2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷

2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30分）1、(3分)下列实数是无理数的是（）A.3B.4C.3.14D.1

2、(3分)下列各式中，正确的是（）A.(−2)B.(−3C.9=±3D.±9=±3

3、(3分)要使二次根式2x−1有意义，字母x必须满足的条件是（）A.x≤B.x＜C.x≥D.x＞

4、(3分)在平面直角坐标系中，点（-1，2）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5、(3分)满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A.b2-c2=a2B.a：b：c=3：4：5C.∠A：∠B：∠C=9：12：15D.∠C=∠A-∠B

6、(3分)下列命题中，是真命题的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行B.相等的角是对顶角C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

7、(3分)如图，已知正方形ABCD的边长为3，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么AD′为（）

A.6B.33C.18D.32

8、(3分)如图，∠ACD是△ABC的一个外角，过点D作直线，分别交AC和AB于点E，H．下列的结论中一定不正确的是（）

A.∠B＞∠ACDB.∠B+∠ACB=180°-∠AC.∠B+∠ACB＜180°D.∠HEC＞∠B

9、(3分)下列关于函数y=-2x+3的说法正确的是（）A.函数图象经过一、二、三象限B.函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）C.y的值随着x值得增大而增大D.点（1，2）在函数图象上

10、(3分)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A.11x=9yB.10y+x=8x+yC.9x=11yD.9x=11y

二、填空题（本大题共9小题，共36分）11、(4分)16的算术平方根是______．

12、(4分)估计5+12与1.5的大小关系是：5+12______1.5（填“＞”“=”或“＜”）

13、(4分)如图，已知y=ax+b和y=kx的图象交于点P，根据图象可得关于x、y的二元一次方程组ax−y+b=0kx−y=0的解是______．

14、(4分)如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1=______．

15、(4分)若2x+y+6+（x+2y-3）2=0，则x+y的值为______．

16、(4分)若x=3y=2是关于x，y的二元一次方程mx-y=4的一个解，则点P（m+1，-2m）在平面直角坐标系中的第______象限．

17、(4分)在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），B为x轴上一点，若△AOB为等腰三角形，且OB=AB，则B点的坐标为______．

18、(4分)如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=acx+bc的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P（1，3三、计算题（本大题共1小题，共12分）20、(12分)（1）计算：（-1）2018+|1-2|−38．

四、解答题（本大题共8小题，共72分）21、(6分)如图，已知AD∥BC，∠BAD=∠BCD，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，求证：AE∥FC．

22、(8分)如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：

（1）在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（-2，4），B点坐标为（-4，2）；

（2）在（1）建立的平面直角坐标系中，C点坐标是（1，-1），画出△ABC关于关于y轴对称的△A′B′C′．

23、(8分)某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调整，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中m的值为______．

（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数．

（Ⅲ）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．

24、(10分)某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．

（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？

（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？

25、(10分)如图1，已知函数y=12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．

（1）求直线BC的函数解析式；

（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．

①若△PQB的面积为83，求点M的坐标；

②连接BM，如图2，若∠BMP=∠BAC，求点P的坐标．

26、(8分)某批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．新年来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案：

方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品；

方案二：按购买金额打八折付款．

某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x（x≥20）件．

（1）分别写出优惠方案一购买费用y1（元）、优惠方案二购买费用y2（元）与所买乙种商品x（件）之间的函数关系式；

（2）若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠．

27、(10分)定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=12∠BAC=60°，∠B=30°，在直角三角形ABD中，AD：BD：AB=1：3：2，且BCAB=3；

迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．

（1）求证：△ADB≌△AEC；

（2）请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；

（3）如图2，若AD=23，BD=4，求线段BC的长．

28、(12分)建立模型：

如图1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线l上．

操作：

过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．求证：△CAD≌△BCE．

模型应用：

（1）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=43x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．

（2）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a-6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．

2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷【第1题】【答案】A【解析】解：4，12，4.14是有理数，

3是无理数，

故选：A．

根据无理数的意义，可得答案．

此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6

【第2题】【答案】D【解析】解：A、(−2)2=2，故本选项错误；

B、(−3)2=3，故本选项错误；

C、9=3，故本选项错误；

D、±9=±3，故本选项正确；

【第3题】【答案】C【解析】解：根据题意得，2x-1≥0，

∴x≥12．

故选：C．

根据二次根式a（a≥0）有意义的条件得到2x-1≥0，然后解不等式即可．

本题考查了二次根式a

【第4题】【答案】B【解析】解：点（-1，2）在第二象限．

故选：B．

根据各象限内点的坐标特征解答即可．

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

【第5题】【答案】C【解析】解：A、由b2-a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

C、由∠A：∠B：∠C=9：12：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．

D、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；

故选：C．

依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．

本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．

【第6题】【答案】D【解析】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A错误，是假命题；

B、相等的角不一定是对顶角，故B错误，是假命题；

C、两条平行直线北第三条直线所截，同旁内角互补，故C错误，是假命题，

D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，

故选：D．

利用平行公理、对顶角的定义、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行公理、对顶角的定义、平行线的性质等知识，难度不大．

