2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考） 第03讲 平面向量的数量积 高频精讲（原卷版+解析版）

第03讲平面向量的数量积（精讲）

目录

第03讲平面向量的数量积（精讲）..................................................1

第一部分：知识点必背..............................................................2

第二部分：高考真题回归............................................................4

第二部分:高频考点一遍过..........................................................4

高频考点一：平面向量数量积的定义.............................................4

角度1；平面向量数量积的定义及辨析........................................4

角度2：平面向量数量积的几何意义..........................................5

高频考点二：平面向量数量积的运算.............................................6

角度1：求数量积...........................................................6

角度2：向量模运算.........................................................8

角度3：向量的夹角.........................................................9

角度4：两向量成锐角（钝角）求参数.......................................10

角度5：已知模求数量积....................................................11

角度6：已知模求参数......................................................12

高频考点三：向量的垂直关系...................................................13

高频考点四：向量的投影（投影向量）..........................................14

高频考点五：平面向量的综合应用..............................................16

高频考点六：最值范围问题.....................................................17

高频考点七：极化恒等式.......................................................20

第四部分：数学文化题.............................................................21

第五部分：高考新题型.............................................................23

①开放性试题.................................................................23

②探究性试题.................................................................23

第六部分：数学思想方法...........................................................24

①函数与方程的思想...........................................................24

②数形结合的思想.............................................................25

第一部分：知识点必背

1、平面向量数量积有关概念

L1向量的夹角

已知两个非零向量a和/人如图所示，作OA=a，OB=b，则NAO5=8

（OK0W））叫做向量〃与人的夹角，记作.

（2）范围：夹角夕的范围是［0,乃］.I

当夕=0时，两向量〃，b共线且同向；

当。二不时，两向量〃，人相互垂直，记作〃_Lb：

当。=乃时，两向量〃，/?共线但反向.

L2数量积的定义：

已知两个非零向量4与力，我们把数量|〃||b|cos8叫做〃与。的数量积（或内积），记作46，即

a・6=|a||/?|cos。，其中〃是a与〃的夹角，记作：0-<a,b>.

规定：零向量与任一向量的数量积为零.记作：0-a=0.

1.3向量的投影

①定义：在平面内任取一点O,俏OM=。，ON=〃.过点M作直线ON的垂线，垂足为则。就

是向量a在向量。上的投影向量.

M

②投影向量计算公式：

当。为锐角（如图（1））时，OM1与e方向相同，九=|。必|=|〃|cos。，所以QM；=|。必|e=|“cos。e；

当。为直角（如图（2））时，2=0,所以OM=0=同85万6;

当。为钝角（如图（3））时，OW；与6方向相反，所以

2=-1OMX\=-\a\cos/MOM1二一|〃|cos（乃一0）二|a|cos。，即。必=\a\cos。e.

当。=0时，A=\a\,所以二间e=|a|cos0e；

当0=兀时，4=一同，所以OM]=T〃le=|。|cos兀e

综上可知，对于任意的夕£[0,兀],都有OM|=|a|cos8e.

2、平面向量数量积的性质及其坐标表示

已知向量。=(%,)[)/=(9,%)，。为向量4和〃的夹角:

2.1数量积a-h=\a\\b\cos0=A1X2+y\y2

2.2模；|\ja-a-Jx；十y：

xx+y

2.3夹角：cos<9=——}22

\a\\b\

2.4非零向量〃_L/?的充要条件：ab=0<^>xAx2+y\y2=0

2.5三角不等式：\a-b\<\a\\b\(当且仅当a时等号成立)O仪+T%工商+褚•(芯+£

3、平面向量数量积的运算

①a•b=b•a

②，=/(〃•〃)=a•(ZZ?)

