双曲线及其标准方程（1课时）教案

第三章圆锥曲线的方程3.2.1双曲线及其标准方程（1课时）【教学内容】双曲线的定义、几何图形及标准方程，双曲线定义及标准方程的简单应用。【教学目标】1.类比椭圆了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程,提升逻辑推导素养；

2.掌握双曲线的标准方程及其求法，提升数学运算素养；

3.会利用双曲线的定义和标准方程解决相关问题，培养数学抽象、逻辑及运算素养。【教学重难点】教学重点：双曲线的定义、几何图形及标准方程教学难点：标准方程的推导过程及应用【教学过程】一、温故而知新——双曲线的定义1．回顾椭圆的概念把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)_的点的轨迹叫做椭圆.2．问题的提出 平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？

下面我们先用信息技术探究一下：

在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.如图：

（1）随着P点的运动，观察两圆交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？答：|MF1|+|MF2|=|AB|，椭圆（2）两圆一定相交吗？当满足什么条件时，两圆相交？答:如果|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.改变条件：

在|AB|<|F1F2|的条件下，让P在线段AB外运动,如图：

（1）随着P点的运动，观察两圆交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？答：||MF1|-|MF2||=|AB|，双曲线（2）同样地，两圆一定相交吗？当什么条件下才能相交？答：如果|F1F2|>|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是双曲线；如果|F1F2|<|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.3.双曲线定义

一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的_差的绝对值_等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做_双曲线.这两个定点叫做双曲线的_焦点_，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦距.

请回答以下问题：

（1）已知已知|F1F2|=6,,M点到F1,F2两点的距离之差的绝对值为5,则M点的轨迹是什么?双曲线

（2）把绝对值改为6呢？两条射线

（3）把绝对值改为10呢？不存在

（4）把绝对值改为0呢？F1F2的中垂线感悟:

(1)若||MF1|-|MF2||<|F1F2|,M点轨迹为双曲线.

(2)若||MF1|-|MF2||=|F1F2|,M点轨迹为两条射线.

(3)若||MF1|-|MF2||>|F1F2|,M点轨迹不存在.

(4)若||MF1|-|MF2||=0,M点轨迹为F1F2的中垂线.

问：双曲线定义中去掉“绝对值”字眼可以吗？答：不可以！因为双曲线有两支。当|MF1|-|MF2|>0,就是右支，当|MF1|-|MF2|<0,就是左支。二、双曲线的标准方程1.焦点在x轴上的双曲线标准方程类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.设M(x，y)是双曲线上一点，则

||MF1|－|MF2||＝2a(a为大于0的常数,a<c)，

即|MF1|－|MF2|＝±2a,(x+c)得x2由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得x2a2−y所以，焦点在x轴上的双曲线标准方程为：x2a2−y2b2.焦点在y轴上的双曲线标准方程 类比焦点在y轴上的椭圆方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？

如图，双曲线的焦距为2c，焦点分别是F1(0，-c)，F2(0,c)，a，b的意义同上得双曲线方程为：y2a2−x2b2＝1(焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y2焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝c2－a2焦点位置的判定看x2,y2项系数的正负,正在哪,焦就在哪三、双曲线的标准方程的求法例1已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)

由2c=10，2a=6，得c=5,a=3，因此b对应练习根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.焦点为（0，-6),(0,6)，且经过点（2，-5）经过点P(3,154),Q(-16解：（1）法一由定义得|(2-0)2+(-5-6)2-2−02+−5+62|=2a(a>0)

得出a=25,c=6,则b2=62−(25)2=16

又因为焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为y220−x216＝1

法二依题意焦点在y轴上，设所求的双曲线方程为y2a2−x2b因为c=6,焦点在y轴。所以设所求的双曲线方程为：y2∵双曲线经过点(2，－5)，∴25λ∴所求双曲线的标准方程是y2（2）法一若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为x2a由于点P(3,154),Q(-163所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(225,16b2)＝1，,\f(256,9a2)－\f(25,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝－16，,b2＝－9))(舍去).若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为y2a2−x2b2＝1(a>0，b>0)

将P，Q两点坐标代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(225,16a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(25,a2)－\f(256,9b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.综上，双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.法二设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵P，Q两点在双曲线上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋\f(225,16)n＝1，,\f(256,9)m＋25n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,16)，,n＝\f(1,9).))∴所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.小结2：双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．提醒：求双曲线标准方程时，注意先定焦、再定量特别地：当双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法.四、运用双曲线及其标准方程解决相关问题例2已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。分析：先根据题意判断轨迹的形状。由声速及A,B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线上。因为爆炸点离A处比离B处远,所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上。解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴。设炮弹爆炸点为P，其坐标为（x,y),则|PA|-|PB|=340×2=680,即2a=680,a=340,

又|AB|=800,∴2c=800，c=400,b2=c2-a2=44400∵|PA|-|PB|=680>0,∴点P的轨迹是双曲线的右支，

∴炮弹爆炸点P的轨迹方程为x2115600−y2小结3：利用双曲线解决实际问题的基本步骤

(1)建立适当的坐标系.

(2)求出双曲线的标准方程.

(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).

探究：如图，点A,B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM,BM相交于点M，且它们斜率之积是49，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1例3比较，你有什么发现？

解：设点M（x,y),依题意：

kAM=yx+5(x≠−5),kBM=yx−5(x≠5).

由已知，有yx+5×yx−5=49（x≠±5),

化简得：x所以点M的轨迹是除去A、B两点的双曲线

与3.1例3比较，你有何发现呢：不难发现：两条直线的斜率之积如果是一个常数m，当-1<m<0，则两直线交点M的轨迹是椭圆，其中m=-b2a2五、课堂总结1．双曲线与椭圆的比较曲线椭圆双曲线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(|F1F2|＝2c,2a＞2c)||PF1|－|PF2||＝2a(|F1F2|＝2c,2a＜2c)标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形特征封闭的连续曲线分两支，不封闭，不连续确定a，b或焦点位置的方法以大小分a，b，大在哪，焦在哪(如eq\f(x2,4)＋EQ\f(y2,9)＝1中，则,a2＝9，b2＝4)以正负分a，b，正在哪，焦在哪(如eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1中，则a2＝9，b2＝4)a，b，c的关系a2＝b2＋c2(a最大)c2＝a2＋b2(c最大)2.用待定系数法求椭圆或双曲线的标准方程时，要先定焦再定量。

3.注意根据题目的实际情况取舍双曲线的部分点或线。

六、课后作业完成配套的目标检测题七、答疑课程1.计算难点1：推导标准方程时（x+c)2+y2-x-c2+y2=±2a如何化简得到②式2.计算难点2：对应练习根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.焦点为（0，-6),(0,6)，且经过点（2，-5）法二依题意焦点在y轴上，设所求的双曲线方程为y