新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题25 圆锥曲线与垂心问题(解析版)

专题25圆锥曲线与垂心问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的两个点，O为坐标原点，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的垂心恰是抛物线的焦点，则直线SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的两点，且SKIPIF1<0，根据抛物线的对称性，可得SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的垂心恰好是抛物线的焦点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故选：C.

2．已知抛物线SKIPIF1<0上有三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂心在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的纵坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的纵坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】点SKIPIF1<0在抛物线上，纵坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，垂心SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，故选：B3．平面直角坐标系SKIPIF1<0中，双曲线SKIPIF1<0的渐近线与抛物线SKIPIF1<0交于点O，A，B，若SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0的焦点，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】如图所示：双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，与抛物线SKIPIF1<0联立，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0的焦点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】抛物线的焦点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0所在的直线方程为SKIPIF1<0所在的直线方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0﹒故选：C﹒5．设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为抛物线上异于顶点的一点，且SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的射影为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的垂心在抛物线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0在第一象限，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，可得点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.6．设双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左顶点与右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以线段SKIPIF1<0为底边作一个等腰SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0边上的高SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0的垂心恰好在SKIPIF1<0的一条渐近线上，且SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则下列判断正确的是（

）A．存在唯一的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0B．存在两个不同的SKIPIF1<0，且一个在区间SKIPIF1<0内，另一个在区间SKIPIF1<0内C．存在唯一的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0D．存在两个不同的SKIPIF1<0，且一个在区间SKIPIF1<0内，另一个在区间SKIPIF1<0内【解析】由题意可设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的垂心SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0的垂心恰好在SKIPIF1<0的一条渐近线上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.作出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象，因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故存在唯一的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0.即存在唯一的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.故选：A.7．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，以坐标原点SKIPIF1<0为圆心、SKIPIF1<0为半径作圆与双曲线SKIPIF1<0的渐近线在第一象限交于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心，恰有SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0应满足（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.8．记椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线交于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】椭圆SKIPIF1<0的左右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意，易知直线SKIPIF1<0的斜率存在，（若斜率不存在，则SKIPIF1<0三点共线，不能构成三角形），设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0两边同时求关于SKIPIF1<0的导数，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则椭圆在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，则椭圆在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；同理，椭圆在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0轴，则SKIPIF1<0的横坐标也为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与椭圆必有两个交点，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.故选：D.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为抛物线上不与SKIPIF1<0重合的动点，SKIPIF1<0为坐标原点，则下列说法中，正确的有（

）A．若SKIPIF1<0中点纵坐标为2，则SKIPIF1<0的斜率为2B．若点SKIPIF1<0恰为SKIPIF1<0的垂心，则SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角互补，则SKIPIF1<0的斜率恒为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点纵坐标的取值范围是SKIPIF1<0【解析】对于选项A，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在抛物线上可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0中点纵坐标为2时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A错误；对于选项B，若点SKIPIF1<0恰为SKIPIF1<0的垂心，则由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，B正确；对于选项C，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0倾斜角互补，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C错误；对于选项D，若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与2互不相等），将SKIPIF1<0看作关于SKIPIF1<0的一元二次方程，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，方程无解，所以SKIPIF1<0点纵坐标SKIPIF1<0，故D正确，故选：BD.10．设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为抛物线上异于顶点的一点，且SKIPIF1<0在准线上的射影为SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（

）A．点SKIPIF1<0的中点在SKIPIF1<0轴上B．SKIPIF1<0的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上C．当SKIPIF1<0的垂心在抛物线上时，SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0的垂心在抛物线上时，SKIPIF1<0为等边三角形【解析】对于A选项，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，所以，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，A对；对于B选项，由抛物线的定义可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰三角形，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的重心、垂心、外心、内心都在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相切，B错；对于C选项，设点SKIPIF1<0为第一象限内的点，若SKIPIF1<0的垂心SKIPIF1<0在抛物线上时，设点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0的坐标代入抛物线方程可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，由题意可知，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C对；对于D选项，当SKIPIF1<0的垂心在抛物线上时，点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0轴，则SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0为直角三角形，D错.故选：AC.11．双曲线SKIPIF1<0的虚轴长为2，SKIPIF1<0为其左右焦点，SKIPIF1<0是双曲线上的三点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线交其渐近线于SKIPIF1<0两点.已知SKIPIF1<0的内心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为1.下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0外心SKIPIF1<0的轨迹是一条直线B．当SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0外心的轨迹方程为SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0变化时，存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0的垂心在SKIPIF1<0的渐近线上D．若SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0的外接圆过定点【解析】因为已知SKIPIF1<0的内心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为1，双曲线SKIPIF1<0的虚轴长为2，所以SKIPIF1<0的内心SKIPIF1<0横坐标SKIPIF1<0，双曲线方程：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，渐近线SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0.当点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上时：设直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交两点SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0当直线与双曲线相切时SKIPIF1<0，此时切点SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0切线SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0与渐近线SKIPIF1<0交两点SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0切点SKIPIF1<0正是线段SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0；线段SKIPIF1<0中垂线是SKIPIF1<0.中垂线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.SKIPIF1<0可设SKIPIF1<0一方面，SKIPIF1<0；另一方面，线段SKIPIF1<0中点是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0考虑到SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0

