2023年北京中考数学重难题型专练：新定义创新型综合压轴问题（北京专用）【解析版】

2023中考数学重难题型押题培优导练案(北京专用)

专题01新定义创新型综合压轴问题

(北京13-22年最后一题+真题10道模拟30道)

【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢

新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读

懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型

(1)定义新运算；(2)定义初、高中知识衔接"新知识"；(3)定义新概念.这类试题考查考生对"新定

义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利

用已有的知识经验来解决问题.

解决此类题的关键是(1)深刻理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；

(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归

纳“举例”提供的分类情况；(3)依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思

想方法解决题目中需要解决的问题。

北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应

点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。在

平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法.解答这类问题的

关键是要读懂题目提供一的新知识，理解其本质，把它与己学的知识联系起来，把新的问题转化为己学的知

识进行解决.

【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分

【例1】(2022•北京・中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,6),N.对于点P给出如下定义：将点P

向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(6>0)或向下(b<0)平移网个单位长度，得到点P',

点P'关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.

⑴如图，点点N在线段。M的延长线上，若点P(—2,0),点Q为点P的“对应点”.

①在图中画出点Q；

②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=

(2)。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段。M上，且。N=tG<t<l),若P为。。外一点，点Q为

点P的“对应点”，连接PQ.当点M在。。上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)

【答案】(1)见解析

(2)4t-2

【解析】

【分析】

(1)①先根据定义和求出点P'的坐标，再根据点P'关于点N的对称点为Q求出点0的坐标；②延长

CW至点4(3,3),连接40,禾！J用Z/S证明ZVlQTwAOPT,得到兀4=7。=敖4,再计算出。4,OM,ON,

即可求出NT=ON-OT=¥=TOM；

(2)连接尸。并延长至S,使。P=OS,延长S。至7,使ST=OM,结合对称的性质得出为AP'QT的中

位线，推出NM=^QT,得出SQ=ST-TQ=1^(2-2t)=2t-l,则PQmax-PQmin=(PS+QS)-(PS-QS)

=2QS.

(1)

解：①点0如下图所示.

•.•点

...点P(-2,0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P',

；中(一1,1),

•.•点P'关于点N的对称点为Q,N(2,2),

二点Q的横坐标为：2x2—(—1)=5,纵坐标为：2x2—1=3,

...点Q(5,3),在坐标系内找出该点即可;

②证明：如图延长ON至点4(3,3),连接

AQ//OP,

：.A.AQT=Z.OPT,

在与ANOPT中，

(Z.AQT=乙OPT

{/.ATQ=乙OTP,

IAQ=OP

：.^AQT=/^OPT(AAS),

：.TA=TO=1OA,

'：4(3,3),N(2,2),

OA=V32+32=3vLOM=<12+12=V2-ON=V22+22=2VL

：.TO=^OA=y2,

NT=ON-OT=2&-=浮

：.NT=^OM；

⑵

解：如图所示，

连接尸。并延长至S,使OP=OS,延长S。至7,使ST=OM,

：M(a,b),点P向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(匕>0)或向下(6<0)平移网个单位长

度，得到点P',

：.PP'=OM=1,

"/点P'关于点N的对称点为Q,

:.NP'=NQ,

又，：OP=OS,

J.OM//ST,

为AP'QT的中位线，

J.NM//QT,NM^QT,

\'NM=OM-ON=l-t,

：.TQ=2NM=2-2t,

：.SQ=ST—TQ=1—(2—2t)=2t—1,

在APQS中，PS-QS<PQ<PS+QS,

结合题意，PQmax=PS+QS,PQmin=PS-QS,

•••PQmax-PQmin=(PS+QS)—(PS—QS)=2QS=4t—2，

即PQ长的最大值与最小值的差为4t—2.

【点睛】

本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2

问难度较大，根据题意，画出点。和点P'的轨迹是解题的关键.

【例2】(2021•北京・中考真题)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,对于点A和线段BC,给出如下

定义：若将线段BC绕点力旋转可以得到。。的弦8'C'分别是的对应点)，则称线段BC是。。的以

点力为中心的“关联线段”.