®(a+b)-c=a-c+b'C

4、极化恒等式

——.|-2一2

①平行四边形形式：若在平行四边形ABC。中，则A8-AD=—(AC-DB)

4

②三角形形式：在AABC中，M为BC的中点，所以八8・4。=八加2-加8'=4加2-，8。2

4

5、常用结论

M

©(a+b)(a—b)=a-b

②(4+6)2=。~+2ab+b

③(a-b)2=a-2a-b+b

第二部分：高考真题回归

1.(2022,全国(新高考H卷),统考高考真题)已知向量"=(3,4),Zr=(1,0),c=4十/〃，若<a,c>=<>,

则1=()

A.-6B.-5C.5D.6

2.(2022•全国(乙卷文)•统考高考真题)已知向量〃=(2,1)方=(-2,4),则K()

A.2B.3C.4D.5

3.(2022・北京•统考高考真题)在中，AC=3,8C=4,NC=90。.P为所在平面内的动点，且

PC=1,则0/VP4的取值范围是()

A.[-5,3]B.L-3,5JC.[-6,4]D.[-4,6]

4.(2022•全国(甲卷文)•统考高考真题)已知向量〃=(〃?,3)为=。,〃叶1).若3,则〃?=.

5.(2022・天津•统考高考真题)在.48C中，CA=ci,CB=b,。是AC中点，CB=2BE，试用方表示OE

为,若AB工DE，则NAC8的最大值为

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：平面向量数量积的定义

角度1：平面向量数量积的定义及辨析

典型例题

3

例题L(2023•全国•高一专题练习)已知|力|=3,。在方方向上的投影为彳，则的值为

91

A.3B.-C.2D.-

22

例题2.(2023•全国•高三专题练习)在矩形A8CD中，I4B1=6,1A。1=3.若点〃是CD的中点，

点N是8c的三等分点，且BN=LBC,贝UAM-MN=()

3

A.6B.4C.3D.2

例题3.（2023春•贵州贵阳•高一校联考阶段练习）在A8C中，。为边上8c上的中点，">=2,04=3.

（1）ABAC=・

（2）P为工8C内一点，PA・（P8+PC）最小值为

练透核心考点

1.（2023・仝国•高一专题练习）已知同=6,忖=3,向量々在4方向上投影向量是公，则2大为（）

A.12B.8C.-8D.2

2.（2023・全国•高三专题练习）在Rl-ABC中，NC=90。，A3=4,AC=2,。为的外心，则AO-BC=

（）

A.5B.2C.-4D.-6

角度2:平面向量数量积的几何意义

典型例题

例题1.（2023春•河南•高三校联考阶段练习）已知点。为/8C所在平面内一点，在一ABC中，满足

2ABAO=\AB^f2AC-AO=\Ac[t则点O为该三角形的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

例题2.（2023•全国•高一专题练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的

是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块

面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形/WCQEFG”的边长为2&,点尸是正八边形的

内部（包含边界）任一点，则AP.A8的取值范围是（）

A.[-4夜,4夜]B.[-4x/2,8+4x/2]C.[8-4＞历,8+4夜]D.[-4夜,8-4夜]

例题3.（2023•全国•高一专题练习）如图，已知正六边形ABC。所边长为1,点尸是其内部一点，（包

括边界），则涔洸的取值范围为

练透核心考点

1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知正六边形A3CQEF的边长为1,。为正六边形边上的动点，则

的值可能为（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2023春•江西宜春•高三校考开学考试）如图，在正六边形A8CQE尸中，向量后/在向量C。上的投影

向量是mCD，则，"二.

AF

BO£

CD

3.（2023・全国•高一专题练习）在边长为2的正六边形ABCDEr中，点P为其内部或边界上一点，则

的取值范围为.

