十一、题型11高次多项式化简

（22-23九年级上•江苏南通•期中）

39.已知二次函数y=zwx?-4加x+3机。〃为常数，且〃?片0）.

（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含机的式子表示）；

（2）若加＜0,当1&：W4时，》的最大值是2,且当Kx＜4时，该函数图象的最高点为A,最

低点为8,求她05的面积（O为原点）；

⑶若（左-1,%），伏,%）,（左+3,%）三点都在该函数图象上，探究：是否存在实数左，使得

总成立？若存在，试直接写出左的取值范围；若不存在，请说明理由.

（2022•云南•中考真题）

试卷第17页，共20页

40.已知抛物线>=---3+c经过点（0,2）,且与x轴交于/、8两点.设左是抛物线

y=-犬-JJx+c与x轴交点的横坐标；M是抛物线y=-/-Jix+c的点，常数加>0,S为

44BM的面积.已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和.

⑴求c的值；

⑵直接写出7的值；

（3）求1—J―与——5——的值-

^+^6+2V+4Ar2+16

（2021•云南•中考真题）

41.已知抛物线、=一2，+&（：+<:经过点（0,-2）,当x<-4时，y随x的增大而增大，当x>-4

时，y随x的增大而减小.设厂是抛物线y=-2/+乐+。与x轴的交点（交点也称公共点）

r9+r7-2户+r3+z"-1

的横坐标,m=

r9+60,一1

（1）求6、c的值:

（2）求证：r4-2r2+l=60r2;

（3）以下结论：=你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论.

（22-23九年级上•广东广州•阶段练习）

42.已知关于x的方程用/+（3加+l）x+3=0.

⑴求证：不论加为任何实数，了=加/+（3加+1b+3此方程总有实数根；

（2）若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且加为正整数，试求此抛物线的解析式；

（3）若点「（西,必）与。（再+%%）在（2）中抛物线上（点P、。不重合），且必=%,求代数

式4x；+12X]"+5"2+16/1+8的值.

十二、题型12函数最值问题

（2024•云南楚雄•二模）

43.定义：对于一次函数〉=履+加（k,加是常数，k手0）和二次函数y无2+6x+c（a,

6,c是常数，awO）,如果笈=2a,加=6,那么一次函数y=履+加叫做二次函数y=+6x+c

的牵引函数，二次函数y="2+6x+c叫做一次函数y=履+加的原函数.

（1）若二次函数+l（a是常数，a#0的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交

试卷第18页，共20页

点，求。的值；

（2）已知一次函数>=2x-2机是二次函数y+bx+m2+1的牵引函数，在二次函数

»=。尤2+区+优？+1上存在两点N（冽-1,%），8（机+2,%）.若M（2,%）也是该二次函数图象

上的点，记二次函数图象在点4〃之间的部分为图象G（包括/两点），记图象G上

任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为3且此民-%|，求力的取值范围.

（22-23九年级上•福建厦门•阶段练习）

44.已知抛物线必=x?+（2机-1卜-2加4加三目，直线/的解析式为

了2=（左一l）x+3机一月+2.

（1）若抛物线与〉轴交点的纵坐标为T,试求抛物线的解析式；

（2）试证明：抛物线与直线/必有两个交点；

（3）若抛物线经过点（％,-4）,且对于任意实数久，不等式工2+（2〃-1》-2机2-4都成立，当

左-24x（左时，抛物线的最小值为2后+1,求直线/的解析式.

（2022•福建福州•一模）

45.已知抛物线y=。无2+6x+c与x轴的正半轴交于点A,与V轴交于点B,当x>0时，抛

物线最低点的纵坐标为-4：当xWO时，抛物线最低点的纵坐标为-3.

（1）求a,6的关系式（用含6的代数式表示。）；

⑵若。4=。8,求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，M为抛物线对称轴上一点，过点M的直线交抛物线于C,。两点，E

为线段8的中点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点尸，探究是否存在定点使得

CD=4E/总成立，若存在，求出点〃的坐标：若不存在，请说明理由.

（2022•云南楚雄•二模）

46.已知，抛物线》=依2+云，点P（X/,M与点。（X"加）在抛物线上，且X?—X/=t.

（1）若抛物线经过点（1,0）,求抛物线的对称轴；

（2）若6=—2°,求证：4xJ—2工2f+6/=4；

（3）若将x="（〃为正整数）时对应的函数值记为/,且一4勺三一1,—l<y2<5,求为的取

值范围.

（22-23九年级上•北京西城•阶段练习）

试卷第19页，共20页

47.在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=/-2办+6的顶点在x轴上，若尸(士,〃?)，

Q(X2,〃?)(再<了2)是此抛物线上的两点.