确系SKIPIF1<0之外心SKIPIF1<0！其轨迹是直线SKIPIF1<0.选项A正确！依（1）设SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0中点是SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0中垂线是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0中垂线是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0外心的轨迹方程为SKIPIF1<0.故选项B错！（3）对SKIPIF1<0来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0并化简得：SKIPIF1<0考虑到SKIPIF1<0不在渐近线上得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，这不可能！垂心不能在SKIPIF1<0上，同理不能在SKIPIF1<0上，选项C错误；（4）设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0共圆！SKIPIF1<0的外接圆过定点原点，选项D对.故选：AD12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴及双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线的三个不同交点构成集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若SKIPIF1<0的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为重心、SKIPIF1<0为外心、SKIPIF1<0为垂心，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，此时双曲线的离心率SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为重心、SKIPIF1<0为垂心、SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0不成立；若SKIPIF1<0为重心、SKIPIF1<0为垂心、SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，此时双曲线的离心率SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为重心，SKIPIF1<0为垂心、SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，此时双曲线的离心率SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0为重心、SKIPIF1<0为垂心、SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时双曲线的离心率SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为重心，SKIPIF1<0为垂心、SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0都不成立.综上所述：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．若曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0，是否存在直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交于两不同的点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0．则直线SKIPIF1<0的方程为．【解析】把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，假设存在直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交于两不同的点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0显然直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0化简得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，不合题意，舍去，∴存在这样的直线SKIPIF1<0，其方程是SKIPIF1<014．已知抛物线方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为SKIPIF1<0（O为坐标原点）的垂心，则实数SKIPIF1<0的值为．【解析】由题意知，SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<015．已知点SKIPIF1<0在椭圆C：SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0作直线交椭圆C于点SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0，若垂心SKIPIF1<0在y轴上．则实数SKIPIF1<0的取值范围是．【解析】（1）当直线斜率不存在时，设SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，联立解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴SKIPIF1<0.（2）当直线斜率存在时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线方程为：SKIPIF1<0，直线QT的斜率为SKIPIF1<0，∵AB⊥QT，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又∵BT⊥AQ，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，（*）联立SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入（*）可得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上可知：实数m的取值范围为SKIPIF1<0．16．已知椭圆SKIPIF1<0的上顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0恰好为SKIPIF1<0的垂心，则直线SKIPIF1<0的方程为．【解析】易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，因椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0恰好为SKIPIF1<0的垂心，则SKIPIF1<0，从而直线SKIPIF1<0的斜率为2．设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将直线方程与椭圆方程联立有SKIPIF1<0，消去y得：SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韦达定理有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．右焦点SKIPIF1<0恰好为SKIPIF1<0的垂心，故SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0即为直线SKIPIF1<0与椭圆的交点，不合题意；当SKIPIF1<0时，经检验知SKIPIF1<0和椭圆相交，符合题意．故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，且椭圆的离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为SKIPIF1<0的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）依题意得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以所求椭圆的方程为SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，故直线MF的斜率为SKIPIF1<0．若符合题意的直线l存在，可设直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去y整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由F点恰为SKIPIF1<0的垂心等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，直线PQ经过点M，此时不构成三角形，故舍去．故直线l的方程为SKIPIF1<0．18．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：SKIPIF1<0，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)【解析】（1）由题意可知SKIPIF1<0，椭圆C1的离心率SKIPIF1<0，设椭圆C2的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆C2的方程为SKIPIF1<0.（2）证明：设SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0带入椭圆SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的同侧，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以H为△PA1A2的垂心．19．如图，已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足SKIPIF1<0PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，SKIPIF1<0.

(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.【解析】（1）设直线l的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由抛物线定义，得SKIPIF1<0.当直线l的倾斜角为30°时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即抛物线C的标准方程为SKIPIF1<0.（2）由（1），得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0的垂心为原点O，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以直线AP的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.同理可得，直线BP的方程为SKIPIF1<0.联立方程SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.所以点P在定直线SKIPIF1<0上.20．已知SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0（斜率为SKIPIF1<0）交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，在SKIPIF1<0轴上是否存在定点SKIPIF1<0，使得射线SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0？若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）假设存在定点SKIPIF1<0满足题意，其坐标为SKIPIF1<0，易知直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.所以存在定点SKIPIF1<0满足题意，其坐标为SKIPIF1<0.21．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程(2)设双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，且交双曲线C于M，N两点，求证：SKIPIF1<0的垂心在双曲线C上.【解析】（1）因为双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1