高频考点二：平面向量数量积的运算

角度1：求数量积

典型例题

例题1.（2023•河南郑州•统考二模）已知向量”，〃满足*2口=2,且〃与〃的夹角为与，则（2a+b）・a=

（）

A.12B.4C.3D.1

例题2.（2023春•宁夏吴忠•高一吴忠中学校考阶段练习）已知向量。，〃的夹角为:，且同=3夜，忖=2,

贝！1（%+/?”=（）

A.9B.9夜C.16D.16拒

例题3.（2023•内蒙古赤峰•赤峰二中校联考模拟预测）在边长为2的正三角形ABC中，AD=^DBf

CE=EB，则（）

9g33八9

A；B.-C,--D.-

例题4.（2023春•广东东莞•高一东莞市东莞中学校考阶段练习）平行四边形ABC。中，AB=4t40=2,

ABAD=4五，点P在边C7）上，则的取值范围是.

练透核心考点

1.（2023春•山东枣庄•高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知“5C是边长为2的等边三角形，则

CAAB=（）

A.-2B.-2>/3C.2D.26

2.（2023春•江苏淮安•高一淮阴中学校考阶段练习）已知AB=（2,3）,=（3"）,其中/>0.满足忸耳=如，

则<）

A.-9B.-22C.9D.22

3.（多选）（2023春•安徽亳州•高三校考阶段练习）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB

的可能取值是（）

A.-2B.2

C.4D.8

4.（2023春・吉林•高一校考阶段练习）在以8c中，ZBAC=120°,AB=6AC=1,。是边4c上一点,

DC-2.BD,AB-a>AC=b•

AB

⑴试用a,〃表示A。；

⑵求4。dC的值.

角度2：向量模运算

典型例题

例题1.（2023春•宁夏银川•高一银川二中校考阶段练习）已知向量”与〃的夹角为60°,k|=2,恸=1,

则卜+2〃卜（）

A.12B.16C.2^3D.4

例题2.（2023春•山东枣庄•高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）若平面向量出力"两两的夹角相等,

且同=2帆=2汹=3,则,+〃+2（:|=（）

A.2B.10C.5或2D.10或4

例题3.（2023•辽宁大连•校联考模拟预测）已知向量”，力满足W=夜，。-/，=（①夜"贝!）|2。-0|

等于（）

A.2x/2B.VlOC.x/15D.245

例题4.（2023春•山西运城•高一校考阶段练习）已知向量：=（2,4）,b=（-2,m）t且,+4=卜-1则

〃?=.

练透核心考点

1.（2023春•宁夏吴忠・高一吴忠中学校考阶段练习）已知向量。=（，〃」,）,。=（3,/〃），若“与人方向相反，则

p-\/3Z?|=（）

A.54B.8C.3月D.

2.（2023春•安徽合肥・高一合肥一中校考阶段练习）设平面向量：=（1,2）,〃=（-2,y）,若〃〃/,,则忸+q

等于（）

A.B.76C.V17D.726

JT

3.（2023春•黑龙江哈尔滨•制一校考阶段练习）已知向量a,6为单位向量，〃的夹角为彳，则

4.（2023春•上海青浦•高一校考阶段练习）已知单位向量〃/的夹角为6,若夕wpy，则卜+。|的取值

范围是.

5.（2023•全国•高三专题练习）已知向量a,〃满足忖=1,忖=2,且卜+〃|=卜-.，则2a+〃卜.

角度3：向量的夹角

典型例题

例题1.（2023•全国•高一专题练习）已知向量。力满足M=5，M=6,ab=-6,贝ljcos（a,a+，）=（）

例题2.（2023春•天津和平•高一天津市第五十五中学校考阶段练习）已知向量。=（1,2）,b=（〃?,3）,

若。1仅〃一方），则。与〃夹角的余弦值为（）

A石R2^5r710

A•-----D.--------U■---------

5510D・噜

例题3.（2023春•广东东莞•高一校考阶段练习）在以04为边、0B为对角线的菱形OABC中，。A=（4,0）,

OB=(6*a),则ZAO3()

例题4.（2023年国福三专题练习）已知向量。=（1,一2）,^=（-K3）,c=ta+b，若〃_Zc,贝11cos（a,c）=

例题5.（2023•全国•高三专题练习）已知平面四边形ABCD中，ABA.AD,BCLCD,AB=]fBC=6

Z/48c=150。，则8SNCBD=.

