数学优化训练：正弦函数的图象与性质：2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。3。1正弦函数的图象与性质(2)5分钟训练（预习类训练，可用于课前)1.要得到y=sin(2x—）的图象，只要将y=sin2x的图象（）A.向左平移个单位B。向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位解析：∵y=sin（2x—）=sin［2(x）]，∴把y=sin2x的图象向右平移,就能得到y=sin（2x—）的图象.答案：D2。把函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式是（）A。y=sin（4x+）B.y=sin(4x+）C。y=sin4xD.y=sinx解析：将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin[2（x-）+］,即y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的,就得到函数y=sin2（2x），即y=sin4x的图象。答案：C3。函数y=2sin（3x+）的振幅为_____________，周期为_____________，相位为_____________,初期为_____________。解析：由定义可知，振幅是2，周期为,相位3x+，初期。答案：23x+4。函数y=2sin（3x+）的对称轴为_____________；对称中心为_____________。解：观察y=sinx的图象,x=kπ+（k∈Z）是其对称轴，（kπ，0）是其对称中心.由3x+=kπ+（k∈Z)得x=（k∈Z）为对称轴;由3x+=kπ（k∈Z）得（，0)（k∈Z）为对称中心。答案:x=（k∈Z）（，0）（k∈Z）10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.为了得到函数y=3sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象上每一点的（）A.横坐标变为原来的3倍，纵坐标保持不变B。纵坐标变为原来的3倍，横坐标保持不变C。纵坐标变为原来的，横坐标保持不变D。以上都不对解析：观察两函数式的关系,相位相同,仅仅是纵坐标为3倍关系，即B项正确.答案：B2.（2006高考江苏卷,4)为了得到函数y=2sin(+），x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（）A。向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）B。向右平移个单位长度,再把各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）C。向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变）D.向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）解析:把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到y=2sin(x+），x∈R，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变），可得y=2sin（+），x∈R。答案：C3。函数y=2sin（2x+）的图象是()A.关于原点成中心对称的图形B.关于y轴成轴对称的图形C。关于直线x=成轴对称的图形D。关于直线x=成轴对称的图形解析:当x=时，y=2sin=2为最大值。所以直线x=是该函数的一条对称轴;该函数为非奇非偶函数,所以不关于原点或y轴对称。答案：D4。（2005高考福建卷,理6)函数y=sin（ωx+φ）(x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图1-3-2,则（）图1—3-2A.ω=,φ=B.ω=,φ=C.ω=，φ=D。ω=，φ=解析：由题图易知=2T=8。而T==8,∴ω=.排除A、B。∴函数y=sin（x+φ)。显然φ=满足sin（×1+)=1。而φ=,则sin(×1+）=—1.∴排除D.答案:C5。函数y=sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位，所得图象的函数解析式为___________________.解析：y=sinx→y=3sinx→y=3sin(x-3)=3sin（x—1）。答案：y=3sin（x—1)6。已知函数y=Asin(ωx+φ)（A＞0，ω＞0），（1）若A=3，ω=，φ=-,作出该函数在一个周期内的草图;（2）若y表示一个振动量，其振动频率是,当x=时，相位是，求ω与φ.解：(1）y=3sin(—），列出下表：0π2πxy030-30描出对应五点（x，y）,用光滑曲线连结各点即得所应作的函数图象（见下图）。（2)依题意，有∴30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1。已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当x=时，y最大=2；当x=时，y最小=—2,那么函数的解析式为（)A.y=2sin（2x+）B。y=2sin（2x-)C。y=2sin（2x+）D。y=2sin（2x-）解析：由x=时，y最大=2,知A=2，同一周期内,y取最大与最小值时x相差-=。∴=，T=π。∴ω==2.∴y=2sin(2x+φ)，代入最大值坐标，得φ=.答案：A2.函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴方程为（)A。x=B.x=—C.x=—D.x=解析：依题意，令sin（2x+)=±1，则2x+=kπ+，从而x=kπ—π，k∈Z。显然k=1时,x=,符合题意。答案：C3.已知正弦函数在一个周期内的图象如图1-3—3所示,则它的表达式应为…（）图1-3—3A.y=sin（2x+）+B.y=sin(2x-)+C。y=sin（2x+)+D。y=sin(2x—）+解析：从图形中可以看出，曲线的振幅A=，周期T=—（-)=π，ω==2,再将（0，1）代入，有sin（2x+φ)+=1，∴sinφ=1，φ=2kπ+，k∈Z。答案：A4.函数y=2sin（—2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是()A。［0，］B。［，］C.［,]D.［,π］解析：y=2sin（-2x）=-2sin（2x）,当2kπ+≤2x≤2kπ+（k∈Z)，即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),当k=0时，得在［0,π］内所求函数的单调增区间[,]。答案：C5。已知f（x）=sin（πx—)—1，则下列命题正确的是()A.f（x）是周期为1的奇函数B.f（x）是周期为2的偶函数C.f（x）是周期为1的非奇非偶函数D.f（x)是周期为2的非奇非偶函数解析：f(x)=sin（πx—）-1=—sin（-πx）—1=—cosπx-1，∴T==2，且f（x）是偶函数,故选B项。答案：B6。已知函数y=f（x），f(x）图象上所有点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位,得到的曲线与y=sinx图象相同，则y=f（x）的图象表达式为(）A。y=sin（x—）B。y=sin(x+）C.y=sin（x+）D。y=sin(2x-)解析:采用逆向思维方式，由题意，y=sinx的图象沿x轴向右平移个单位后得到y=sin(x-）,再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍,得到y=sin（2x—），此即y=f（x)的解析式.答案：D7.下列命题中，真命题的个数为（）①若α、β为第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ②函数y=的定义域为［2kπ—，2kπ+］（k∈Z）③函数y=Asin（）（A为常数且A≠0）是偶函数④将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x+）的图象A.0B.1解析:对于①可举反例：＞,但sin＜sin；对于②，sin2x＞0,2x∈［2kπ,2kπ+π］，x∈［kπ,kπ+］,k∈Z；对于③，y=Asin(）=Asin（—）=—Acosx，故为偶函数；对于④,y=sin2x→y=sin2(x+)而不是y=sin（2x+)。答案：B8。已知函数y=Asin(ωx+φ）(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π）的图象中最高点（距原点最近）的坐标是（2，)，由这个最高点到相邻最低点的曲线与x轴交于点(6，0)，则此函数的解析式应为________________________.解析:依题意，A=,T=4×（6—2)=16，ω==，∴y=sin（x+φ）,再将（2,）代入前式，有sin（×2+φ)=,故sin（+φ）=1，+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z。又∵0＜φ＜π，∴φ=。∴所求解析式为y=sin（x+）.答案：y=sin(x+）9。若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在区间［0，］上的最大值是，则ω=________________。解析:∵0＜ω＜1，则T=＞2π，∴f（x）在区间［0，］上为增函数.故f（x）max=f（），即2sin=。又0＜ω＜1，则ω=。答案:10。已知f（x）=-2asin(2x+）+2a+b，x∈［，］。是否存在常数a、b∈Q,使得f（x）的值域为｛y|—3≤y≤—1｝?若存在，求出a、b的值;若不存在,说明理由.解：因为≤x≤,所以≤2x+≤，所以—1≤sin（2x+）≤。若存在这样的有理数a、b，则(1）当a＞0时，所以a=1，b=—5(舍去）.（2）当a＜0时,所以a=—1，b=1，即a、b存在,且a=—1，b=1.11。如图1-3—4所示，某地一