531函数的单调性课件（1）高二下学期数学人教A版选择性

5.3.1函数的单调性（1）复习引入曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线的斜率k0在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.利用导数研究函数的单调性.thaOb(1)thaOb(2)思考1:图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?如何从数学上刻画这种区别?探究:函数的单调性与导数的关系运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?如何从数学上刻画这种区别?观察图象可以发现:

(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h'(t)>0.(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h'(t)<0.thaOb(1)thaOb(2)思考2：我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系.那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢?对于高台跳水问题，可以发现:

当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)内单调递增；thaOb(1)thaOb(2)当t∈(a,b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)内单调递减.在区间(a,b)上，h′(t)>0在区间(a,b)上，h′(t)<0在区间(a,b)上，h(t)单调递增在区间(a,b)上，h(t)单调递减这种情况是否具有一般性呢?思考3：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.xyO(1)xyO(2)xyO(3)xyO(4)思考3：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？xyO导数f′(x0)函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处切线的斜率在区间上，f′(x)>0在x=x0处f′(x0)>0函数y=f(x)的图象上升，函数f(x)在x=x0附近单调递增切线“左下右上”上升在区间上，f(x)单调递增(x0,f(x0))xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))导数f′(x1)在区间上，f′(x)<0函数y=f(x)的图象在点(x1,f(x1))处切线的斜率在x=x1处f′(x1)<0函数y=f(x)的图象下降，函数f(x)在x=x1附近单调递减切线“左上右下”下降在区间上，f(x)单调递减函数的单调性与导数的关系：一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.归纳总结aby=f(x)xoyf'(x)>0y=f(x)xoyabf'(x)<0思考4：

如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性?函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.例1：利用导数判断下列函数的单调性:解：xyO(1)xyO(2)π-π例题课本P86解：xyO(3)11例1：利用导数判断下列函数的单调性:①求出函数的定义域；②求出函数的导数f

(x)；③判定导数f

(x)的符号；④确定函数f(x)的单调性.判定函数单调性的步骤：反思归纳1.判断下列函数的单调性:解：练习课本P87解：课本P87解：例2：xyO14例题课本P86反思归纳解：xyOabxyOab练习课本P872.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(

)解析：由函数y＝f(x)的图象，知当x<0时，f(x)单调递减；当x>0时，f(x)先递增，再递减，最后再递增，分析知y＝f′(x)的图象可能为D.思考5：结合函数单调性的定义，思考在某个区间上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负的关系.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D

I，在区间D中任取两个值x1,x2.（1）当改变量∆x=x2-x1>0时，有∆y=f(x2)-f(x1)>0，那么就称函数y=f(x)在区间D上是增函数.（2）当改变量∆x=x2-x1>0时，有∆y=f(x2)-f(x1)<0，那么就称函数y=f(x)在区间D上是减函数.在区间(a,b)上,任取A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两点,则函数f(x)的平均变化率为其几何意义为直线AB的斜率.若f(x)在区间(a,b)上是增函数，则其斜率为正,其导数为正；若f(x)在区间(a,b)上是减函数，则其斜率为负，其导数也为负.1．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是(

)A．单调增函数B．单调减函数随堂检测3.函数y=f(x)在定义域

内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为

.解析：由题意不等式f′(x)≤0的解集即函数y=f(x)的递减区间为[2,3).答案:4.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是__________________.(－∞，－1)∪(0,1)解析:因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1).5.判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性.解：函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－