(1)如图，点481，0刀2，。2岛,。3的横、纵坐标都是整数.在线段2c2，B3c3中，。。的以点力为中心的

“关联线段”是;

(2)△4BC是边长为1的等边三角形，点4(0,。，其中£力0.若BC是。。的以点4为中心的“关联线段”，

求t的值；

(3)在△A8C中，AB^1,AC=2.若BC是。。的以点4为中心的“关联线段”，直接写出。4的最小值和最

大值，以及相应的BC长.

【答案】⑴82c2；⑵t=±V3;(3)当。4nin=l时，此时BC=g；当CMmax=2时，此时BC=容

【解析】

【分析】

(1)以点/为圆心，分另IJ以4B1/C1/B2/C2/B3/C3为半径画圆，进而观察是否与。。有交点即可；

(2)由旋转的性质可得△ABC是等边三角形，且良。是O。的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性

质可进行求解；

(3)由BC是。。的以点4为中心劭关联线段”，则可知B1C嘟在O。上，且2B，=4B=1,4。="=2,然

后由题意可根据图象来进行求解即可.

【详解】

解：(1)由题意得：

通过观察图象可得：线段B2c2能绕点A旋转90。得到O。的“关联线段”，Bi。,83c3都不能绕点A进行旋转

得至！1;

故答案为B2c2；

(2)由题意可得：当8C是。。的以点2为中心的“关联线段”时，则有△ABC是等边三角形，且边长也为

1,当点/在y轴的正半轴上时，如图所示:

设BC与y轴的交点为。，连接。夕,易得BCly轴，

1

B'D=DCr=-,

•*-OD=y/0B'2-B'D2=亭AD=y/AB'2-B'D2=亭

OA=V3>

••t=V^；

当点/在y轴的正半轴上时，如图所示：

同理可得此时的。A=痘,

•*-t=-v^；

(3)由BC是00的以点4为中心的关联线段”，则可知所,(?都在00上，且2B，=4B=1/。=4。=2,则

有当以方为圆心，1为半径作圆，然后以点/为圆心，2为半径作圆，即可得到点/的运动轨迹，如图所示

r

由运动轨迹可得当点”也在O。上时为最小，最小值为1,此时4。为O。的直径,

AAAB'C=90°,

：.^AC'B'=30°,

：.BC=B'C=AC-cos30°=遮；

由以上情况可知当点49,。三点共线时，OA的值为最大，最大值为2,如图所示：

连接。（7,9。，过点。作CQ4于点尸,

0C—1,AC'—0A=2,

设0P=%,则有ZP=2-%,

・•・由勾股定理可得：CP2=AC'2-AP2=OC'2-OP2,即22—（2-%）2=1—X2,

解得：久=；,

4

...c,p=逗，

4

3

：.B,P=OB,-OP=^

4

在Rt△中，BC=sjB'P2+CP2=浮

:.BC=圆,

2

综上所述：当。4min=l时，此时BC=后当。4max=2时，此时=孚.

【点睛】

本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基

本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键.

【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心

1.（2020•北京•中考真题）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,A,B为。O外两点，AB=1.给出

如下定义：平移线段AB,得到。O的弦（48分别为点A,B的对应点），线段44长度的最小值称为

线段AB到。O的“平移距离”.

（1）如图，平移线段AB到。O的长度为1的弦P/2和P3P4,则这两条弦的位置关系是;在

点21岛岛岛中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到OO的“平移距离”；

（2）若点A,B都在直线y=73%+2行上，记线段AB到。O的“平移距离”为心，求心的最小值；

（3）若点A的坐标为（2,|）,记线段AB到。。的“平移距离”为d2,直接写出d2的取值范围.

【答案】⑴平行，P3；（2）争（3）|=d2M等

【解析】

【分析】

（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可;

(2)过点O作OE±AB于点E,交弦CD于点F,分别求出OE、OF的长，由乙=0E—。?得到心的最小

值；

(3)线段AB的位置变换，可以看作是以点A(2,|)为圆心，半径为1的圆，只需在00内找到与之平行,

且长度为1的弦即可.平移距离期的最大值即点A,B点的位置，由此得出d2的取值范围.

【详解】

解：(1)平行；P3；

(2)如图，线段AB在直线丫=后+2四上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD,CD〃AB,过点0作

OEJ_AB于点E,交弦CD于点F,0F1CD,令y=0,直线与x轴交点为(-2,0),直线与x轴夹角为

60°,A=2sin60°=V3.

