复习课（第2课时平面解析几何）课件高二上学期数学人教B版选择性

第2课时平面解析几何复习课人教B版数学选择性必修第一册知识梳理构建体系知识网络

要点梳理

1.点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式是怎样的?2.直线的倾斜角是如何定义的?其范围如何?提示:一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角就是直线的倾斜角.直线与x轴平行或重合时,规定其倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是[0,π).3.直线的斜率公式是什么?直线的倾斜角θ与斜率k有何关系?4.试写出倾斜角为θ的直线l的一个方向向量和一个法向量.提示:方向向量a=(cos

θ,sin

θ),法向量b=(-sin

θ,cos

θ).5.直线的方程有哪些形式?请完成下表.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式截距,斜率y=kx+b与x轴不垂直的直线点斜式过一点,斜率y-y0=k(x-x0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式在x轴、y轴上的截距不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线一般式—Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直线6.怎样判断两条直线平行或垂直?提示:(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行.(2)两条直线垂直若两条直线l1,l2的斜率都存在,设为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1.当一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在时,两条直线垂直.7.点到直线的距离公式和两条平行直线之间的距离公式是什么?8.圆的定义及其方程是怎样的?完成下表.9.怎样判断点与圆的位置关系?提示:平面内的一点M(x0,y0)与圆:(x-a)2+(y-b)2=r2之间的位置关系如下:(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点M在圆外;(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点M在圆上;(3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点M在圆内.10.如何判断直线与圆的位置关系?完成下表.设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离为d,由消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.名称几何法代数法相交d<rΔ>0相切d=rΔ=0相离d>rΔ<011.怎样判断圆与圆的位置关系?提示:设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则有两个圆外离⇔d>R+r;两个圆外切⇔d=R+r;两个圆相交⇔R-r<d<R+r;两个圆内切⇔d=R-r;两个圆内含⇔d<R-r.12.椭圆的定义中应注意哪几点?提示:(1)动点在平面内.(2)动点与两定点F1,F2的距离的和等于常数.(3)常数大于|F1F2|.13.椭圆的标准方程和几何性质.请完成下表.14.双曲线的定义中应注意哪几点?提示:(1)动点在平面内.(2)动点与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数.(3)非零常数小于|F1F2|.15.双曲线的标准方程和几何性质.请完成下表.16.抛物线的定义中应注意哪几点?提示:(1)动点在平面内.(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等.(3)定点不在定直线上.17.抛物线的标准方程和几何性质.请完成下表.18.直线与圆锥曲线的位置关系.请完成下表.直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y得方程ax2+bx+c=0.名称方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0,Δ>02相交a≠0,Δ=01相切a≠0,Δ<00相离直线与双曲线a=01相交a≠0,Δ>02相交a≠0,Δ=01相切a≠0,Δ<00相离名称方程特征交点个数位置关系直线与抛物线a=01相交a≠0,Δ>02相交a≠0,Δ=01相切a≠0,Δ<00相离19.弦长公式是什么?【思考辨析】

判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若直线的斜率为tanα,则倾斜角为α.(

)(2)斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等.(

)(3)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(

)(4)当不重合的直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇔l1∥l2.(

)(5)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(

)(6)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.(

)×√√√×√(7)(x-2)2+(y-1)2=a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心,a为半径的圆.(

)(8)圆x2+2x+y2+y=0的圆心是

.(

)(9)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.(

)(10)椭圆的离心率e越大,椭圆就越接近于圆.(

)(11)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(

)(12)方程

=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(

)(13)平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(

)××√×√××专题归纳核心突破专题整合

专题一

直线方程的几种形式【例1】

求过点(a,0),(0,b)和(1,7)三点,且a,b均为正整数的直线的方程.分析:先确定a,b之间的关系,再确定a,b的值,最后求出直线方程.即b+7a=ab,可化为(a-1)(b-7)=7.因为a,b均为正整数