练透核心考点

1.（2023•全国•模拟预测）已知4=2,Z?=（-2,-l）,一。）=2恸,则sin（a,8）=（）

A.正B.在cMD,更

105105

2.（2023・全国•高一专题练习）在平面直角坐标系xQy中，。为坐标原点，点A（3,0）、点8（0,3）、点

C（cos«,sincc）,aw（0,乃），若|QA+OC|=G,则08与0C的夹角为（）

itnn2n

A.-B.-C.-D.——

6433

3.（2023・全国•高三专题练习）已知单位向量”，/?满足（3a+/?）_L（4-2〃），则cos（a@=.

4.（2023•广东•统考一模）已知向量满足同=2,小4,仅叫•〃=（）,则〃与人的夹角为.

5.(2023春・山东济南•高一校考阶段练习)如图，在梯形A8CD,AB//CD,乙=gAB=AD=2.

CD=3,AE=AAB.

(1)若ACJ.OE，求义的值；

⑵若4=；，求Ad与。£的夹角的正切值.

乙

角度4:两向量成锐角(钝角)求参数

典型例题

例题L(2023春•江苏淮安•高一淮阴中学校考阶段练习)已知〃=(-1,1),忖=2,向量〃与/，的夹角为

与，且力与向量(U)的夹角为钝角.则〃=()

A.(0,-2)B.(2,0)C.(-x/2,-V2)D.(五,五)

例题2.(2023春•安徽淮南•高一淮南第一中学校联考阶段练习)已知平面向量”="-2),b=(4,y)f

若。与a的夹角为锐角，则》的取值范围为.

例题3.(2023春•山东枣庄•高一滕州市第一中学新校校考阶段练习)已知|a|=l,出|=1,且向量。与〃不

共线.

⑴若a与〃的夹角为120。，求

(2)若。与人的夹角为60。且向量姑与痴-28的夹角为锐角，求实数％的取值范围.

例题4.（2023春•浙江杭州•高一校联考阶段练习）已知：6、e：是同一平面内的两个向量，其中q=（2,3）.

（1）若同且q+/与岭垂直，求6与G的夹角。；

（2）若与=Q1）且外与弓+温的夹角为锐角，求实数A的取值范围.

练透核心考点

1.（2023春・河南洛阳•高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知平面向量〃=（4,），），若

a与a+b的夹角为锐角，则>的取值范围为.

2.（2023•江苏•高一专题练习）已知向量a=（2,2）,/7=（l,2）peR）,若a与/，的夹角为锐角，则丸的取值

范围为.

3.（2023春•安徽合肥•高一合肥一中校考阶段练习）若向量。=伏,3）,〃=（1,4）,0=（2,1）,已知%-3力与c的

夹角为钝角，则％的取值范围是.

4.（2023春•江苏扬州・高一扬州中学校考阶段练习）设两个向最满足。=（2,0）为=［；,第］,

\/

⑴求a+A方向的单位向量；

⑵若向量2伍+7。与向量a+法的夹角为钝角，求实数/的取值范围.

角度5:已知模求数量积

典型例题

例题L（2023春•黑龙江鹤岗•高一鹤岗一中校考阶段练习）已知向量满足H=1，W=6，〃-2〃卜3,则

ab=（）

A.-2B.-1C.1D.2

例题2.（2023峻国•高一专题练习）已知〃，b是单位向量，若卜+2人卜|2.叫，则〃,b的夹角是（)

例题3.（2023•全国•高一专题练习）若非零向量q与b满足：a+b+c=Of且何+忖=2,卜卜1,则〃力

的最大值为.

练透核心考点

1.（2023春・江苏常州•高二常州市第一中学校考阶段练习）空间向量。，b,若忖=3,忖=2,11-陷=疗,

则”与〃的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.（2023春•山东枣庄•高一山东省滕州市第五中学校考阶段练习）已知向量〃，〃满足同=2,网=1,则

卜十。卜有，则a-h=.