由垂径定理得：0F=工℃2—(92哼

(3)线段AB的位置变换，可以看作是以点A(2,|)为圆心，半径为1的圆，只需在。。内找到与之平行,

且长度为1的弦即可；

点A到O的距离为4。=-2+(|)2=

如图，平移距离电的最小值即点A到。O的最小值：41=|;

y

平移距离d2的最大值线段是下图AB的情况，即当AI,A2关于0A对称，且A[B2，AIA2且A]B2=1时./

B2A2Al=60°,则NOA2Al=30°,

VOA2=1,.\OM=i,A2M哼

【点睛】

本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆

的位置关系是解题的关键.

2.（2019・北京・中考真题）在aABC中，D,E分别是△ABC两边的中点，如果而上的所有点都在AABC的

内部或边上，则称朝为AABC的中内弧.例如，下图中而是AABC的一条中内弧.

D

B-------------------------1C

(1)如图，在RSABC中，AB=AC=2^2,D,E分别是AB,AC的中点.画出AABC的最长的中内弧

DE,并直接写出此时画的长；

(2)在平面直角坐标系中，已知点4(0,2),8(0,0),C(4t,0)(t>0),在aABC中，D,E分别是AB,2C的

中点.

①若t=(求4ABC的中内弧南所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在△居(：中存在一条中内弧南，使得命所在圆的圆心P在aABC的内部或边上，直接写出t的取值

范围.

【答案】⑴兀；⑵①P的纵坐标为N1或处W9②0<"我.

【解析】

【分析】

(1)由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2,最长中内弧即以DE为直径的半圆，市的长即以

DE为直径的圆周长的一半；

(2)根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上,，①当t=：时，要注意圆心P在DE上方的

中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角/AEP满足90°<ZAEP<135°；②根据题意,

t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值.

【详解】

解：(1)如图2,

5

以DE为直径的半圆弧砺，就是aABC的最长的中内弧瓦，连接DE,VZA=90°,AB=AC=2VLD,E

分别是AB,AC的中点,；.BC=^=孺=4可十C/X4=2,

____1

，弧。E=-x2TT=7T;

(2)如图3,由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE,作DE垂直平分线FP,

作EG_LAC交FP于G,

①当t=T时，C(2,0),：.D(0,1),E(1,1),F(pl),

设PG，TH)由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，・・・mNl,

VOA=OC,ZAOC=90°

ZACO=45°,

VDE/7OC

・•・ZAED=ZACO=45°

作EG_LAC交直线FP于G,FG=EF=|

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方(含点G)直线FP上时也符合要求;

1

・••-

综上所述，血《/或mNl.

②图4,设圆心P在AC上,

・・・P为AE中点，作PM_LOC于M,则PM=|

VDE/7BC

・•・ZADE=ZAOB=90°,

・・.AE=y/AD2+DE2=712+(2t)2=个4t2+1

VPD=PE,

・•・ZAED=ZPDE

ZAED+ZDAE=ZPDE+ZADP=90°,

・•・ZDAE=ZADP

1

AP=PD=PE=—AE

由三角形中内弧定义知，PD<PM

AE<3,即V4t2+143,解得：t<V2

t>0

•••0<t<V2

【点睛】

此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义,

要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题.

3.(2018•北京•中考真题)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义P为图形M上任意一点，

Q为图形N上任意一点，如果P,Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”，

记作dCM,N).

已知点4(一2,6),B(-2,-2),C(6,-2).

(1)求d(点。，△ABC)；

(2)记函数y=kx(—1WxWl,kKO)的图象为图形G,若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围

(3)07的圆心为T(7,0),半径为1.若d(OT,AABC)=1,直接写出/的取值范围.

【答案】(1)2；(2)—lWk<0或0<kWl；(3)t=—4或0Wt<4—2鱼或t=4+2或.

【解析】

【详解】

分析：(1)画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.

(2)分k<0和上>0两种情况，画出示意图，即可解决问题.

(3)画出图形，直接写出,的取值范围.

