新高考数学三轮冲刺天津卷押题练习第16题（教师版）

解三角形考点2年考题考情分析解三角形2023年天津卷第16题2022年天津卷第16题高考对于解三角形的整体考察比较简单，主要涉及正余弦定理，以及三角形的面积公式，还包括对两角和与差的正余弦公式，二倍角公式，主要难度在于计算，此外考生对于角度的范围也应注意，避免出错。可以预测24年对解三角形仍然会考察正余弦定理，以及三角函数运算公式，难度较低。题型一解三角形16．（14分）（2023•天津）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）求SKIPIF1<0的值；（Ⅲ）求SKIPIF1<0的值．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0；（Ⅲ）SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解；（Ⅱ）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解；（Ⅲ）根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及正弦的两角差公式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简整理可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去）；（Ⅲ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．16．（15分）（2022•天津）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）求SKIPIF1<0SKIPIF1<0的值；（3）求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0．【分析】（1）由余弦定理及题中条件可得SKIPIF1<0边的值；（2）由正弦定理可得SKIPIF1<0的值，再由SKIPIF1<0及正弦定理可得SKIPIF1<0的值；（3）求出SKIPIF1<0及SKIPIF1<0角的正余弦值，由两角差的正弦公式可得SKIPIF1<0的正弦值．【解答】解（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（3）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0．一、正余弦定理和面积公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.常见变形(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.（2）面积公式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）二、公式的相关应用（1）正弦定理的应用=1\*GB3①边化角，角化边SKIPIF1<0=2\*GB3②大边对大角大角对大边SKIPIF1<0=3\*GB3③合分比：SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0内角和定理：SKIPIF1<0=1\*GB3①SKIPIF1<0SKIPIF1<0=2\*GB3②SKIPIF1<0；=3\*GB3③在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0成等差数列SKIPIF1<0三、两角和与差的正余弦与正切①SKIPIF1<0； ②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0； 四、二倍角公式①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0； ③SKIPIF1<0；1．已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）求证：SKIPIF1<0；（Ⅲ）SKIPIF1<0的值．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）证明过程见解答；（Ⅲ）SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）由余弦定理结合条件计算即可求得；（Ⅱ）由正弦定理结合条件式化简即可证明；（Ⅲ）由二倍角与和差角公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由SKIPIF1<0及余弦定理得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（Ⅱ）证明：由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，与题设矛盾，因此SKIPIF1<0．（Ⅲ）由（Ⅰ）得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．2．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（3）若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）；（3）．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，进而可求的值；（2）利用二倍角公式可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角和的余弦公式即可求解；（3）由题意利用余弦定理可求，的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）由题意利用正弦定理得，可得，又，可得，；（2），，，；（3）为的中点，且，中，由余弦定理得，，又中，由余弦定理，得，，联立解得，，的面积．3．已知的内角，，的对边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面积；（Ⅲ）若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求的值；（Ⅱ）由题意利用余弦定理可得，又，解得，进而利用三角形的面积公式即可求解；（Ⅲ）由题意利用正弦定理可得的值，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式以及两角和的正弦公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：，可得，显然，则，又，故；（Ⅱ），，由余弦定理可得，整理可得，又，解得，；（Ⅲ）由正弦定理得：，则，，即，则，故为锐角，，，，．4．在中，，，分别是角，，的对边，已知（1）求角的大小；（2）若，，求的值．【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，即可求得的值；（2）利用余弦定理和三角恒等变换，即可求得的值．【解答】解：（1）中，，由，，，，，又，，，，解得；（2）中，，，，由余弦定理得，由，得，，，，，．5．在中，内角，，所对的边分别，，，其中，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）由题意利用正弦定理可得，结合已知即可求解的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，的值，利用余弦定理可求的值，进而利用同角三角函数基本关系式即可求解的值；（Ⅲ）由题意利用二倍角公式可求，的值，进而利用两角和的余弦公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以由正弦定理可得，又，，所以，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，所以，可得，所以；（Ⅲ）由题意，，所以．6．在中，内角，，的对边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设，．求的值；求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，即可求解的值；（Ⅱ）由题意利用余弦定理可得，解方程即可得解的值；利用余弦定理可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求得的值，利用二倍角公式可求，的值，进而利用两角和的正弦公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以由正弦定理可得，又为三角形内角，，所以，可得，因为，可得，，所以，可得；（Ⅱ）因为，，，由余弦定理可得，可得，整理可得，解得或（舍去）；由可得，，，可得，可得，可得，，又，所以．7．在三角形中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求边的值．【答案】（1）；（2）；（3）3．【分析】（1）由正弦定理和同角三角函数的基本关系，结合条件计算即可；（2）由二倍角与和差角公式计算即可求得；（3）由余弦定理计算即可求得．【解答】解：（1）因为，且，所以，因为，所以由正弦定理得：，所以，因为，所以；（2）因为，，所以；（3）因为，所以由余弦定理得：，整理为，解或（舍．8．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，．（1）求的值；（2）求值；（3）求．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由正弦边角关系得、，应用余弦定理求；（2）由（1）得，结合倍角正余弦公式、和角正弦公式求值即可；（3）由三角形内角和、和角正切公式得，再由（2）得及倍角正切公式求，代入即可求值．【解答】解：（1）由题设及正弦定理知：，，又，故，；（2）（1）知，则易知，，，；（3）由，，可设，，，，，则，所以．9．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）（Ⅱ）根据余弦定理求解即可；（Ⅲ）根据三角恒等变换求值即可．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，可知，由余弦定理，，可得，将代入，整理得，解得或（舍，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，由余弦定理．（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，，，又，．10．在中，角、、的对边分别为、、，且，，．（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求边的值和的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）利用平方关系和面积公式求解即可；（Ⅱ）利用余弦定理和正弦定理求解即可；（Ⅲ）由（2）求出，从而求得，，再由两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以，所以；（Ⅱ）由余弦定理有，，则，又由正弦定理，得；（Ⅲ）由（2）知，，所以，由余弦定理有，，所以，所以，，所以．11．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）若，，①求的值；②求的面积．【答案】（1）；（2）①，②．【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换求解；（2）①根据正弦定理求，，，，再由和差公式求；②法一：由解得，再用求面积；法二：先求，再用求面积．【解答】解：（1）由，根据正弦定理有，因为，所以，整理得，因为，所以，因为，所以；（2）因为，，由（1）知，①由正弦定理，，所以，又因为，所以为锐角，所以，所以，，所以．②法一：由，将，，代入，解得，所以；法二：因为，所以，所以．12．已知的内角，，的对边分别为，，，已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值；（ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用正弦定理可得的值；（Ⅱ）利用大边对大角可求