,所以有两组解,求直线方程时,依据条件选择合适的方程形式求解.无特殊要求时,最后一般将直线方程化为一般式.【变式训练1】

已知在△ABC中,A,B的坐标分别为(-1,2),(4,3),AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标;(2)求直线MN的方程.专题二

两条直线的位置关系【例2】

已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,使l'满足:(1)过点(-1,3),且与l平行;(2)过点(-1,3),且与l垂直.解:(1)(方法一)设直线l'的斜率为k.∵直线l'与直线l平行,∴k=-.又l'过点(-1,3),∴直线l'的方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.(方法二)由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)的坐标代入解得m=-9.故直线l'的方程为3x+4y-9=0.(2)(方法一)设直线l'的斜率为k.∵直线l'与直线l垂直,又l'经过点(-1,3),∴直线l'的方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0.(方法二)由l'与l垂直,可设l'的方程为4x-3y+n=0.将点(-1,3)的坐标代入解得n=13.故直线l'的方程为4x-3y+13=0.过点A(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0平行或垂直的直线方程的求法有两种:(1)先求斜率(斜率存在时),再用点斜式求直线方程;(2)设出含未知数m的一般式方程,用待定系数法求出m,得到直线方程.【变式训练2】

求过直线l1:3x+4y-2=0与直线l2:2x+y+2=0的交点,且平行于直线5x+4y=0的直线方程.设与直线5x+4y=0平行的直线方程为5x+4y+c=0(c≠0),将点(-2,2)的坐标代入得5×(-2)+4×2+c=0,解得c=2.故所求直线方程为5x+4y+2=0.专题三

求圆的方程【例3】

已知圆经过点(4,2)和(-2,-6),该圆与坐标轴的四个截距之和为-2,求圆的方程.解:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆经过点(4,2)和(-2,-6),设圆在x轴上的截距为x1,x2,它们是方程x2+Dx+F=0的两个根,则x1+x2=-D.设圆在y轴上的截距为y1,y2,它们是方程y2+Ey+F=0的两个根,则y1+y2=-E.由已知,得-D+(-E)=-2,即D+E-2=0.③联立①②③,解得D=-2,E=4,F=-20.故所求圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.利用待定系数法求圆的方程是常用方法,所设方程的形式可由已知条件决定.若由已知条件能较容易地求出圆心和半径,则可设圆的标准方程;若已知条件涉及圆过几个点,则可设圆的一般方程.专题四

直线与圆的位置关系【例4】

已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值.在求解直线与圆相交的有关问题时,需要检验所求参数的值是否满足直线与圆相交,此处检验过程容易被忽略.【变式训练4】

已知圆C的圆心与点(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为

.

答案:x2+(y+1)2=18专题五

圆与圆的位置关系【例5】

已知圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0.(1)试判断两圆的位置关系;(2)若两圆相交,求公共弦所在直线的方程;(3)若两圆相交,求公共弦的长度.解:(1)将两圆方程化为标准方程,得C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10.故r1-r2<|C1C2|<r1+r2,故两圆相交.(2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.判断两圆的位置关系,常用几何法,即用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不用代数法.根据两圆位置关系解决有关问题时,一定要分清是内切还是外切,内含还是外离,搞清两圆之间的关系后,再利用其他条件求解.【变式训练5】

已知两个圆C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直线l:x+2y=0,求经过圆C1和C2的交点,且与直线l相切的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2-2x-4y+4+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0,解得λ=1或λ=-1(舍去).故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0.专题六

圆锥曲线的定义及应用【例6】

设F1,F2分别为双曲线

=1的左、右焦点,A1,A2分别为这个双曲线的左、右顶点,P为双曲线右支上的任一点,求证:以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切,又与以PF1为直径的圆内切.证明:如图,易知以A1A2为直径的圆的圆心为O,半径为a,令M,N分别是PF2,PF1的中点,连接OM,ON,椭圆、双曲线、抛物线都有严格的定义,充分理解定义是应用定义的前提.【变式训练6】

已知动点M到定点A(1,0)与到定直线l:x=3的距离之和等于4,求动点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解:设M(x,y),作MN⊥l于点N,当x≥3时,上式化简为y2=-12(x-4);当x<3时,上式化简为y2=4x.故点M的轨迹方程为y2=-12(x-4)(x≥3)和y2=4x(x<3),其轨迹是两条抛物线.专题七

圆锥曲线的标准方程【例7】

焦点为(0,±3),且与双曲线

-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程为

.

