河北省衡水市饶阳中学2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析)

高中数学精编资源—2023学年度第二学期期末考试高一年级数学试卷卷面总分:150分考试时间:120分钟一、单选题(每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数满足(为虚数单位),则在复平面内复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数,再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为,所以,所以在复平面内复数对应的点为,位于第二象限.故选:B2.为提高学生学习数学的热情,实验中学举行高二数学竞赛,以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩:(单位:分)78,70,72,86,79,80,81,84,56,83,则这10人成绩的第80百分位数是()A.83 B.83.5 C.84 D.70【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】将10个数据从小到大排列得,56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,,故其第80百分位数是,故选:B.3.,两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学,且两人去哪个城市互不影响,若去甲城市的概率为,去甲城市的概率为,则,不去同一城市上大学的概率为()A.0.3 B.0.56 C.0.54 D.0.7【答案】B【解析】【分析】根据条件得到,分别去乙城市的概率,从而求得,去同一城市上大学的概率,即可得到,不去同一城市上大学的概率.【详解】由题意知:去甲城市的概率为,去甲城市的概率为,即去乙城市的概率为0.4,去乙城市的概率为0.8,所以,去同一城市上大学的概率,所以则,不去同一城市上大学的概率,故选:B.4.在中,D是BC的中点,E是AD的中点,则()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的线性运算求出结果【详解】在中,D是BC的中点,E是AD的中点,则．故选:C.5.若扇形的周长为36,要使这个扇形的面积最大,则此时扇形的圆心角的弧度为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据扇形的周长及面积公式,转化为二次函数求最值,据此利用弧长公式求解.【详解】设扇形的半径为,弧长为,则,所以,故当时,取最大值,此时,所以,故选:B6.已知向量,,若,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可得出、的关系式,即可求得的值.【详解】因为向量,,且,则,若,则,这与矛盾,故,因此,.故选:D.7.已知某圆锥的母线长为2,记其侧面积为,体积为,则当取得最大值时,圆锥的底面半径为()A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】设圆锥底面半径为r,高为h,结合圆锥的侧面积和体积公式求得的表达式,结合基本不等式即可求得答案.【详解】设圆锥底面半径为r,高为h,由题意知母线长为则,所以,当且仅当,即时,取得等号,故选:C8.已知,,则的值为()A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件切化弦,整理得出,然后把展开可求出,从而利用两角和的余弦公式可求解.【详解】由于,且,则,整理得,则,整理得,所以.故选:D.二、多选题(每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.如图,用正方体ABCD一A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法正确的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行【答案】ABC【解析】【分析】根据线线垂直、线线平行等知识确定正确答案.【详解】由于是的中点,所以三点共线,则是的中点,由于是的中点,所以,C选项正确.根据正方体的性质可知平面,由于平面,所以,所以,A选项正确.由于,所以,B选项正确.由于,与相交,所以与不平行,D选项错误.故选:ABC10.已知函数在一个周期内的图象如图所示,其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、,图象在轴上的交点为.则下列结论正确的是()A.最小正周期为B.的最大值为2C.在区间上单调递增D.为偶函数【答案】BC【解析】【分析】A选项,根据图象得到,A错误;B选项,先根据最小正周期求出,代入特殊点坐标,求出,,得到B正确;C选项,代入检验得到在区间上单调递增;D选项,求出,利用函数奇偶性定义判断.【详解】A选项,设的最小正周期为,由图象可知,解得,A错误;B选项,因为,所以,解得,故,将代入解析式得,因为,所以解得,因为函数经过点,所以,故,的最大值为2,B正确;C选项,,当时,,因为在上单调递增,故在区间上单调递增,C正确;D选项,,由于与不一定相等,故不是偶函数,D错误.故选:BC11.下列说法正确的是()A.数据1,2,3,3,4,5的平均数和中位数相同B.数据6,5,4,3,3,3,2,2,1的众数为3C.有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查,如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为30D.甲组数据的方差为4,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是乙组【答案】AB【解析】【分析】利用平均数与中位数的定义可判断A;利用众数的定义可判断B;利用分层抽样的定义及抽样比求解判断C;利用方差的定义及意义可判断D.【详解】对于A,平均数为,中位数为,故A正确;对于B,数据的众数为3,故B正确;对于C,设样本容量为x,由题知,解得,即样本容量为18,故C错误;对于D,乙组数据的平均数为,方差为,又,所以两组数据中较稳定的是甲组,故D错误.故选:AB12.在中,角对边分别为,下列说法正确的是()A.若,,则等边三角形B.是成立的充要条件C.若的面积为,则D.若点满足,且,则【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦、余弦定理,三角形面积公式及诱导公式,结合各个选项的条件,逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】选项A,因为,,由正弦定理得到,又由余弦定理,得到,即,所以,故选项A正确;选项B,因为,所以,即,又,,所以,由正弦定理得,,又由三角形中,大边对大角,得,又以上过程均可逆,故选项B正确;选项C,因为,整理得,又由正弦定理可得,即,所以,故或,得到或,故选项C错误;选项D,如图,在中,,在中,,两式相比得,因为,且,所以,,且,所以,故,所以选项D正确.