2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.3第2课时充要条件学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE6-第2课时充要条件学习目标核心素养1.理解充要条件的概念．(难点)2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点、易混点)3．会进行简洁的充要条件的证明．(重点、难点)1.通过充要条件的推断，提升逻辑推理素养．2．通过充分、必要、充要性的应用，培育数学运算素养．主子邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主子听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主子愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．问题请你用逻辑学原理说明二人离去的缘由．1．充要条件的概念一般地，假如既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．2．充要条件的推断概括地说，假如p⇔q，那么p与q互为充要条件．(1)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．(2)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．(3)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．思索：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区分在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．[拓展]充要条件的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p是r的充要条件，r是s的充要条件，则s是p的充要条件． ()(2)设x∈R，则x＞1是x3＞1的充要条件． ()(3)不等式(2x＋1)(x－3)≥0成立的充要条件是x≥3. ()[答案](1)√(2)√(3)×2.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3A[∵x>2⇒x>1，但x>1x>2，∴选A.]3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是实数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件C[a＝0且b＝0可以推出a2＋b2＝0，a2＋b2＝0可以推出a＝0且b＝0.]4．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝的充要条件是________．0≤a≤2[A∩B＝⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2≤4，,a－2≥－2))⇔0≤a≤2.]充要条件的推断【例1】(教材P34例3改编)下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(3)p：x>5，q：x>10；(4)p：a>b，q：a2>b2.[解]命题(1)中，p⇒q，但qp，故p不是q的充要条件；命题(2)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；命题(3)中，pq，但q⇒p，故p不是q的充要条件；命题(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件．充要条件推断的两种方法(1)要推断一个条件p是否是q的充要条件，须要从充分性和必要性两个方向进行，即推断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在推断的过程中也可以转化为集合的思想来推断，推断p与q的解集是相同的，推断前必需分清晰充分性和必要性，即搞清晰由哪些条件推证到哪些结论．提示：推断时肯定要留意，分清充分性与必要性的推断方向．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．在下列四个结论中，正确的有()①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC③“a2>b2”是“a>b④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”A．①② B．③④C．①④ D．②③C[对于结论①，∵x＞2⇒x＞1，但x>1x＞2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故④正确．]充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？[提示]若p是q的充分不必要条件，则AB；若p是q的必要不充分条件，则BA.2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？[提示]若M⊆N，则p是q的充分条件；若N⊆M，则p是q的必要条件；若M＝N，则p是q的充要条件．【例2】已知命题p：－2≤x≤10，命题q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路点拨]eq\x(\a\al(p是q的充分,不必要条件))→eq\x(\a\al(p代表的集合是q代,表的集合的真子集))→eq\x(\a\al(列不等式,组求解))[9，＋∞)[因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9.所以实数m的取值范围为[9，＋∞).]利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围(1)化简p，q两命题；(2)依据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；(3)利用集合间的关系建立不等式；(4)求解参数范围．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．[解]因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－4≤1，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤5，即a的取值范围是[－1，5].有关充要条件的证明或求解【例3】已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.[证明]先证充分性：若a＋b＝1，则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立，必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0，∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立，综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.充要条件的证明要分充分性、必要性两个方面分别证明，留意证明方向不要反了(易错点).eq\a\vs4\al([跟进训练])3．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.学问：充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要留意两种叙述方式的区分：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；假如能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以干脆求出充要条件．方法：充要条件的推断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件A[当x＝1时，x2－2x＋1＝0.由x2－2x＋1＝0,解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0成立的充要条件”.]2．设实数a，b满意|a|＞|b|，则“a－b＞0”是“a＋b＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由a－b＞0，得a＞b.又|a|＞|b|，得a＋b＞0；由a＋b＞0，得a＞－b.又|a|＞|b|，得a－b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充要条件．]3．假如A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[依据题意得，AB，B⇒A，B⇔C，D⇒C，CD，所以D⇒C