3.（2023•陕西宝鸡•统考二模）已知非零向量a，〃，c满足H=W=,一〃=1且。一。一〃二1，则上|的取值

范围是.

角度6：已知模求参数

典型例题

例题1.（2023•全国•高一专题练习）已知向量满足萩=0,卜+QM若》与―的夹角为与，

则〃？的值为（）

A.2B.73C.1D.y

例题2.（2023•山西吕梁•高一校联考）已知单位向量6,%,%与生的夹角为

⑴求证;

（2）若〃7=九弓十%,n=3e1-2e2,且同="，求％的值.

练透核心考点

1.（2023春•安徽•高一校联考阶段练习）已知q,g是单位向量，且不，“2的夹角为仇若忖+句之口止口），

则。的取值范围为（）

71717Tjr5IT，、兀

A.B.—C.T'~7~D.0,—

[33」l_42」L66」6j

2.（2023・高二课时练习）已知空间三个向量”、〃、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120。.

⑴求证：向量〃垂直于向最c;

（2）已知上〃+6+。|>1伏€/?）,求A的取值范围.

高频考点三：向量的垂直关系

典型例题

例题1.（2023秋•吉林•高一吉林一中校考阶段练习）已知|“|=4,|〃|=3,且的夹角为6（）,如果

（a+2b）±（a-mb）,那么加的值为（）

7312

A---D-

*6B.54♦3

例题2.（2023•全国•高三专题练习）已知平面向量满足。=（l,x）,/?=（2,1）,若-司1"贝!]

x=__________

例题3.（2023春•江苏南京•高一南京市中华中学校考阶段练习）己知向量。=（1,3）,8=（3,4）,若

（2d-/?）±a,贝I」4=.

例题4.（2023春•湖南长沙•高一长郡中学校考阶段练习）已知同=2,W=G,（2a-3AM2。+〃）=-5.

（1）求。与〃的夹角出

⑵若°=心+2（一）〃，且bJ.c,求实数，的值.

练透核心考点

1.（多选）（2023春•陕西西安•高一统考阶段练习）已知向量：=（2,3）,b=（—3,l）,h/一人与〃—2人垂直,

则（）

A.k=--B.k=~—C.H=ViOD.2“一"二（5,二、

913113I3J

2.（2023春•宁夏银川•高一宁夏育才中学校考阶段练习）已知向量〃=（〃?J），^=（-2,5）,若（24-/"，〃，

则川=.

3.（2023春•宁夏银川・高一贺兰县第一中学校考阶段练习）已知两个非零向量。与力不共线，

⑴试确定实数&，使得履+b与a+心共线；

（2）若a=（1,2）,〃=（1,1）,c=〃+/〃，Kb1c»求实数义的值.

4.（2023春•湖北十堰•高一校考阶段练习）已知,卜3,忖=4.

⑴若〃与〃的夹角为60。，求（。+24〜；

⑵若a与〃不共线，当k为何值时，向量〃+妨与“-妨互相垂直？

高频考点四：向量的投影（投影向量）

典型例题

例题1.（2023春•江苏盐城•高一江苏省响水中学校考阶段练习）已知外接圆圆心为。，半径为1,

2AO=AB+ACf且码。$=卜目,则向量AB在向量BC上的投影向量为（）

1uimAiA

A.-BCB.也BCC.-BCD.-』C

4444

例题2.（2023•河南•统考模拟预测）已知|。|=2,屹|=1,且,+可=2,则〃在。方向上的投影为（)

例题3.（2023春•上海浦东新­高三上海市进才中学校考阶段练习）已知向量。=（1,1）/=（2,3）,贝隆,在

b方向上的数量投影为

例题4.（2023•浙江温州•统考二模）若向量a,〃满足（〃+耳-7第=3,且用2,则〃在〃方向上的

投影的取值范围是.

练透核心考点

1.（2023春•湖北武汉•高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知的外接圆

圆心为。，2OA+A8+Ad=0，网=网，则向量8c在向量BA上的投影向量为（）.

A.BAB.-BA

C.-BAD.-^~BA

43

2.（2023春•云南昆明•高三校考阶段练习）已知点伙1,2）,C（-2,-l）,D（3,4）,则向软AB在C。

方向上的投影向量的长度为（）

A3&3而3735而

A.---RD------rI.----Un.----

2222

3.（2023春・福建三明•高一校考阶段练习）若向量a=（-l,l）,向量〃=（4,3）,则向量〃在向量力上的投影

向量为（）

A.B.C.D.

252525252255

4.（2023秋•江西•高三校联考期末）己知非零向量〃，满足小2忖=2,且（。叫_L〃则向量/,在向量°上

的投影为.

高频考点五：平面向量的综合应用

典型例题

例题L（多选）（2023春•江苏扬州•高一扬州中学校考阶段练习）G是A3C的重心，

4〃=2,AC=4,ZC4/?=120°,P是/8C所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）

A.GA+G6+GC=O

B.AC在的方向上的投影等于2

4

C.GAGB=-

3

3

D.AP（8P+"）的最小值为

例题2.（多选）（2023春•广东深圳•高一校考阶段练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅

宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金

环并束龙腰细，工棚齐编凤翅K”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD,其中=与，67C-3O4-3,

动点P在。。上（含端点），连结。尸交扇形。4B的弧A8于点Q，ROQ=xOC+yODt则下列说法正确

的是（）

2

A.若'=工，则x+y=QB.若），=2.r,贝!）04.0产=0

C.ABPQ^-2D.PAPBW

例题3.（2023春•福建泉州•高一校考阶段练习）已知平面向量。=（sinO,sin。-cos。），〃=（8S。,-1-机），

函数=

⑴若〃?=1,Oe:，兀｝求满足方程外。）=；的。值；

（2）已知函数可耳为定义在R上的减函数，且对任意的为，9都满足力（内+毛）=/?（%）+/?（%），是否存在实

数阳，使（访工。/+/（2"+|）＜，（〃0））对任意0€:T恒成立？若存在，求出实数加的取值范围；

若不存在，说明理由.

练透核心考点

1.（多选）（2023•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）已知AB，AC是两个非零向量，则下列说法正

确的是（）

A.若AS=（x,4）,AC=（-1,2）,AB!/AC»则工=一2

B.为锐角的充要条件是AC>0

C.若。为“BC所在平面内一点，且OA.OB=OBOC=OCOA，则。为J3C的重心

/.1ABAC1

D.若（48+AC）・8C=。，且网.同=万，则ABC为等边三角形

2.（2023春・山东泰安・高一山东省泰安第二中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知A，,：）

4（8——1新,C（7-/M.O）,t,mGR,/*0.

（1）若『=1,〃?=4,P为x轴上的一动点，点A'。，-2）.当A,2,B三点共线时，求点P的坐标：

⑵若，=sin。，。6（0,兀），且C4与C8的夹角6］），求〃?的取值范围.

高频考点六：最值范围问题

典型例题

例题L（2023•全国•高一专题练习）如图，已知四边形被力为直角梯形，ABJ.BC,ABUDC,AB=\,

AZ）=3,/84。=彳，设点尸为直角梯形ABC。内一点（不包含边界），则A8AP的取值范围是

例题2.（2023春•江西•高三校联考阶段练习）在一A8C中，AC=61C=8,/C=9（）/为/3C所在平

面内的动点，且尸C=2,则的取值范围是（）

A.[-20,12]B.[-12,20]C.[-16,24]D.[-24,16]

例题3.（2023•全国•高一专题练习）如图，圆。是半径为1的圆，OA=g,设4,C为圆上的任意2

个点，则公.晶的取值范围是•

例题4.（2023春-湖北省直辖县级单位-高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）如图，已知直角的

斜边人4长为4,设Q是以。为圆心的单位圆的任意一点，。为AB边的中线OC的中点，则

练透核心考点

1.（2023春・广东揭阳•高三校考阶段练习）如图所示，边长为2的正△A8C,以的中点0为圆心，BC

为直径在点A的另一恻作半圆弧BC，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（）

A.[2,373]B.[4,36]C.[2,4]D.[2,5]

2.（2023春•四川成都•高二校考阶段练习）与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，称为这个三

角形的旁切圆.已知正/4C的中心为。，/3=1,点尸为与8C边相切的旁切圆上的动点，则QVOP的取

值范围为.