1.已知圆锥曲线的类型,求圆锥曲线方程的关键是根据已知的几何条件或代数条件,列出方程或方程组,求出圆锥曲线方程中的系数(待定系数法).2.当动点随另一个在已知曲线上运动的点而变化时,建立两个动点坐标之间的关系,代入已知曲线方程得出圆锥曲线方程(代入法).【变式训练7】

若抛物线y2=2px的焦点与椭圆

的右焦点重合,则该抛物线的标准方程为

.

答案:y2=8x专题八

圆锥曲线的几何性质【例8】

设直线l过双曲线C的一个焦点,且与双曲线C的一条对称轴垂直,直线l与双曲线C交于A,B两点,|AB|为双曲线C的实轴长的2倍,则双曲线C的离心率为(

)答案:B求离心率的主要方法有:(1)定义法:利用平方关系以及e=,已知a,b,c中任意两个求e.(2)方程法:建立a与c的齐次关系式,转化为关于e的方程求离心率e.答案:B专题九

直线与圆锥曲线的关系【例9】

已知椭圆C:,且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为-的直线分别交椭圆于M,N两点,试问:直线MN是否过定点?若过定点,请求出此定点;若不过,请说明理由.所以直线MN的方程为y=kx,过定点(0,0).当直线MN的斜率不存在时,M,N为短轴两端点,显然也符合题意,所以直线MN恒过定点(0,0).关于直线与圆锥曲线的位置关系的综合题,一般利用“设而不求”的方法求解.注意判别式Δ和根与系数的关系的灵活运用.高考体验

考点一

直线与圆的位置关系1.(2021·北京高考)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,则当k的值发生变化时,直线l被圆C所截的弦长的最小值为2,则m的取值为(

)答案:C2.(2021·全国甲高考)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(

)A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切答案:ABD3.(2021·全国乙高考)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(

)A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=3D.当∠PBA最大时,|PB|=3解析:如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4.答案:ACD考点二

椭圆及其几何性质

解析:设椭圆C的右顶点为B,由于P,Q均在C上,且关于y轴对称,所以直线BP与AQ的斜率互为相反数.设直线AP的斜率为kAP,直线BP的斜率为kBP,答案:A5.(2021·全国乙高考)已知F1,F2是椭圆C:的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(

)A.13 B.12 C.9 D.6解析:由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|·|MF2|的最大值为9.故选C.答案:C答案:C7.(2021·全国甲高考)已知F1,F2为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为

.

答案:8解析:由题意,可知直线的斜率一定存在,且大于0.由直线过点F1,可设直线的方程为y=k(x+c)(k>0),9.(2021·北京高考)已知椭圆E:(a>b>0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形的面积为4.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l的斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=-3于点M,N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.(2)由题意知,直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx-3,B(x1,y1),C(x2,y2).得(5k2+4)x2-30kx+25=0.由Δ=400(k2-1)>0,得k>1或k<-1.所以-3≤k≤3.又k<-1或k>1,所以-3≤k<-1或1<k≤3.故k的取值范围为[-3,-1)∪(1,3].考点三

双曲线及其几何性质10.(2021·全国甲高考)已知双曲线C:=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为

.

11.(2022·全国甲高考)若双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=

.

(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.考点四

抛物线及其几何性质13.(2021·全国乙高考)已知O为坐标