【第7题】【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD=3，∠C=90°，

∴BD=CD2+BC2=32+32=32，

在Rt△ABD′中，BD′=BD=32，AB=3，∠ABD′=90°，

∴AD′=AB2

【第8题】【答案】A【解析】解：A、∠B＜∠ACD，故本选项正确；

B、∵∠B+∠ACB+∠A=180°，

∴∠B+∠ACB=180°-∠A，故本选项错误；

C、∵∠B+∠ACB+∠A=180°，

∴∠B+∠ACB＜180°，故本选项错误；

D、∵∠HEC＞∠AHD，∠AHD＞∠B，

∴∠HEC＞∠B，故本选项错误；

故选：A．

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的一个内角，根据以上定理逐个判断即可．

本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．

【第9题】【答案】B【解析】解：

在y=-2x+3中，令y=0可求得x=1.5，令x=0可得y=3，

∴函数与x轴交点坐标为（1.5，0），与y轴的交点坐标为（0，3），

∴函数图象经过第一、二、四象限，故A不正确、B正确；

∵-2＜0，

∴y随x的增大而减小，故C不正确；

当x=1时，y=1≠2，

∴点（1，2）不在函数图象上，故D不正确；

故选：B．

由函数解析式可求得图象与两坐标轴的交点，则可判断A、B，利用一次函数的性质可判断C，把点的坐标代入函数解析式可判断D，则可求得答案．

本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的位置、增减性是解题的关键．

【第10题】【答案】D【解析】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：

9x=11y10y+x−8x+y=13，

故选：D．

【第11题】【答案】2【解析】解：∵16=4，

∴16的算术平方根是4=2．

故答案为：2．

首先根据算术平方根的定义求出16的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．

此题主要考查了算术平方根的定义，注意要首先计算16=4．

【第12题】【答案】＞【解析】解：∵1.5=32，

5+1＞3，

∴5+12＞1.5．

故答案为：＞．

直接利用估算无理数的大小方法分析得出答案．

【第13题】【答案】x=−4【解析】解：∵y=ax+b和y=kx的图象交于点P（-4，-2），

∴方程组ax−y+b=0kx−y=0的解是x=−4y=−2．

故答案为x=−4y=−2．

【第14题】【答案】105°【解析】解：给图中角标上序号，如图所示．

∵∠2+∠3+45°=180°，∠2=30°，

∴∠3=180°-30°-45°=105°，

∴∠1=∠3=105°．

故答案为：105°．

由三角形的内角和为180°即可得出∠2+∠3+45°=180°结合∠2=30°即可求出∠3的度数，再由∠1和∠3为对顶角即可得出∠1的度数．

本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形的内角和为180°求出∠3的度数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的内角和以及另外两角的度数求出第三个角的度数是关键．

【第15题】【答案】-1【解析】解：∵2x+y+6+（x+2y-3）2=0，

∴2x+y=−6①x+2y=3②，

①+②，得：3x+3y=-3，

则x+y=-1，

故答案为：-1．

【第16题】【答案】四【解析】解：把x=3y=2代入二元一次方程mx-y=4，得

3m-2=4，

解得m=2，

则点P（3，-4）在平面直角坐标系中的第四象限．

故答案为四．

把x=3y=2代入mx-y=4中，得到一个含有未知数m的一元一次方程，求出m的值，即可判断点P（m+1，-2m）所在的象限．

【第17题】【答案】（256【解析】解：设B点的坐标为（a，0），

∴（a-3）2+42=a2

解得a=256，

∴B点的坐标为（256，0）．

故答案为（256，0）．

【第18题】【答案】5【解析】解：∵点P（1，355）在“勾股一次函数”y=acx+bc的图象上，

∴355=ac+bc，即a+b=355c，

又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C=90°，Rt△ABC的面积是5，

∴12ab=5，即ab=10，

又∵a2+b2=c2，

∴（a+b）2-2ab=c2，

即∴（355c

【第19题】【答案】3217-3【解析】解：分两步：

①连接AP，则AP=AP′，

∴△A'PC周长=A′P+PC+A′C=AP+PC+A′C，

∵AP+PC＞AC，

当A、P、C三点共线时，AP+PC有最小值，是AC的长，

所以AC与MN的交点就是点P，

由勾股定理得：AC=32+62=35，

②连接CM，

∵A′C＞CM-A′M，

∴当M、A′、C三点共线时，A′C有最小值，

此时，∵M是AD的中点，

∴AM=DM=1.5，

∴MC=62+(32)2=3217，

由折叠得：AM=A′M=1.5，

∴A′C=MC-A′M=3=3217-1.5，

∴△A'PC周长的最小值是：3217-3

【第20题】【答案】解：（1）原式=1+2-1-2=2-2；

（2）方程组整理得：2x+3y=12①2x−y=4②，

①-②得：4y=8，

解得：y=2，

把y=2代入①得：x=3，

则方程组的解为x=3【解析】

（1）原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值；

（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．

此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握多项式的性质是解本题的关键．

【第21题】【答案】证明：∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠AEB=∠BAE，

∵∠BAD=∠BCD，且AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，

∴∠BAE=∠BCF，

∴∠AEB=∠BCF，

∴AE∥CF．【解析】

由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到∠AEB=∠BAE，再由已知角相等，且AE，CF为角平分线，得到∠BCF=∠BAE，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证．