详解：(1)如下图所示：

VB(-2,-2),C(6,-2)

：.D(0,-2)

：.d(。，△ABC)=OD=2

(2)-l<fc<O^cO</c<l

(3)t=—4或0WtW4-2鱼或t=4+2«.

点睛属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解

题的关键.

4.（2017•北京•中考真题）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下的定义：若在图形M存在

一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.

（1）当。O的半径为2时，

①在点「1仔0）,2（］亨）,P3（|,0）中，。。的关联点是.

②点P在直线y=-x上，若P为。O的关联点，求点P的横坐标的取值范围.

（2）©C的圆心在x轴上，半径为2,直线y=-x+l与x轴、y轴交于点A、B.若线段AB上的所有点都

是。C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.

【答案】⑴①P2、P3,②—室xS一弓或日Wx岑；（2）-2<x<l2<x<2V2.

【解析】

【详解】

试题分析：（1）①由题意得，P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由。「2,。。3的值可知。2,

P3为。O的关联点；②满足条件的P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P横坐标范围

是一随＜x＜一返或返＜x包名

2222

(2).分四种情况讨论即可，当圆过点A,CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点A,AC=1时；当圆过

点B时，即可得出.

试题解析：

(1)OP1=l，OP2=l,OP3=l，

点Pl与。的最小距离为|，点P2与。的最小距离为1,点P3与。的最小距离为今

•••0的关联点为P2和23.

②根据定义分析，可得当直线y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意；

/.设点P的坐标为尸(x,-x),□

当OP=1时，由距离公式可得，OP=J(x—0)2+(—X一0)2=1,解得x=±¥,当op=3时，由距离公式

可得，OP=J(x—0)2+(—X—0)2=3,/+#=9,解得％=±乎，

点的横坐标的取值范围为一乎＜X＜-^或当＜X＜^2

(2):丫=班+:!与轴、轴的交点分别为A、B两点，令y=0得，-x+l=0,解得x=l,口

令得x=0得，y=0,

；.A(1,0),5(0,1),

分析得：

如图1,当圆过点A时，此时CA=3,

...点C坐标为，C(-2,0)□

如图2,当圆与小圆相切时，切点为D,

；.CD=1,

又•.•直线AB所在的函数解析式为y=-x+l,

二直线AB与x轴形成的夹角是45。，

RTAACD中，CA=V2，

C点坐标为(1-或，0)

C点的横坐标的取值范围为；-2WXcW1-鱼，

如图3,当圆过点A时，AC=1,

C点坐标为(2,0)

如图4,

当圆过点B时，连接BC，此时BC=3,

在RtaOCB中，由勾股定理得0©=存11=2鱼，C点坐标为（2V2.0）.

二C点的横坐标的取值范围为2sxe<2V2;

•••综上所述点C的横坐标的取值范围为一乎<xc<~^或日夕c餐.

【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正

确地进行分类讨论是解题的关键.

5.（2016•北京•中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（/，月），点Q的坐标为（%2,及），

且小片冷，月力及，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为

点P,Q的“相关矩形”.下图为点P,Q的“相关矩形”的示意图.

（1）已知点A的坐标为（1,0）.

①若点B的坐标为（3,1）求点A,B的“相关矩形”的面积;

②点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式;

（2）。。的半径为,/二，点M的坐标为（m,3）.若在。O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为

正方形，求m的取值范围.

【答案】（1）①2；②y=x—l或y=-x+l；（2）l<m<5或者—5WmW-l.

【解析】

【详解】

试题分析：（1）①易得S=2；

②得到C的坐标可以为（3,2）或者（3,-2）,设AC的表达式为y=kx+b,将A、C分别代入AC的表达

式即可得出结论；

（2）若OO上存在点N,使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=±l,即过M点作k=±l的直

线，与。O相切，求出M的坐标，即可得出结论.

试题解析：（1）①S=2xl=2；

②C的坐标可以为（3,2）或者（3,-2）,设AC的表达式为y=kx+b,将A、C分别代入AC的表达式得到

C二上嚼或｛4受江6,解得：｛，=匕或｛"普1，则直线AC的表达式为y=x—1或y=—x+l；

（2）若。。上存在点N,使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=±l,即过M点作k=±l的直

线，与。。有交点，即存在N,当k=—1时，极限位置是直线与。O相切，如图人与l，直线A与。O切于

点N,ON=V2，ZONM=90°,与y交于Pi（0,-2）.（m1；3）,/.3-（-2）=0-

：.Mr（-5,3）；同理可得M2（-1，3）；

当k=l时，极限位置是直线b与〃（与。O相切），可得“3（1，3）,“4（5,3）.

因此m的取值范围为l<m<5或者一5WmW—1.

考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力.

6.(2015•北京•中考真题)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为r,尸是与圆心C不重合的点，点P关

于。C的反称点的定义如下若在射线CP上存在一点P,满足CP+CP=2r,则称P为点P关于。C的反称

点，如图为点尸及其关于。。的反称点P的示意图.

特别地，当点P与圆心C重合时，规定CP=0.

(1)当。。的半径为1时.

①分别判断点M(2,1),N(|,0),T(1,V3)关于。。的反称点是否存在？若存在，求其坐标；

②点尸在直线产-x+2上，若点尸关于。。的反称点P存在，且点P不在x轴上，求点尸的横坐标的取值

范围；

(2)。。的圆心在x轴上，半径为1,直线厂■■争+2机与x轴、y轴分别交于点N,B,若线段上存在

点尸，使得点尸关于。C的反称点P在。C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围.

【答案】(1)①见解析；②0〈尤<2；(2)圆心C的横坐标的取值范围是2SxW8.

【解析】

【分析】

(1)①根据反称点的定义画图得出结论；@-：CP<2r=2,CP2<4,P(x,—x+2),CP2=x2+(—x+

2)2—2x2—4x+4<,2x2~4x<0,x(x—2)<0,0<x<2,把x=2和x=0代入验证即可得出，P(2,0),

P'(2,0)不符合题意P(0,2),P(0,0)不符合题意，Z,0<x<2

(2)求出4,2的坐标，得出。/与05的比值，从而求出/。48=30。，设C(x,0)

①当C在。4上时，作S_L43于〃，HlJCH<CP<2r^2,：.AC<4,得出C点横坐标近2.(当x=2时,

C点坐标(2,0),〃点的反称点M(2,0)在圆的内部)；②当C在/点右侧时，C到线段48的距离为

NC长，NC最大值为2,；.C点横坐标烂8,得出结论.

【详解】

解：(1)解：@M(2,1)关于。O的反称点不存在，

N(|,0)存在，关于。。的反称点存在，反称点N6,0)

T(L何存在，关于。O的反称点存在，反称点7(0,0).

②2r=2,OP2<4,P(x,—x+2),

。尸2=N+(一无+2)2=2/—4X+4S4

2x2—4x<0,x(x—2)<0,

/.0<x<2,当x=2时，P(2,0),P'(2,0)不符合题意

当x=0时，P(0,2),P'(0,0)不符合题意，

.,.0<x<2

(2)解：由题意得：A(6,0),B(0,2V3)，

•,送=后

：.ZOAB=30°,

设C(x,0)

①当。在上时，作CH_L/8于〃，则C77WCPW2r=2,：.AC<4,。点横坐标史2.

(当x=2时，C点坐标(2,0),〃点的反称点发(2,0)在圆的内部)

②当C在/点右侧时，C到线段48的距离为ZC长，/C最大值为2,点横坐标烂8

综上所述：圆心C的横坐标的取值范围2WxW8.

考点：定义新运算；一次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质；圆的有关性质，解直角三角形；

7.(2014・北京・中考真题)对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足

-M<y<M,则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值.例如,

下图中的函数是有界函数，其边界值是1.

(1)分别判断函数y=；(刀>。)和丫=尤+1(—4<%三2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

(2)若函数y=—%+《力力>a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围；

(3)将函数y=/(—1<%<加，m20)的图象向下平移租个单位，得到的函数的边界值是t,当TH在什么

范围时，满足为Y1?

【答案】(1)y=：(%>0)不是有界函数，y=%+1(—4V%42)是有界函数，边界值是3；(2)-1<h<3；

(3)或

【解析】

【分析】

(1)分析题意，结合已知中有界函数的定义可进行判断；

(2)根据一次函数的性质可得y=-x+1的增加性,再结合自变量的取值范围和题意可得｛-24：1<2,

解此不等式组可得b的取值范围；

(3)要分情况讨论，易判断巾>1不符合题意，故小《1；结合已知函数解析式可得函数过点(一1,1)和

(0,0),以此求得其平移后的点坐标，进而可得?41—或一1《一由此即可求得小的取值范围.