⑴若。=1,

①当机=6时，求再，赴的值；

②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4,求平移后抛物线的解析式;

(2)若存在实数c,使得玉Vc-l,且X2>c+7成立，则加的取值范围是.

试卷第20页，共20页

1.8

【分析】设与墙垂直的一边长为巾7,然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函

数的性质分析可求出答案.

【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm,则与墙平行的一边长为(16-2x)m,

，矩形围栏的面积为x(16-2x)=—2x~+16x=-2(x-4)+32,

-2<0,

.•.当x=4时，矩形有最大面积为32m2,

此时与墙垂直的一边长为4m,与墙平行的一边长为8m,符合题意，

故答案为：8.

【点睛】本题考查二次函数的应用，准确识图，掌握二次函数的性质是解题关键.

2.(1)5=-2X2+40X,7.5<X<20

(2)AB长10米

【分析】⑴8c长可表示为40-2x425,于是s=x(40-2x),化简得答案；

(2)令s=200,构建方程求解；

【详解】(1)解:s=x(40-2x)

——2x~+40x,

40-2x425,得x27.5

自变量的取值范围为：7.5Wx<20

(2)根据题意，令s=200得：

-2x?+40x=200

解得X]=x2=10

答：当矩形茶园N3CZ)的面积为200平方米时，长10米.

【点睛】本题考查列二次函数解析式，一元二次方程的求解；理解方程和函数关系是解题的

关键.

44

3.(1)y=-2x+44(5<x<—)；(2)S=-2x2+44x,不能

【分析】(1)根据题意，可知4D+3C+/2=40且有进而写出〉关于x的函数关系

式，并写出面积公式；

(2)由(1)中了与x的函数关系式，可得S与x的函数关系式，再根据矩形场地面积为

答案第1页，共77页

260平方米列出方程，解出此时x的值即可.

【详角星】解：(1)-AD+BC-2+AB-2=40,AD=BC=x,

••少=Z5=-2x+44,

•••x<-2x+44,

44

••,XV-T-，

3

•••长为34米的墙，

■■■-2x+44<34,

44

；.5<x<—；

一3

(2)由(1)可知5=孙=(-2x+44)x=-2x2+44x,

由题意得，(-2x+44)*x=260,

即x2-22x+130=0,

•■•A=484-520=-36<0,

;此方程无解，

不能使矩形场地的面积为260平方米.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，判断所求的解是否符合题意，舍

去不合题意的解.找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.

4.A

【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，动点问题的函数图象；分别求得点N在CD

上运动时，点N在8C上运动时的函数解析式，即可求解.

【详解】解：当点N在CD上运动时，

113

则y=_NMx8C=_xx3=_x,函数图象为一次函数；

222

当点N在8C上运动时，

则8N=3+3-2x=6-2x,

则了=3么"、8"=3》文(6-2工)=-X2+3》，函数图象为二次函数；

故选：A

5.318

答案第2页，共77页

【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方

法是解题的关键.

根据题意，设运动时间为fs,ni^AE=BF=CG=DH=tcm,

BE=FC=GD=AH=（6-t）cm,AAEHABFE'CGF2DHG,可得

S四边形=$正方物LBC0-,根据数量关系列式,可得S四边形后《汨关于，的二次函数的解析

式，运用配方法求最值即可求解.

【详解】解：•••四边形是正方形，

AB=BC=CD=AD=6cm,NA=NB=NC=ND=90°,

点、E,F,G,H分别从点A,B,C,。同时出发，均以Icm/s的速度向点B,C,D,

A匀速运动，设运动时间为ts,

AE=BF=CG=DH=/cm,BE=FC=GD=AH=（6-7）cm,

xAEH'BFEACGFADHG,

S

•1•AAEH=^AE>AH=+3t,

S四边形EFGK=SjE方形4BC0_4S./EH

=62-4X|^-1Z2+3^

=2/-121+36

=2（/-3）2+18,

■■-2>0,即％边形关于/的二次函数图像开口线上，则有最小值，

.•.当:3时，$四边形EFGG有最小值，且最小值为18,

故答案为：3,18.

6.C

【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-l代入抛物线

解析式得出水面宽度，即可得出答案.

【详解】如图所示：

答案第3页，共77页

建立平面直角坐标系，设横轴X通过AB,纵轴y通过AB中点0且通过C点，则通过画图

可得知。为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A,B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线

顶点C坐标为(0,2),

通过以上条件可设顶点式y=ax?+2,其中a可通过代入A点坐标(-2,0),

到抛物线解析式得出：a=-0.5,所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2,

当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=-l时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-l与抛物线相交的两点之间的

距离，

可以通过把y=-l代入抛物线解析式得出:

-l=-0.5x2+2,

解得：x=±n，所以水面宽度增加到2n米，比原先的宽度当然是增加了2c-4.