故选:ABD三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知点在角的终边上,则______.【答案】【解析】【分析】首先求,再由齐次式化简求值.【详解】由题意可知,∴.故答案为:.14.已知向量,,,则向量与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】由可得,,后由向量夹角的坐标表示可得答案.【详解】,则,则,又,则故答案为:.15.在四棱锥中,所有侧棱长都为,底面是边长为的正方形,O是P在平面ABCD内的射影,M是PC的中点,则异面直线OP与BM所成角为___________【答案】【解析】【分析】取的中点为,连接,利用中位线性质得,则异面直线夹角转化为求,再利用勾股定理求出相关线段长,最后求出即可得到答案.【详解】由题意可知底面是边长为的正方形,所有侧棱长都为则四棱锥为正四棱锥,为正方形的中心,取的中点为,连接,又因为M是PC的中点,则,则即为所求,因为平面,所以平面,则,,则,因为,所以.故答案为:.16.中国最高的摩天轮是“南昌之星”,它的最高点离地面160米,直径为156米,并以每30分钟一周的速度匀速旋转,若摩天轮某座舱A经过最低点开始计时,则10分钟后A离地面的高度为________米.【答案】121【解析】【分析】设座舱A与地面的高度与时间t的关系为∶,求出各参数,可得函数解析式,将代入,即可求得答案.【详解】设座舱A与地面的高度与时间t的关系为∶,由题意可知,,,即,又:,即,由于,故,故,所以(米),故答案为:121四、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.在中,,,.(1)求的面积;(2)求c及的值.【答案】(1)(2),【解析】【分析】(1)利用平方关系求得,应用三角形面积公式求的面积;(2)余弦公式求c,再应用正弦定理求.【小问1详解】由且,则,所以.【小问2详解】由,则,而,则.18.如图,正三棱柱中,,,点为的中点．(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)通过直线与直线平行证直线与面平行.(2)通过等体积转化进行求解.【小问1详解】解:连接,与相交于,连接,则是的中点,又为的中点,所以,平面,平面,所以平面;【小问2详解】取的中点,连,则,且,又面,,且,∴面,,.19.全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作,2023年2月14日24日在网上进行问卷调查,该调查是国家卫生城市评审的重要依据,居民可根据自身实际感受,对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计,评分的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为:(1)求的值以及这100名居民问卷评分的中位数;(2)若根据各组的频率的比例采用分层随机抽样的方法,从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人,查阅他们的答卷情况,再从这6人中选取2人进行专项调查,求这2人中恰有1人的评分在内的概率.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由各组数据频率之和为1可得a,由频率分布直方图计算中位数公式可得答案;(2)由(1)结合频率分布直方图可知6人中,[65,70)中的有2人,[70,75)中的有4人,后利用列举法可知总情况数与2人中恰有1人的评分在[70,75)内的情况数,即可得答案.【小问1详解】由频率分布直方图,;注意到前3个矩形对应频率之和为:,前4个矩形对应频率之和为:,则中位数在之间,设为x,则,即中位数为.【小问2详解】评分在[65,70),[70,75)对应频率为:,则抽取6人中,[65,70)中的有2人,设为,[70,75)中的有4人,设为.则从6人中选取2人的情况为:,共15种,恰有1人在[70,75)中的有8种情况,故相应概率为:.20.已知向量,函数.(1)求函数的最大值及相应自变量的取值集合;(2)在中,角的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】(1),此时自变量的取值集合为(2)【解析】【分析】(1)根据题意,由向量数量积的坐标运算即可得到解析式,再由辅助角公式化简,由正弦型函数的最值即可得到结果;(2)根据题意,结合(1)中解析式可得,再由余弦定理以及基本不等式即可得到结果.【小问1详解】由题知,,当,即时,最大,且最大值为,即,此时自变量的取值集合为.【小问2详解】由(1)知,,则,因为在中,,所以,所以,所以,又由余弦定理及,得:,即,所以,即(当且仅当时等号成立).所以.21.世界范围内新能源汽车的发展日新月异,电动汽车主要分三类:纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段,并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开,以新能源汽车替代汽(柴)油车,中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2000万元,每生产(百辆),需另投入成本(万元),且;已知每辆车售价5万元,由市场调研知,全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2022年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式;(2)2022年产量为多少百辆时,企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1);(2)100(百辆),2300万元.【解析】【分析】(1)根据利润收入-总成本,即可求得(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式;(2)分段求得函数的最大值,比较大小可得答案.【小问1详解】由题意知利润收入-总成本,所以利润,故2022年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式为.【小问2详解】当时,,故当时,;当时,,当且仅当,即时取得等号;综上所述,当产量为100(百辆)时,取得最大利润,最大利润为2300万元．22.已知梯形中,,,E为线段上一点(不在端点),沿线段将折成,使得平面平面.(1)当点E为CD的中点时,证明:平面平面;(2)若与平面所成角的正弦值为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)先根据线面垂直的判定得出平面即可;(2)过作交于点,连,再根据与平面所成角的正弦值为得出图形中的各边关系,进而证明平面,求锐二面角的余弦值时,方法一,可根据面积的比值计算;方法二,可分别取的中点,连接,根据平面平面,过作交于点,连,再证明为二面角