【详解】

解：（1）结合已知根据有界函数的定义可知y=*x>0）不是有界函数，y=x+1（—4<x42）是有界函数,

边界值是3；

（2）y=—%+1中一1V0,y随式的增大而减小，

・•・当％=。时，y=—a+1=2,故a=—1.

当％=b时，y=—b+1,

根据题意可得：｛-24］箕1<2，

***3>b>-1；

（3）若6>1,函数向下平移m个单位后，％=0时，函数值小于一1,此时函数的边界值力大于1,与题意不

符，故血《1.

当％=—1时，y=1,即过（一1,1）,

当％=0时,ymin=0,即过（0,0）,

将（-L1），（0,0）都向下平移加个单位，得到（一1,1一瓶），（0,-m）,

根据题意可得：1—血=力或一m=3

—或一14一?71《天

•••

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解题的关键是结合新定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的

性质.

8.（2013•北京•中考真题）对于平面直角坐标系xOy中的点P和。C,给出如下定义：若。C上存在两个点

A,B,使得NAPB=60。，则称P为。C的关联点.已知点D（8,1）,E（0,一2）,F（范,0）

（1）当。O的半径为1时，

①在点D,E,F中，。。的关联点是；

②过点F作直线交y轴正半轴于点G,使NGFO=30。，若直线上的点P（m,n）是。0的关联点，求m的

取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围.

【答案】（1）①D,E®0<m<V3（2）r>l

【解析】

【详解】

解：

（1）①根据关联点的定义，得出E点是。。的关联点，进而得出F、D,与00的关系：

如图1所示，过点E作。O的切线设切点为R,

VE0=2,.,.ZOER=30°.

根据切线长定理得出00的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°.

；.E点是。O的关联点.

VDC|,E（0,-2）,F（2V3，0）,

；.OF>EO,DO<EO.

.•・D点一定是。0的关联点，而在。O上不可能找到两点使得组成的角度等于60。.故在点D、E、F中,

OO的关联点是D,E.

②由题意可知，若P要刚好是。C的关联点，需要点P到。C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60。.

由图2可知NAPB=60。，贝i]/CPB=30。，

连接BC,则PC=V^=2BC=2r,

sinzCPB

.•.若P点为。C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0<d<2r.

由(1),考虑临界点位置的P点，

点P到原点的距离OP=2xl=2,

过点。作x轴的垂线OH,垂足为H,

则tan/OGF=螺=乎=V3-

二ZOGF=60°.

OH=OGsin60°=V3.sinzOPH=零=§.

/.ZOPH=60°.可得点Pi与点G重合.

过点P2作PzMLx轴于点M,可得NP20M=30。，

.,.OM=OP2COS30°=V3.

二若点P为。O的关联点，则P点必在线段PiP2±.

.,.0<m<V3.

(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的

中点.

即恰好E、F点为。K的关联时，则KF=2KN李F=2,此时，r=l.

若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r>l.

【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优

一、解答题

I.（2022•北京朝阳•二模）在平面直角坐标系xQy中，。。的半径为1,48=1,且3两点中至少有一

点在。。外.给出如下定义平移线段N3,得到线段49（4,9分别为点4,3的对应点），若线段49上

所有的点都在0。的内部或。。上，则线段44长度的最小值称为线段N8到。。的“平移距离”.

（1）如图1,点41，%的坐标分别为（-3,0）,（—2,0）,线段到。。的"平移距禺"为__，点人2，口2

的坐标分别为（一，V3）,多遮），线段人2&到。。的“平移距离”为—；

（2）若点/,2都在直线y=Bx+2值上，记线段48到。。的“平移距离”为4,求d的最小值;

(3)如图2,若点/坐标为(1,原),线段N8到。。的“平移距离”为1,画图并说明所有满足条件的点8形

成的图形(不需证明).