故选C.

【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题

的关键.

7.10A/2

【分析】由待定系数法求出函数表达式，进而求解.

【详解】解：由题意得，点8(10,4),

2

设抛物线的表达式为：y=a(X-W)+4,

将(0,0)代入上式得：0=。(0-10)2+4,

解得：a=—0.04,

答案第4页，共77页

即抛物线的表达式为：y=-0.04（x-10）2+4,

当y=2时，即2=-0.04（x-10）2+4,

解得：x=10+5V2（米），

则在距离水面2米处桥拱宽度为100米，

故答案为：10行.

【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助二次函

数解决实际问题.

8.20

【分析】根据正常水位时水面宽/8=30米，找出当x=15时了=-9,再根据水位上升5米时,

代入解析式求值即可.

【详解】解：•••48=30,

1,

.,.当x=]5时，｝?=_石><]5-=_9,

当水位上升5米时，y=-4,

把y=_4代入>=_±丫2,得_4=_5工2,

解得x=±10,

此时水面宽CD=20米，

故答案为：20.

【点睛】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键.

9.（l）y=5x+50（0<x<30）

（2）销售单价为55元时，销售每天所获得的利润为1875元；

（3）销售单价为60元，每天销售这款文化纪念册获得的利润W最大，最大利润是2000元

【分析】本题考主要查了二次函数及其应用问题.

（1）依据题意，根据销售量》与x的关系进行分析计算可以得解；

（2）依据题意，根据利润=（售价-进价）x销售量进行计算可以得解；

（3）依据题意，结合（2）可得利润与降价x之间的关系，然后配方后计算可以得解.

【详解】（1）解：由题意得：y=50+5x,止匕时70-工>40,即x<30.

：J与x之间的函数表达式为y=5x+50（0<x<30）.

（2）解：由题意，••・利润=（售价-进价）x销售量，

答案第5页，共77页

...利润=(70-x-40)(50+5x)=1875.

二解得：%=15,x2=5.

•••为了扩大销售，

/.x=15.

销售单价为70-15=55(元).

答：销售单价为55元时，销售每天所获得的利润为1875元；

(3)解:由题意，结合(2)可得利润w与降价x的函数关系式为

w=(70-x-40)(50+5x)=-5x2+100x+1500=-5(x-10)2+2000.

.,.当x=10时，每天销售这款文化纪念册获得的利润卬最大，最大利润是2000元.

••.此时销售单价为70-10=60(元).

答：销售单价为60元，每天销售这款文化纪念册获得的利润卬最大，最大利润是2000

元.

10.(1)20%

(2)当每杯售价定为10元时，利润最大为4900元

【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次

方程和函数关系式；

(1)设景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长

率是x,可得：2(l+x)2=2.88,即可解得景区2023年10月1日至2023年10月3日这3

天时间内接待游客人次的平均增长率是20%；

(2)设每杯售价定为加元，利润为w元，可得：w=(7M-3)[400+100(13-m)]=-100(/77

-10)2+4900,由二次函数性质可得答案.

【详解】(1)解：设西山风景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游

客人次的平均增长率是x,

根据题意得：2(1+x%)2=2.88,

解得x=20%或x=-220%(舍去)，

答:西山风景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增

长率是20%；

(2)设每杯售价定为加元，利润为卬元，

答案第6页，共77页

根据题意得：w=(m-3)[400+100(13-m)]=-100(m-10)2+4900,

­.-100<0,

.•.加=10时，W取最大值，最大值是4900,

答：当每杯售价定为10元时，利润最大为4900元.

11.(1)y=—2x+320

(2)彳与x之间的函数表达式为少=-2/+520》-32000,售价为130元时能获得最大日利润

⑶售价范围为110140

【分析】(1)利用待定系数法计算即可.

(2)利用利润=单件利润x数量，构造二次函数，利用二次函数的最值确定方法计算即可.

(3)计算直线与抛物线的交点坐标，运用数形结合思想，计算即可.

【详解】(1)设)=丘+6,

110k+6=100

将(110,100),(130,60)代入，得

130后+6=60

k=-2

解得

6=320'

y=-2x+320.

(2)FT=(x-100)(-2x+320)

=-2x2+520%-32000

=-2(130)2+1800,

.•.当x=130时，少取得最大值，

沙与x之间的函数表达式为少=-2/+520*-32000,售价为130元时能获得最大日利润.

(3)范围是：1104x4140.理由如下：

4-2(x-130)2+1800=1000,

解得再=110,X2=150.