此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

【第22题】【答案】解：（1）平面直角坐标系如图所示．

（2）如图所示：△A′B′C′即为所求．

【解析】

（1）根据A，B两点坐标确定平面直角坐标系即可．

（2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．

本题考查作图轴对称变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

【第23题】【答案】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：60.15=40（人），图①中m的值为1040×100=25；

（2）∵这组样本数据中，5出现了12次，出现次数最多，

∴这组数据的众数为5；

∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为6，有6+62=6，

∴这组数据的中位数是6；

由条形统计图可得=4×6+5×12+6×10+7×8+8×440=5.8，

∴这组数据的平均数是5.8．

（3）【解析】

（1）根据阅读时间为4h的人数及所占百分比可得，将时间为6小时人数除以总人数可得；

（2）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算可得；

（3）将样本中课外阅读时间大于6h的学生人数所占比例乘以总人数1200可得．

本题考查的是扇形统计图与条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

【第24题】【答案】解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，

根据题意得：x=45y+15x=60(y−1)，

解得：x=240y=5．

答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．

（2）∵要使每位学生都有座位，

∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5-1=4辆．

220×6=1320（元），300×4=1200（元），

∵1320＞1200，【解析】

（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）求出租两种客车各需多少费用．

【第25题】【答案】解：（1）对于y=12x+3

由x=0得：y=3，

∴B（0，3）

由y=0得：y=12x+3，解得x=-6，

∴A（-6，0），

∵点C与点A关于y轴对称

∴C（6，0）

设直线BC的函数解析式为y=kx+b，则b=36k+b=0，

解得k=−12b=3．

∴直线BC的函数解析式为y=-12x+3；

（2）设M（m，0），

则P（m，12m+3）、Q（m，-12m+3）

如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，

∴PQ=|（-12m+3）-（12m+3）|=|m|，BD=|m|，

∴S△PQB=12PQ•BD=12m2=83，

解得m=±433，

∴M（433，0）或M（-433，0）；

（3）如图2，当点M在y轴的左侧时，

∵点C与点A关于y轴对称

∴AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA

∵∠BMP=∠BAC，

∴∠BMP=∠BCA

∵∠BMP+∠BMC=90°，

∴∠BMC+∠BCA=90°

∴∠MBC=180°-（∠BMC+∠BCA）=90°

∴BM2+BC2=MC2

设M（x，0），则P（x，12x+3）

∴BM2=OM2+OB2=x2+9，MC2=（6-x）2，BC2=OC2+OB2=62+32=45

∴x2+9+45=（6-x）2，

解得x=-32．

∴P（-32，【解析】

（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式；

（2）先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论；

（3）分点M在y轴左侧和右侧，

方法1、先判断出∠MBC=90°，进而利用勾股定理建立方程即可x2+9+45=（6-x）2；

方法2、先判断出∠MBC=90°，进而得出直线BM解析式，即可得出结论．

此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．

【第26题】【答案】解：（1）根据题意得：y1=20×300+80×（x-20）=80x+4400；

y2=（20×300+80x）×0.8=64x+4800．

（2）设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，则按照方案二的优惠办法购买了（20-m）件甲种商品，

根据题意得：w=300m+[300（20-m）+80（40-m）]×0.8=-4m+7360，

∵w是m的一次函数，且k=-4＜0，

∴w随m的增加而减小，

∴当m=20时，w取得最小值，即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案二购买20件乙种商品时，总费用最低．【解析】

（1）根据两种优惠方案，分别找出y1、y2与x之间的函数关系式；

（2）设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，则按照方案二的优惠办法购买了（20-m）件甲种商品，根据总费用=按照方案一购买的费用+按照方案二购买的费用，即可得出w与m之间的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，找出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．

【第27题】【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，

∴AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，

在△ADB和△AEC中，AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

（2）解：CD=3AD+BD，

理由：如图2，作AH⊥CD于H．

∵△DAB≌△EAC，

∴BD=CE，

在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=32AD，

∵AD=AE，AH⊥DE，

∴DH=HE，

∵CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD；

（3）∵△DAB≌△EAC，

∴AD=AE，∠DAB=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC=120°，

∴DE=3AD=3×23=6，

∵△ADH为直角三角形，∠DAH=30°，

∴AH=3，

∴DH=EH=3，

∵CE=BD=4，

∴EC=4，

∴CH=7，

∴AC=AH2+HC2=213【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=32AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH