数学优化训练：两条直线的位置关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2。3两条直线的位置关系5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1。已知点A（1,2),B(3,1)，则线段AB垂直平分线的方程是()A.4x+2y=5B.4x—2y=5C.x+2y=5解析：可以先求出AB的中点坐标为(2,），又直线AB的斜率k=,∴垂直平分线斜率为2.由点斜式方程，可得所求垂直平分线的方程为y—=2(x—2）,即4x-2y=5.答案：B2.已知直线ax-y=0与直线ax+y=x+1平行，则a的值为(）A。0B.1C.D。解析：由题设可得两条直线的斜率分别为a和1—a,由两条直线平行,得a=1-aa=。答案：C3。已知两直线l1：(3+a）x+4y—5+3a=0与l2：2x+（5+a)y—8=0.（1）l1与l2相交时，a≠____________;(2)l1与l2平行时,a=____________；（3)l1与l2重合时，a=____________；(4)l1与l2垂直时，a=____________。解:由题意知A1=3+a、B1=4、C1=—5+3a,A2=2、B2=5+a、C2=-8.则D1=(3+a).（5+a)-8=a2+8a+7,D2=—32-(-5+3a).（5+a）=3a2+10a+7.当D1≠0，即a≠—7或—1时,l1与l2相交；当D1=0,D2≠0，即a=—7时，l1与l2平行；当D1=0,D2=0,即a=—1时，l1与l2重合;当A1A2+B1B2=0,即a=时，l1与l2垂直。答案：(1）—7或—1(2）—7(3)-1（4)10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1。已知两条直线y=ax—2和y=（a+2）x+1互相垂直,则a等于（)A.2B.1C。0解析：两条直线的斜率分别为a和a+2且相互垂直,即a（a+2）=—1，解得a=-1。答案：D2.以A（-1,1)、B（2,-1）、C（1，4)为顶点的三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D。等边三角形解析：已知三角形三顶点的坐标,可分别求出每条边所在直线的斜率分别为kAB==-5,kCA=,可见kAB·kCA=()×=—1，所以AB边与AC边所在的直线垂直，即∠A=90°，△ABC为直角三角形.答案：B3。直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题：①若l1∥l2,则斜率k1=k2;②若斜率k1=k2,则l1∥l2；③若倾斜角α1=α2，则l1∥l2；④若l1∥l2，则倾斜角α1=α2.其中正确命题的个数是(）A。1B.2C。3解析:对于①,若l1∥l2,但它们都与x轴垂直时，斜率都不存在，则没有k1=k2;对于②，若斜率k1=k2,则这两条直线可能重合；对于③，若倾斜角α1=α2，这两条直线也可能重合;对于④,若l1∥l2，则倾斜角α1=α2正确。故正确命题只有1个。答案：A4.和直线4x+3y+5=0平行且在x轴上截距为—3的直线方程为____________。解析:与直线4x+3y+5=0平行的直线方程可设为4x+3y+c=0,令y=0,得x=,由题意得=-3,故c=12,所以所求的直线方程为4x+3y+12=0。答案：4x+3y+12=05.在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x—2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0.若B的坐标为（1，2)，求A点及C点的坐标.解:由即A点坐标为（-1，0)。作B(1，2）关于y=0的对称点B′(1，-2）,则AB′所在直线方程为,即x+y+1=0.①∵BC边上的高所在直线方程为x-2y+1=0，∴BC边所在直线方程为2x+y—4=0。②联立①②得解得即C（5，-6)。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1.两条直线x+3y+m=0和3x—y+n=0的位置关系是（）A。平行B。垂直C。不平行但不垂直D.不能判断解析：先把两直线方程化成斜截式，可知这两直线的斜率分别是和3，且×3=—1，由此可知这两直线垂直。答案：B2。过点（-1,3）且垂直于直线x—2y+3=0的直线方程为(）A。2x+y-1=0B.2x+y—5=0C.x+2y-5=0D.x—2y+7=0解析：由两直线垂直知所求的直线斜率为直线x-2y+3=0的斜率的负倒数,因为x—2y+3=0的斜率为,所以所求直线的斜率为—2，由直线的点斜式方程得y—3=-2（x+1），化成一般式得2x+y—1=0。答案：A3。过A(1,2)和B(-3,2）的直线与直线y=0的位置关系是()A.相交B.平行C.重合D。以上都不对解析：考查直线间位置关系的判定,由斜率公式，知kAB==0,所以直线AB的方程可写为y=2.而x轴的方程为y=0,∴过AB的直线与y=0平行.答案：B4.已知过点A（—2，m)和B（m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）A。0B。-8C解析：由两条直线平行,得AB的斜率等于直线2x+y-1=0的斜率，又kAB=，即=-2，解得m=-8。答案：B5。一束光线自A（—2，1）入射到x轴上,经反射后，反射光线与y=x平行，则入射线与x轴的交点是（)A。（1，0）B.（-1，0）C.（-3，0）D.(2，0）解析：由入射角等于反射角，易得入射光线斜率为-1，所以选B.答案：B6。已知l平行于直线3x+4y—5=0，且l和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24，则直线l的方程是()A.3x+4y—=0B.3x+4y+=0C。3x+4y—24=0D。3x+4y+24=0解析：设l:3x+4y—c=0,c＞0,由S=×=24,可得c=24.答案：C7。已知两条直线l1:ax+3y—3=0，l2：4x+6y-1=0，若l1∥l2,则a=____________。解析：由题设可得两条直线的斜率分别为和,由两条直线的平行可得=a=2.答案:28.已知定点A（-1，3）、B(4,2)，在x轴上求点C，使AC⊥CB.解：设C(x,0)为所求的点，则kAC=,kCB=.∵AC⊥BC,∴kAC·kBC=-1,即=—1,去分母解得x1=1,x2=2,故所求点为C（1，0)或C(2,0).9.已知△ABC的三个顶点A(1,3)，B（—1,-1)，C(2，1），求BC边上的高所在的直线方程.解:三角形BC边上的高所在的直线与BC边垂直,因为kBC=,所以BC边上高的斜率为，由直线的点斜式方程得y-3=（x-1)，化成一般式得3x+2y-9=0。10。已知A(4,3)，B（3,4),C(1,2），D(-1，—2），求证:四边形ABCD为直角梯形.证明:由斜率公式:kAB=,kBC=，kCD==2,kAD==1，因为kBC=kAD,所以AD与BC平行.又kABkBC=-1，所以AB与BC垂直.又kAB≠kCD,故四边形ABCD为直角梯形.11.光线沿着直线x-2y+1=0射入,遇到直线l：3x-2y+7=0即发生反射，求反射光线所在的直线方程.解：设直线x-2y+1=0上任一点P(x0，y0）关于直线l的对称点为P′（x,y），∵PP′⊥l，∴kPP′=.∴.