【答案】⑴2,日

⑵亨

(3)见解析，MN

【解析】

【分析】

(1)根据平移的性质及线段到圆的“平移距离”定义可分别求得；

(2)如图1,可求得直线/与两坐标轴的交点，则可求得/与x轴所夹的锐角，将直线/向右平移得到直线

h，当直线人经过点4时，与圆的另一个交点为夕，则可得△。4方是等边三角形，且边长为1；作力4,直线

I于点4线段到。。的“平移距离总是44的长度，从而可求得最小值d.

(3)如图2,连接04交。。于点3,设。。交x轴正半轴于点E,连接BE,作3关于y轴的对称点。，

连接3。、OD,则易得△(?"、△OAD都是等边三角形，由点8是CM中点，可求得点8、。的坐标，由8

到/的平移及已知可求得点。、E平移后的对应点M、N的坐标，则M、N在以点/为圆心1为半径的圆

上，此时可得点2形成的图形.

(1)

当线段出为向右平移2个单位长度时，线段/由/上的点除/I点位于。。上外，其余点全部位于。。内部,

则线段AjB,到。。的“平移距离”为点Aj平移的距离2；

如图，当线段上已向下平移到上万2'时，线段七夕2‘上的点除七'、两点位于。。上外，其余点全部位于

。。内部，设企'%'与了轴交于点C,

=/z%，=3282=OA2—1,

...由勾股定理得："="廿_42£2=112_©=争

,点a2,%的坐标分别为(一pV3)>(g，W，

.•.小是向下平移的距离为：遮―苧=容

则线段出层到。。的“平移距离”为争

(2)

如图1,直线/的表达式为y=旧刀+2b，4点的坐标为(-1,0).

在丫=+2V^中,令y=0,得x=-2；令x=0,得y=2V^,

则直线/与x轴和y轴的交点坐标分别为(-2,0),(0,2V3).

.♦.直线/与x轴所夹锐角为60。.

将直线/向右平移得到直线h，当直线"经过点4时，与圆的另一个交点为方.

VOA'=OB',Z.B'A'0=60°,

△。4所是等边三角形，

：.A'B'=1.

二当点4,8在直线/上运动时，线段到。。的“平移距离加总是44的长度.

作44,直线/于点/,此时44的长度当即为d的最小值

（3）

如图2,连接。4交。。于点8,设。。交x轴正半轴于点E,连接8E,作3关于y轴的对称点。，连接

BD、OD,

由点/坐标知：tanN40E=^=V^,

二ZAOE=60°,

'：OB=OE=\,

...△O2E是等边三角形，

：.BE=\.

由N/OE=60。，则射线OA与y轴正半轴的夹角为30°,

,由对称性知，/BOD=60。,

:.AOBD是等边三角形，

：.BD=\,且8。_1_了轴.

由题意知点/平移后的对应点为S点。、E分别是线段的端点3平移后的对应点，且是两个边界点，

•.•点8是CM的中点，

.•碇闱,

皿4,到

由于3点向右平移半个单位长度再向上平移当单位长度后得到点/,则点。、E按此平移分别得到点"（0,

V3）＞N空），

二以点4为圆心，1为半径画圆，可知点M,N在＜3/上.

所有满足条件的点5形成的图形为MN.

【点睛】

本题属于圆的综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知

识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，学会寻找特殊位置解决数学问题.

2.（2022•北京北京•二模）在平面直角坐标系久Oy中，。。的半径为1.对于线段PQ给出如下定义：若线段

PQ与O。有两个交点M，N,且PM=MN=NQ,则称线段PQ是。。的“倍弦线”.

(1)如图，点48,C,。的横、纵坐标都是整数.在线段力B,AD,CB,CD中，O。的倍弦线”是；

⑵O。的“倍弦线”PQ与直线尤=2交于点E,求点E纵坐标'E的取值范围；

(3)若。。的“倍弦线”PQ过点(1,0),直线y=x+b与线段PQ有公共点，直接写出6的取值范围.

【答案】⑴4B,CD；

(2)—V5WYEWV5：

(3)-V2-2<b<2V2+l

【解析】

【分析】

(1)依次连接线段力B,AD,CB,CD,通过“倍弦线”的定义判断即可；

(2)通过〃、N均在圆上，可以求得必V的取值范围，进而可以求出P0的取值范围，结合图形，就可以

求出点E纵坐标VE的取值范围；

(3)先画出尸、。两点的运动轨迹，分别求出直线y=x+b与两个圆相切时对应的尸、S坐标，进而就可

以去就出b的取值范围.

