新高考数学二轮复习强化练习专题16 立体几何线面位置关系及空间角的计算（讲）（原卷版）

第一篇热点、难点突破篇专题16立体几何线面位置关系及空间角的计算（讲）真题体验感悟高考1．【多选题】（2021·全国·统考高考真题）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的周长为定值B．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<02．（2022·全国·统考高考真题）如图，SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中点．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．3.（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PDSKIPIF1<0底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为SKIPIF1<0上的点，QB=SKIPIF1<0，求PB与平面QCD所成角的正弦值．总结规律预测考向（一）规律与预测（1）以几何体的结构特征为基础，考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.（2）与立体几何相关的“数学文化”、实际问题等相结合，考查数学应用.（3）几何体的表面积与体积是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想．几何体与球的切、接、截问题，往往是知识考查的载体.（4）以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属于基础题.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，除独立考查外，多出现在立体几何解答题中的第（1）问，第（2）问则考查角的计算.空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.（二）本专题考向展示考点突破典例分析考向一空间中的位置关系【核心知识】1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.3.空间向量与空间的位置关系（1）直线的方向向量直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称SKIPIF1<0为直线l的方向向量，与SKIPIF1<0平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．（2）平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个，并且它们是共线向量.平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为SKIPIF1<0.（3）用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.（4）用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.（5）共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．【典例分析】典例1.（2022·全国·统考高考真题）在正方体SKIPIF1<0中，E，F分别为SKIPIF1<0的中点，则（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0典例2.（2022·全国·统考高考真题）在长方体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成的角均为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．AB与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0典例3.【多选题】（2023·湖南湘潭·统考二模）如图，在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则（

）A．存在SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．存在SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．对任意SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为SKIPIF1<0典例4.（2020·全国·统考高考真题）如图，在长方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．证明：（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内．【规律方法】（1）根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．（3）当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.（4）利用空间向量考向二利用空间向量求直线与平面所成角【核心知识】直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|).【典例分析】典例5.（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0的中点．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，点F在SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0的面积最小时，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．典例6.（2023秋·河南南阳·高三统考期末）如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面为直角梯形，SKIPIF1<0，PB⊥底面ABCD，SKIPIF1<0，设平面PAD与平面PBC的交线为SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面PAB；(2)设Q为SKIPIF1<0上的动点，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值．典例7.（2023·安徽马鞍山·统考一模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【总结提升】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.考向三利用空间向量求二面角【核心知识】1．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．即：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).【典例分析】典例8.（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，若SKIPIF1<0．（1）证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．典例9.（2023秋·江苏南通·高三统考期末）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABC，M是棱SKIPIF1<0的中点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若四棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.典例10.（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，D为线段AB的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的体积为8．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值．利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．考向四利用空间向量求距离【核心知识】点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).【典例分析】典例11