3.（2023・全国•高三专题练习）如图，C为“BC外接圆尸上一个动点，若04=1,08=6,408=150,

则OAOC的最大值为.

4.（2023春•湖南永州•高一永州市第一中学校考阶段练习）如图，在菱形"CO中，BE=^BC,CF=2FD.

⑵若菱形A8CO的边长为6,求4£石厂的取值范围.

高频考点七：极化恒等式

典型例题

例题1.（2023春•天津和平•高一天津市第五十五中学校考阶段练习）圆。的直径A8=2,弦£/=],点

P在弦EF上,贝的最小值是（）

例题2.（2023春近苏南京•高一南京外国语学校校考阶段练习）圆。为锐角的外接圆，AC=2AB=2t

则OBOA的取值范围为.

练透核心考点

1.（2023春・重庆渝中•高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知上8C中，卜/3卜4卜。卜8,且

1AB+（2-2/l）4C（/leR）的最小值为2g,若P为边4B上任意一点，则PB/C的最小值是（）

5149925

A.——B.------C.一一-D.一一-

441616

2.（2023秋•河北石家庄•高二石家庄二十三中校考期末）已知A8为圆C:（x-1）?+），2=1的直径，点。为直

线工-y+2=。上的任意一点，则2的最小值为-

第四部分：数学文化题

1.（2023春・广东佛山•高一校考阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面

图形为图2所示的正八边形ABCDEFG从其中|。4卜1,给出下列结论：

①O人与OH的夹角为。；

@\OA-OC\=^\DH\^

@OD+OF=OEi

④。4在。。上的投影向量为走e

（其中e为与0。同向的单位向量）.

2

其中正确结论为（）

②D.④

2.（2023•河南安阳•统考二模）如图,2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的"8".在平面直角坐标系中,

圆加：/+（＞，+〃"=〃2和"：/+｛），-1）2=］外切也形成一个8字形状，若夕（0,一2）,4（1,-1）为员|加上两点,

3为两圆圆周上任一点（不同于点A,P）,则PAPB的最大值为（）.

FIFAWORLDCUP

QdJr2O22

A*

B.2x/2+lC.3+x/2D.3夜+2

3.（多选）（2023春・河北保定•高一定州市第二中学校考阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是

中国占老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何怪形的示意图.

已知正八边形ABCOE尸G”的边长为正，P是正八边形"CQ即G〃边上任意一点，则下列结论正确的是

()

A.BG=2AH

B.AO在48向量上的投影向量为¥+

X/

C.若。4斥=（1+五）尸4万。，则"为。的中点

D.若。在线段8c上，且从尸=则工+旷的取值范围为[l,2+0]

4.（2023春・上海宝山•高三统考阶段练习）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、

工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组

成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A3两点间的距离为2,点尸为A3上的一点，则PA.（尸8+PC）的最

小值为.

5.（2023春•安徽合肥・高一合肥一中校考阶段练习）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着

等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABC。的边长为夜，则

第五部分：高考新题型

①开放性试题

1.（2023•山东青岛•统考一模）已知0（0,0）,A（l,2）,若向量〃?〃Q4,且机与OB的夹角为钝

角，写出一个满足条件的，〃的坐标为.

2.12023・重庆沙坪坝・重庆南开中学校考模拟预测）已知向量々=1：1,2）力=（-2,1）,。=（〃?,〃）满足,+筋）_1。，

请写出一个符合题意的向量d的坐标.

3.（2023秋•