(1)

解：如图，连接分别交O0于点E、F,连接分别交O。于点G、H,连接CD分别交O0于点K、

F,连接C8,

•••C2与。。没有交点，故CB不符合题意；

观察图像，AG丰DH,故/£>不符合题意；

•••ZE=EF=FB=2,；.线段45是O。的“倍弦线”；

CK=KF=FD=奁，.•.线段CD是。。的“倍弦线”,

故O。的“倍弦线”是AB,CD；

⑵

由题意，可得PQ=3MN,

•：M、N在圆上,

：.MN<2,

：.PQ<6,

如图，当OP=3且点尸在直线x=2上时,

\'0H=2,

•••PH=70P2一。。2=<32_22=V5-

：.P1H^P2H=^>

结合图形，点£的纵坐标取值范围为一遍三丫后3通；

(3)

由题意可得，P、0的运动轨迹分别是以M为圆心，1为半径的圆和以N为圆心，2为半径的圆，如图所示,

当直线y=x+b与圆N相切时，如图中的直线RP,切点为。，

连接N0,•.•直线R尸与ON相切，^NQR=90°,

因为R、尸在直线丫=刀+6上，；.NORP=45。，

丛QRN是等腰直角三角形，

过点。作QE1久轴垂足为E,贝ikNQE=乙ENQ=45°,

设EQ=EN=a,则EQ2+后解=NQ2,即a2+a2=22,解得a=&(负值舍去),

OE=ON+NE=«+1,

则Q(—五—1,五),将其代入、=%+6中，解得6=2五+1,

直线RP的解析式为y=x+2或+1,

当x=0时，解得、=2鱼+1,

故P(0,2«+1),

当直线y=x+b与圆M相切时，如图中的直线S少，切点为7,

连接“7,•.,直线S少与OM相切，NMTW=90。，

因为S、沙在直线y=x+b上，：.^OWS=45°,

.•.△7%是等腰直角三角形，

过点7作7F1x轴垂足为F,则NFMT=ZFTM=45°,

设MF=FT=a,则“产+口2=“72,即小+小=了,解得。=¥（负值舍去），

••・"=0M+MF=2+亭

则7（2+乎，一孝），将其代入y=x+6中，解得b=—2或—2,

二直线SW的解析式为y=x-V2-2,

当久=0时，解得、=一四一2,

故S（o,-四一2）,

综上，6的取值范围为一四—2WbW2四+1.

【点睛】

本题考查了坐标与图形的新定义问题，涉及到的知识点较多，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的判定

与性质，圆的切线性质，一次函数的应用等，解题的关键在于正确作出辅助线，理解“倍弦线”的定义是解题

的关键.

3.（2022•北京大兴・二模）在平面直角坐标系中，对于点P和直线y=l,给出如下定义：若点尸在直

线y=l上，且以点P为顶点的角是45。，则称点P为直线y=l的“关联点”.

（1）若在直线％=1上存在直线y=1的“关联点”尸.则点P的坐标为；

y八

2-

1>=1

-3-2-1O12345%

-1-

-2-

（2）过点P（2,l）作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为出另一条射线、交x轴于点2,若点P为直线y=l

的“关联点”.求点8的坐标；

yf

2-

i>=i

-3-2-1O12345K

-1-

-2-

(3)以点。为圆心，1为半径作圆，若在。。上存在点N,使得NOPN的顶点尸为直线y=l的“关联点”.则

点P的横坐标a的取值范围是.

【答案】

(2)B(l,0)或B(3,0).

(3)-l<a<l.

【解析】

【分析】

(1)在直线x=l上存在直线y=1的“关联点”P,可得点尸为两直线的交点，从而可得答案；

(2)根据题意画出图形，结合等腰直角三角形的性质可得答案；

(3)如图，过(一1,0),(1,0)作圆的两条切线，当P(—时，NOPN=45。，根据三角形的外角的性

质可得：NOQN<4OPN=45。,再根据对称性，可得答案.

(1)

解：在直线x=l上存在直线y=l的“关联点”尸